1、第二章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识第二章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识第9节 函数模型及应用第二章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用第二章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学
2、聚焦热点题型整合主干知识整合主干知识第二章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识几类函数模型及其增长差异(1)几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)axb(a、b 为常数，a0)反比例函数模型f(x)kxb(k，b 为常数且 k0)二次函数模型f(x)ax2bxc(a，b，c 为常数，a0)第二章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识指数函数模型f(x)baxc(a，b，c为常数，b0，a0且a1)对数函数模型f(x)blogaxc(a，b，c为常数，b0，a0且a1)幂函数
3、模型f(x)axnb(a，b为常数，a0)第二章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识(2)三种函数模型的性质函数性质yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的增减性单调_单调_单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳递增递增第二章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识图象的变化随x的增大逐渐表现为与_平行随x的增大逐渐表现为与_平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当xx0时，有logaxxnaxy轴x轴质疑探究 函数 y1 1100ex，y2100ln x
4、，y3x100，y41002x 中，随 x 的增大而增大速度最快的函数是哪一个？提示：y1 1100ex.第二章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识1(2015南昌质检)往外埠投寄平信，每封信不超过20 g，付邮费0.80元，超过20 g而不超过40 g，付邮费1.60元，依此类推，每增加20 g需增加邮费0.80元(信的质量在100 g以内)如果某人所寄一封信的质量为72.5 g，则他应付邮费()A3.20元 B2.90元C2.80元D2.40元解析：由题意得20372.51)的增长速度会超过并远远大于yx(0)的增长速度；“指数爆炸”
5、是指数型函数yabxc(a0，b0，b1)增长速度越来越快的形象比喻；幂函数增长比直线增长更快；第二章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识指数函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题中其中正确的命题是_(写出所有正确命题的序号)解析：错误当x(0,2)和(4，)时，2xx2，当x(2,4)时，x22x.正确由两者的图象易知 错误增长越来越快的指数型函数是yabxc(a0，b1)第二章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识错误幂函数yxn(0n1)的增长速度比直线yx
6、(x1)的增长速度慢 正确根据指数函数yax(a1)函数值增长特点知正确答案：第二章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识5(2015安阳模拟)某工厂生产某种产品固定成本为 2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加 10 万元又知总收入 K 是单位产品数 Q 的函数，K(Q)40Q 120Q2，则总利润L(Q)的最大值是_万元解析：由已知得 L(Q)K(Q)10Q2 000(40Q 120Q2)10Q2 000 120(Q300)22 500，所以当 Q300 时，L(Q)max2 500(万元)答案：2 500第二章2016年新课标
7、高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识聚集热点题型第二章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识二次函数模型典例赏析 1 某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本 y(万元)与年产量 x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为 yx25 48x8 000，已知此生产线年产量最大为 210 吨(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；第二章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识(2)若每吨产品平均出厂价为40万元
8、，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？思路点拨(1)根据函数模型，建立函数解析式(2)求函数最值解(1)每吨平均成本为yx(万元)则yxx58 000 x482x58 000 x4832，当且仅当x58 000 x，即 x200 时取等号年产量为 200 吨时，每吨平均成本最低，最低为 32 万元第二章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识(2)设可获得总利润为 R(x)万元，则 R(x)40 xy40 xx2548x8 000 x25 88x8 00015(x220)21 680(0 x210)R(x)在0,210上
9、是增函数，x210 时，R(x)有最大值为15(210220)21 6801 660.年产量为 210 吨时，可获得最大利润 1 660 万元第二章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识名师讲坛二次函数是常用的函数模型，建立二次函数模型可以求出函数的值域或最值解决实际中的优化问题时，一定要分析自变量的取值范围利用配方法求最值时，一定要注意对称轴与给定区间的关系：若对称轴在给定的区间内，可在对称轴处取最值，在离对称轴较远的端点处取另一最值；若对称轴不在给定的区间内，最值都在区间的端点处取得第二章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提
10、能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识变式训练1(2015衡水模拟)某企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2(注：利润和投资单位：万元)第二章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入A，B两种产品的生产()若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？()问：如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？解：设A，
11、B两种产品分别投资x万元，x万元，x0，所获利润分别为f(x)万元、g(x)万元第二章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识由题意可设 f(x)k1x，g(x)k2 x.根据图象可解得 f(x)0.25x(x0)g(x)2 x(x0)()由得 f(9)2.25，g(9)2 96.所以总利润 y8.25 万元()设 B 产品投入 x 万元，A 产品投入(18x)万元，该企业可获总利润为 y 万元则 y14(18x)2 x，0 x18.令 xt，t0,3 2，第二章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型
12、整合主干知识则 y14(t28t18)14(t4)2172.所以当 t4 时，ymax172 8.5，此时 x16,18x2.所以当 A，B 两种产品分别投入 2 万元、16 万元时，可使该企业获得最大利润，约为 8.5 万元第二章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识典例赏析2 已知某物体的温度(单位：摄氏度)随时间t(单位：分钟)的变化规律是m2t21t(t0，并且m0)(1)如果m2，求经过多长时间，物体的温度为5摄氏度；(2)若物体的温度总不低于2摄氏度，求m的取值范围指数函数模型解(1)若 m2，则 22t21t22t12t，当
13、5 时，2t12t52，第二章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识令 2tx(x1)，则 x1x52，即 2x25x20，解得 x2或 x12(舍去)，此时 t1.所以经过 1 分钟，物体的温度为 5 摄氏度(2)物体的温度总不低于 2 摄氏度，即 2 恒成立，亦 m2t22t2 恒成立，亦即 m212t 122t 恒成立令12ty，则 0y1，m2(yy2)恒成立，第二章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识由于 yy214，m12.因此，当物体的温度总不低于 2 摄氏度时，m 的取
14、值范围是12，.第二章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识名师讲坛此类增长率问题，在实际问题中常可以用指数函数模型yN(1p)x(其中N是基础数，p为增长率，x为时间)和幂函数模型ya(1x)n(其中a为基础数，x为增长率，n为时间)的形式解题时，往往用到对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应求解第二章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识变式训练2一片森林原来面积为 a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10 年，为保护生态环境，森林面
15、积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的 22.(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？第二章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识解：(1)设每年降低的百分比为 x(0 x1)，则 a(1x)1012a，即(1x)1012，解得 x112110.(2)设经过 m 年剩余面积为原来的 22，则 a(1x)m 22 a，即12m10 1212，m1012，解得 m5，故到今年为止，该森林已砍伐了 5 年第二章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合
16、主干知识分段函数模型典例赏析 3 为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新启动了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本 y(元)与月处理量 x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y13x380 x25 040 x，x120，144，12x2200 x80 000，x144，500，第二章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不获利，国家将给予补偿(1)当x200,300时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利
17、润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？思路点拨题目中月处理成本与月处理量的关系为分段函数关系，项目获利和月处理量的关系也是分段函数关系第二章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识解(1)当 x200,300时，设该项目获利为 S，则 S200 x12x2200 x80 00012x2400 x80 00012(x400)2，所以当 x200,300时，S0，因此该单位不会获利当 x300 时，S 取得最大值5 000，所以国家每月至少补贴 5 000
18、元才能使该项目不亏损第二章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识(2)由题意，可知二氧化碳的每吨处理成本为yx13x280 x5 040，x120，144；12x80 000 x200，x144，500.当 x120,144)时，yx13x280 x5 04013(x120)2240，所以当 x120 时，yx取得最小值 240.第二章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识当 x144,500时，yx12x80 000 x200212x80 000 x200200，当且仅当12x80 0
19、00 x，即 x400 时，yx取得最小值 200.因为 200240，所以当每月的处理量为 400 吨时，才能使每吨的平均处理成本最低第二章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识名师讲坛本题的难点是函数模型是一个分段函数，由于月处理量在不同范围内，处理的成本对应的函数解析式也不同，故此类最值的求解必须先求出每个区间内的最值，然后将这些区间内的最值进行比较确定最值第二章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识变式训练3(2015青岛模拟)已知一家公司生产某种产品的年固定成本为 10 万元，
20、每生产 1 千件该产品需另投入 2.7 万元，设该公司一年内生产该产品 x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为 R(x)万元，且 R(x)10.8 130 x2，010.第二章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识(1)写出年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该公司在这一产品的产销过程中所获利润最大？解：(1)当 0 x10 时，WxR(x)(102.7x)8.1xx33010；当 x10 时，WxR(x)(102.7x)981 0003x 2.7x，第二章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科
21、素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识所以 W8.1xx33010，010.(2)当 0 x10 时，由 W8.1x2100，得 x9；当x(0,9)时，W0；当 x(9,10时，W0.所以当 x9 时，W 取得最大值，即 Wmax8.19 130931038.6.第二章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识当 x10 时，W981 0003x 2.7x 9821 0003x 2.7x38，当且仅当1 0003x 2.7x，即 x1009 时，W 取得最大值 38.综合知：当 x9 时，W 取得最大值为 38.6 万元，故当年产
22、量为 9 千件时，该公司在这一产品的产销过程中所获利润最大备课札记_第二章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识提升学科素养第二章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识 分类讨论思想在函数实际问题中的应用第二章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30人或30人以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75人为止每团乘飞
23、机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；(2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？第二章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识审题视角以人数为自变量建立函数模型，并求解这个函数在什么情况下达到最大值解(1)设旅行团人数为 x 人，由题得 0 x75飞机票价格为 y 元，则 y900.0 x30，90010 x30，30 x75即 y900.0 x30.1 20010 x，30 x75.第二章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识因为S900
24、x15 000在区间(0,30上为单调增函数，故当x30时，S取最大值12 000元，又S10(x60)221 000在区间(30,75上当x60时，取得最大值21 000.故当x60时，旅行社可获得最大利润(2)设旅行社获利 S 元，则 S900 x15 000，0 x30.x1 20010 x15 000.30 x75.即 S900 x15 000，0 x30.10 x60221 000，30 x75.第二章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识方法点睛很多实际问题中用一个函数关系式不能够完全表达其变化规律，这就需要使用分段函数进行表达
25、，然后在不同的段上研究问题的发展变化规律，再把各段上的发展变化规律进行通盘考虑，得到实际问题的整体变化规律，这是分类与讨论思想在函数实际应用题中的应用第二章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识(2015太原模拟)在扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，第二章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3 600元后
26、，逐步偿还转让费(不计息)在甲提供的资料中有：这种消费品的进价为每件14元；该店月销量Q(百件)与销售价格P(元)的关系如图所示；每月需各种开支2 000元(1)当商品的销售价格为每件多少元时，月利润余额最大？并求最大余额；(2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？第二章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识解：设该店月利润余额为 L，则由题设得 LQ(P14)1003 6002 000，由销量图易得 Q2p5014p20，32p4020p26.代入式得 L2p50p141005 60014p203240 p141005 60020p2
27、6.第二章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识(1)当 14P20 时，Lmax450 元，此时 P19.5 元；当 20P26 时，Lmax1 2503元，此时 P613 元故当 P19.5 元时，月利润余额最大，为 450 元(2)设可在 n 年后脱贫，依题意有 12n45050 00058 0000，解得 n20.即最早可望在 20 年后脱贫第二章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识1一个防范实际问题的定义域要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域2一个步骤解决实际应用问题的一般步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；第二章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问 题还原为实际问题的意义以上过程用框图表示如下：第二章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识点击进入WORD链接提能课时冲关
