1、第二章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识第二章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识第11节 导数在研究函数中的应用第二章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次).了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)第
2、二章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识整合主干知识第二章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识1函数的单调性与导数(1)函数yf(x)在某个区间内可导若f(x)0，则f(x)在这个区间内_；若f(x)0吗？f(x)0是否是f(x)在(a，b)内单调递增的充要条件？提示：函数f(x)在(a，b)内单调递增，则f(x)0，f(x)0是f(x)在(a，b)内单调递增的充分不必要条件第二章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识2函数的极值
3、与导数(1)函数极小值的概念满足函数yf(x)在点xa处的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都_；f(a)_；在点xa附近的左侧_，右侧_；则点xa叫做函数yf(x)的_，f(a)叫做函数yf(x)的_小0f(x)0极小值点极小值第二章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识(2)函数极大值的概念满足函数yf(x)在点xb处的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都_；f(b)_0；在点xb附近的左侧_，右侧_；则点xb叫做函数yf(x)的_，f(b)叫做函数yf(x)的_；极小值点与极大值点统称为_，极小值与极大值统称为_大
4、f(x)0f(x)0极大值点极大值极值点极值第二章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识(3)求可导函数极值的步骤求导数f(x)，写出导数的定义域；求方程f(x)0的根；列表，检验f(x)在方程f(x)0的根左右两侧的符号(判断yf(x)在根左右两侧的单调性)，如果左正右负(左增右减)，那么f(x)在这个根处取得_如果左负右正(左减右增)，那么f(x)在这个根处取得_如果左右两侧符号一样，那么这个根不是极值点极大值极小值第二章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识质疑探究2：f(x0)0
5、是可导函数f(x)在xx0处取极值的什么条件？提示：必要不充分条件，因为当f(x0)0且x0左右两端的导数符号变化时，才能说f(x)在xx0处取得极值反过来，如果可导函数f(x)在xx0处取极值，则一定有f(x0)0.第二章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识3函数的最值与导数求函数yf(x)在闭区间a，b上的最大值与最小值的步骤：(1)求yf(x)在(a，b)内的_；(2)将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较，其中_的一个为最大值，_的一个为最小值极值最大最小第二章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养
6、提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识4利用导数解决实际生活中的优化问题(1)分析实际问题中各变量之间的关系，建立实际问题的数学模型，写出相应的函数关系式yf(x)并确定定义域；(2)求导数f(x)，解方程f(x)0；(3)判断使f(x)0的点是极大值点还是极小值点；(4)确定函数的最大值或最小值，还原到实际问题中作答第二章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识1(2015哈尔滨模拟)函数 y12x2ln x 的单调递减区间为()A(1,1 B(0,1C1，)D(0，)解析：由题意知函数的定义域为(0，)，又由 yx1x0，解得 0
7、 x1，所以函数的单调递减区间为(0,1.故选 B.答案：B第二章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识2函数 yxex 的最小值是()A1 BeC1eD不存在解析：yexxex，令 y0，则 x1，x1 时，y1 时，y0，x1 是函数的唯一极小值点，即为最小值点，x1 时，ymin1e，故选 C.答案：C第二章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识3从边长为10 cm16 cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为()A12 cm3B72 c
8、m3C144 cm3D160 cm3第二章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识答案：C解析：设盒子容积为 y cm3，盒子的高为 x cm.则 y(102x)(162x)x4x352x2160 x(0 x0是f(x)为增函数的充要条件；函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的；函数的极大值不一定比极小值大；对可导函数f(x)，f(x0)0是x0点为极值点的充要条件；函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值其中真命题的是_(写出所有真命题的序号)第二章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热
9、点题型整合主干知识解析：错误f(x)0能推出f(x)为增函数，反之不一定如函数f(x)x3在(，)上单调递增，但f(x)0.所以f(x)0是f(x)为增函数的充分条件，但不是必要条件错误一个函数在某区间上或定义域内的极大值可以不止一个正确一个函数的极大值与极小值没有确定的大小关系，极大值可能比极小值大，也可能比极小值小错误对可导函数f(x)，f(x0)0只是x0点为极值点的必要条件，如yx3在x0时f(0)0，而函数在R上为增函数，所以0不是极值点正确当函数在区间端点处取得最值时，这时的最值不是极值答案：第二章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合
10、主干知识聚集热点题型第二章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识典例赏析1 设函数f(x)(xa)eax(aR)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在区间(4,4)内单调递增，求a的取值范围利用导数研究函数的单调性第二章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识解(1)由 f(x)(axa21)eax.当 a0 时，f(x)0 的解为a21a，f(x)0 的解 为，a21a，函 数f(x)的 单 调 递 增 区 间 是a21a，单调递减区间是，a21a；第二章2016年新课标
11、高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识当 a0 时，f(x)1，函数在(，)上单调递增；当 a0 时，只要a21a4，即 a24a10，解得 0a2 3或者 a2 3.当 a0 时，函数在(4,4)单调递增；第二章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识当 a0 时，只要a21a4，即 a24a10，解得 a2 3或者2 3a0(或f(x)min0)在A上成立求解根据f(x)在区间A上为单调函数，求参数取值范围转化为f(x)在A上不变号(即f(x)0或f(x)0在A上恒成立问题)求解根据f(x)在区间A上
12、不单调，求参数取值范围转化为方程f(x)0在A上无重复的实数根问题求解第二章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识提醒：含有字母参数的函数的单调性需要根据参数的取值范围进行讨论第二章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识变式训练1(2015长春模拟)已知函数f(x)x2aln x.(1)当a2时，求函数f(x)的单调区间；(2)若g(x)f(x)在1，)上是单调函数，求实数a的取值范围解：(1)由已知，函数的定义域为(0，)，当 a2 时，f(x)x22ln x，所以 f(x)2x2x2
13、x1x1x，则当 x(0,1)时，f(x)0，(1，)为 f(x)的单调递增区间(2)由题意得 g(x)2xax 2x2，函数 g(x)在1，)上是单调函数()若函数 g(x)为1，)上的单调增函数，则 g(x)0 在1，)上恒成立，即 a2x2x2 在1，)上恒成立，第二章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识设(x)2x2x2，则(x)2x24x0，所以(x)在1，)上单调递减，所以(x)max(1)0，所以 a0.()若函数 g(x)为1，)上的单调减函数，则 g(x)0 在1，)上恒成立，a 无解综上，实数 a 的取值范围是0，)第
14、二章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识利用导数研究函数的极值典例赏析 2 设 a0，函数 f(x)12x2(a1)xa(1ln x)(1)求曲线 yf(x)在(2，f(2)处与直线 yx1 垂直的切线方程；(2)求函数 f(x)的极值第二章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识解(1)由已知，得 x0，f(x)x(a1)ax，yf(x)在(2，f(2)处切线的斜率为 1，所以 f(2)1，即 2(a1)a21，所以 a0，此时 f(2)220，故所求的切线方程为 yx2.(2)f(x
15、)x(a1)axx2a1xaxx1xax.第二章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识当 0a0，函数 f(x)单调递增；若 x(a,1)，f(x)0，函数 f(x)单调递增此时 xa 是 f(x)的极大值点，x1 是 f(x)的极小值点，函数 f(x)的极大值是 f(a)12a2aln a，极小值是 f(1)12.第二章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识当 a1 时，f(x)x12x0，所以函数 f(x)在定义域(0，)内单调递增，此时 f(x)没有极值点，故无极值当 a1 时，若
16、 x(0,1)，f(x)0，函数 f(x)单调递增；若 x(1，a)，f(x)0，函数 f(x)单调递增此时 x1 是 f(x)的极大值点，xa 是 f(x)的极小值点，函数 f(x)的极大值是 f(1)12，第二章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识极小值是 f(a)12a2aln a.综上，当 0a1 时，f(x)的极大值是12，极小值是12a2aln a.第二章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识名师讲坛 运用导数求可导函数yf(x)的极值的步骤：(1)先求函数的定义域，再求函
17、数yf(x)的导数f(x)；(2)求方程f(x)0的根；(3)检查f(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值如果左右符号相同，则此根处不是极值点提醒：若函数yf(x)在区间(a，b)内有极值，那么yf(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值第二章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识变式训练2设 f(x)ex1ax2，其中 a 为正实数(1)当 a43时，求 f(x)的极值点；(2)若 f(x)为 R 上的单调函数，求 a 的取值范
18、围解：对 f(x)求导得 f(x)ex1ax22ax1ax22.(1)当 a43时，若 f(x)0，则 4x28x30，解得 x132，x212.结合，可知第二章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识x，121212，323232，f(x)00f(x)极大值极小值所以 x132是极小值点，x212是极大值点第二章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识(2)若f(x)为R上的单调函数，则f(x)在R上不变号，结合与条件a0，知ax22ax10在R上恒成立，即4a24a4a(a1)0，由此并
19、结合a0，知0a1.所以a的取值范围为a|00)，f(x)1x 1x2x1x2.所以，当 0 x1 时，f(x)1 时，f(x)0.所以，当 x1 时，函数有最小值 f(1)1.(2)f(x)1x 1x2aax2x1x2.当 a0 时，ax2x1 在 x2，)上恒大于零，即f(x)0，符合要求第二章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识当 a0，又由 h0 可得 r0，故 V(r)在(0,5)上为增函数；当 r(5,5 3)时，V(r)0，所以 x509 或 x3.又因为 x(0,8，且 xN*，所以函数 g(x)在区间(0,3)和509，
20、8 上是增函数第二章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识同理函数 g(x)在区间3，509 上是减函数又 xN*，且 g(1)g(6)0，(4 分)所以当 x(0,2)时，f(x)0，函数 yf(x)单调递增(5 分)所以 f(x)的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2，)(6 分)(2)由(1)知，k0 时，函数 f(x)在(0,2)内单调递减，故 f(x)在(0,2)内不存在极值点；(7 分)当 k0 时，设函数 g(x)exkx，x0，)(8 分)因为 g(x)exkexeln k，当 00，yg(x)单调递增故f(x)在(
21、0,2)内不存在两个极值点；(9分)当k1时，得x(0，ln k)时，g(x)0，函数yg(x)单调递增所以函数yg(x)的最小值为g(ln k)k(1ln k)(10分)函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点当且仅当第二章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识 g00，gln k0，0ln k2.解得 ek0(f(x)0)，由题意知 6x01 1x0(x00)，即 6x20 x010，解得 x012或 x013，又x00，x012.第二章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识(2)设
22、 yf(x)与 yg(x)有公共切线时，切点分别为 A(x1,3x21x1m)，B(x2，ln x2)，则 f(x1)g(x2)即 6x1 1x2 公切线：yln x2 1x2(xx2)过另一切点 A(x1,3x21x1m)3x21x1mln x2 1x2(x1x2)由 得 m 3x2 ln(6x1 1)1，x1 16，m 62x13x16x11第二章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识当 x116，12 时，m0，mm12 14ln 2.即 m 的取值范围是14ln 2，.(3)F(x)f(x)g(x)3x2xmln x，故 F(x)6
23、x11x6x2x1x3x12x1x，第二章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识当 x 变化时，F(x)与 F(x)在区间13，1 的变化情况如下表：x13，121212，1F(x)0F(x)极小值 又F13 mln 3，第二章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识F(1)2mF13，当 x13，1 时，F(x)minF12m14ln 2m14ln 2，F(x)maxF(1)m2m14ln 2.第二章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干
24、知识1一个区别极值与最值的区别极值是指某一点附近函数值的比较，因此，同一函数在某一点的极大(小)值，可以比另一点的极小(大)值小(大)；最大、最小值是指闭区间a，b上所有函数值的比较因而在一般情况下，两者是有区别的，极大(小)值不一定是最大(小)值，最大(小)值也不一定是极大(小)值，但如果连续函数在开区间(a，b)内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值第二章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识2两个注意(1)注意实际问题中函数定义域的确定(2)在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定最大值还
25、是最小值即可，不必再与端点的函数值比较3三个防范(1)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论；另外注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念第二章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识(2)f(x0)0是yf(x)在xx0取极值的既不充分也不必要条件如y|x|在x0处取得极小值，但在x0处不可导；f(x)x3，f(0)0，但x0不是f(x)x3的极值点(3)若yf(x)可导，则f(x0)0是f(x)在xx0处取极值的必要条件第二章2016年新课标高考大一轮复习讲义提升学科素养提能课时冲关人教A数学聚焦热点题型整合主干知识点击进入WORD链接提能课时冲关