1、此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 单元训练金卷高三数学卷（A）第十六单元 空间向量在立体几何中的应用注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
2、合题目要求的）1已知向量，分别是直线、的方向向量，若，则（ ）A，B，C，D，2若，则的形状是（ ）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D等腰三角形3如图，空间四边形中，点在上，点为中点，则等于（ ）ABCD4在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（ ）ABCD5已知空间上的两点，以为体对角线构造一个正方体，则该正方体的体积为（ ）A3BC9D6把边长为2的正方形沿对角线折起，使得平面平面，则异面直线，所成的角为（ ）ABCD7如图所示，在正方体中，已知，分别是和的中点，则与所成角的余弦值为（ ）ABCD8设是直线的方向向量，是平面的法向量，则（ ）ABC或D或9在正方体中，直线与平面
3、所成角的余弦值为（ ）ABCD10在正四棱锥中，为顶点在底面的射影，为侧棱的中点，且，则直线与平面所成的角是（ ）ABCD11如图，四棱锥中，平面，底面为直角梯形，点在棱上，且，则平面与平面的夹角的余弦值为（ ）ABCD12如图，已知正方体的上底面中心为，点为上的动点，为的三等分点（靠近点），为的中点，分别记二面角，的平面角为，则（ ）ABCD二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分请把答案填在题中横线上）13设平面的法向量为，平面的法向量为，若，则的值为_14已知，点在轴上，且，则点的坐标为_15如图，直三棱柱的所有棱长都是2，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则顶点的坐标是_16正四
4、棱锥的八条棱长都相等，的中点是，则异面直线，所成角的余弦为_三、解答题（本大题有6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）如图，垂直正方形所在平面，是的中点，（1）建立适当的空间坐标系，求出的坐标；（2）在平面内求一点，使平面18（12分）如图，已知三棱锥的侧棱，两两垂直，且，是的中点（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求直线和平面的所成角的正弦值19（12分）如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形， ，平面，是棱上的一个点，为的中点（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值20（12分）如图，在四棱锥中，底面为矩形，（1）求直线与平面所成角的正弦值；（2
5、）求二面角的余弦值21（12分）如图，已知四棱锥的底面为直角梯形，且，（1）求证：平面平面；（2）设，求二面角的余弦值22（12分）如图，四棱锥中，底面为平行四边形，面，是棱的中点，且，（1）求证：面；（2）求二面角的大小；（3）若是上一点，且直线与平面成角的正弦值为，求的值单元训练金卷高三数学卷答案（A）第十六单元 空间向量在立体几何中的应用一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1【答案】B【解析】由题意可得： ，解得：，故选B2【答案】C【解析】因为、，所以可知角为钝角，故的形状是钝角三角形选C3【答案】B【解析】由题意；又
6、，故选B4【答案】C【解析】关于平面对称的点横坐标、纵坐标不变，竖坐标变为它的相反数，从而有点关于平面对称的点的坐标为，选C5【答案】D【解析】，设正方体的棱长为，由题意可得，解得，正方体的体积为，故选D6【答案】D【解析】如图建立如图所示的空间直角坐标系，则，故，则，所以，故选D7【答案】A【解析】建立如图所示的空间坐标系，设边长为则，故，所以，则，应选答案A8【答案】D【解析】因为，所以，即或故选D9【答案】C【解析】分别以，为，轴建立如图所示空间直角坐标系设正方体的棱长为1，可得，设是平面的一个法向量，即取，得，平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为，即直线与平面所成角的余弦值是故选C
7、10【答案】D【解析】如图所示，以为原点建立空间直角坐标系设，则，设平面PAC的法向量为，则可求得，则，直线与平面所成的角为故选D11【答案】B【解析】以B为坐标原点，分别以BC、BA、BP所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则，设平面BED的一个法向量为，则，取，得，平面ABE的法向量为，平面ABE与平面BED的夹角的余弦值为故选B12【答案】D【解析】建立如图所示的空间直角坐标系考虑点与点A重合时的情况设正方体的棱长为1，则，设平面的一个法向量为，由，得，令，得同理可得平面和平面的法向量分别为，结合图形可得：，又，故选D二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分请把答案填在题
8、中横线上）13【答案】【解析】设平面的法向量，平面的法向量，因为，所以，所以存在实数，使得，所以有，解得，故答案为14【答案】【解析】设，由，得，解得，故点的坐标为15【答案】【解析】， ，即顶点的坐标是16【答案】【解析】以正方形的中心为原点，平行于的直线为轴，平行于的直线为轴，为轴建立如图所示空间直角坐标系，设四棱锥棱长为2，则，所以，故异面直线，所成角的余弦值为三、解答题（本大题有6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17【答案】（1）；（2）点的坐标是，即点是的中点【解析】（1）分别以、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间坐标系，如图，则，设，则， ，解得点坐标是；（2）
9、平面，可设，又平面，解得；又，点的坐标是，即点是的中点18【答案】（1）；（2）【解析】（1）以为原点，、分别为、轴建立空间直角坐标系则有、，所以异面直线BE与AC所成角的余弦为（2）设平面ABC的法向量为，则知，知取，则，故BE和平面ABC的所成角的正弦值为19【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）证明：连接，设，取的中点，连接，在中，因为，分别为，的中点，所以，又平面，所以平面，同理，在中，平面，因为平面，所以平面（2）以为坐标原点，分别以，所在的直线为，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，在等边三角形中，因为，所以，因此，且，设平面的一个法向量为，则，取，得，直线与平面所成的角为，则2
10、0【答案】（1）；（2）【解析】，底面，又底面为矩形，分别以，为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，（1）设平面的一个法向量，则，令，得，与平面所成角的正弦值（2）设平面的一个法向量，则令，得 ，二面角的余弦值为21【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）证明：如图，取，的中点，连接，则四边形为正方形，又，又平面，又平面，又，平面又平面，平面平面（2）解：由（1）知，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，令，则，设平面的一个法向量为，由，得，取，得又设平面的法向量为，由得，取，得，由图形得二面角为锐角，二面角的余弦值为22【答案】（1）见解析；（2）；（3）【解析】证明：（1）连结因为在中，所以，所以因为，所以又因为地面，所以因为，所以平面（2）如图建立空间直角坐标系，则，因为是棱的中点，所以所以， 设为平面的法向量，所以，即，令，则，所以平面的法向量因为平面，所以是平面的一个法向量所以因为二面角为锐二面角，所以二面角的大小为（3）因为是棱上一点，所以设，设直线与平面所成角为，因为平面的法向量，所以解得，即，所以