1、2016-2017学年河北省唐山一中高二（下）3月月考数学试卷（文科）一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1直线x+y+1=0的倾斜角为（）A30B60C120D1502过点A（0，2），B（2，2），且圆心在直线xy2=0上的圆的方程是（）A（x1）2+（y+1）2=26B（x+1）2+（y+3）2=26C（x+2）2+（y+4）2=26D（x2）2+y2=263已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，则该椭圆的离心率等于（）ABCD4曲线y=lnx2x在点（1，2）处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积是（）ABC1D25设P（x，y）是曲线C：为参数，02）上任意一点，则的取值范围是
2、（）ABCD6平行四边形ABCD内接于椭圆+=1，直线AB的斜率k1=1，则直线AD的斜率k2=（）ABCD27曲线C1的极坐标方程为=R（R0），曲线C2的参数方程为（为参数），若C1与C2有公共点，则R的取值范围是（）A2，+）B，+）C2，D2，38（普通班做）直线（t是参数）被圆x2+y2=9截得的弦长等于（）ABCD9设某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥外接球的表面积为（）A4B6C8D1010长方体ABCDA1B1C1D1的底面是边长为a的正方形，若在侧棱AA1上至少存在一点E，使得C1EB=90，则侧棱AA1的长的最小值为（）AaB2aC3aD4a11若函数f（x）=lnx+（
3、xb）2（bR）在区间，2上存在单调递增区间，则实数b的取值范围是（）A（，）B（，）C（，）D（，+）12函数f（x）=axx3（a0，且a1）恰好有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A1aeB1aeC0aeDeae二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13直三棱柱ABCA1B1C1中，若BAC=90，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成角的大小为14若点P是曲线y=x2lnx上任意一点，则点P到直线y=x2的最小距离为15已知曲线C的极坐标方程为=，则C上的点到直线x2y4=0的距离的最小值为16已知x（0，2），关于x的不等式恒成立，则实数k的取值范围为三.
4、解答题（17题10分，其它题每题12分，共70分）17设p：实数x满足（xa）（x3a）0，其中a0q：实数x满足（1）若a=1且pq为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围18如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，底面ABCD是菱形，BAD=60，AB=2，PD=，O为AC与BD的交点，E为棱PB上一点（）证明：平面EAC平面PBD；（）若PD平面EAC，求三棱锥PEAD的体积19在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数）以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos（+）=l与C交于A、B两点（）求曲线C的普通
5、方程及直线l的直角坐标方程；（）设点P（0，2），求|PA|+|PB|的值20已知函数（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在0，1上的最小值为，求实数a的值21设抛物线的顶点在坐标原点，焦点F在y轴正半轴上，过点F的直线交抛物线于A，B两点，线段AB的长是8，AB的中点到x轴的距离是3（1）求抛物线的标准方程；（2）设直线m在y轴上的截距为6，且与抛物线交于P，Q两点，连结QF并延长交抛物线的准线于点R，当直线PR恰与抛物线相切时，求直线m的方程22已知函数f（x）=a（x1）（exa）（常数aR且a0）（）证明：当a0时，函数f（x）有且只有一个极值点；（）若函数
6、f（x）存在两个极值点x1，x2，证明：0f（x1）且0f（x2）2016-2017学年河北省唐山一中高二（下）3月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1直线x+y+1=0的倾斜角为（）A30B60C120D150【考点】直线的倾斜角【分析】设出直线的倾斜角，求出斜率，就是倾斜角的正切值，然后求出倾斜角【解答】解：设直线的倾斜角为，由题意直线的斜率为，即tan=所以=150故选D2过点A（0，2），B（2，2），且圆心在直线xy2=0上的圆的方程是（）A（x1）2+（y+1）2=26B（x+1）2+（y+3）2=26C（x+2）2+（y+4
7、）2=26D（x2）2+y2=26【考点】圆的标准方程【分析】由题意可得AB的垂直平分线的方程，可得圆心，再由距离公式可得半径，可得圆的方程【解答】解：由题意可得AB的中点为（1，2），AB的斜率k=0，AB的垂直平分线的方程为x=1，联立可解得，即圆心为（1，3），半径r=，所求圆的方程为（x+1）2+（y+3）2=26故选：B3已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，则该椭圆的离心率等于（）ABCD【考点】椭圆的简单性质【分析】根据题意，可得2a=（2b），变形可得b=a，进而计算可得c=a，由椭圆的离心率公式计算可得答案【解答】解：根据题意，椭圆的长轴长是短轴长的倍，即2a=（2b），变形可得b=
8、a，则c=a，故离心率e=；故选：B4曲线y=lnx2x在点（1，2）处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积是（）ABC1D2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】根据求导公式求出函数的导数，把x=1代入求出切线的斜率，代入点斜式方程并化简，分别令x=0和y=0求出切线与坐标轴的交点坐标，再代入面积公式求解【解答】解：由题意得y=2，则在点M（1，2）处的切线斜率k=1，故切线方程为：y+2=（x1），即y=x1，令x=0得，y=1；令y=0得，x=1，切线与坐标轴围成三角形的面积S=，故选A5设P（x，y）是曲线C：为参数，02）上任意一点，则的取值范围是（）ABCD【考点】直线与圆的
9、位置关系；直线的斜率；圆的参数方程【分析】求出圆的普通方程，利用的几何意义，圆上的点与坐标原点连线的斜率，求出斜率的范围即可【解答】解：曲线C：为参数，02）的普通方程为：（x+2）2+y2=1，P（x，y）是曲线C：（x+2）2+y2=1上任意一点，则的几何意义就是圆上的点与坐标原点连线的斜率，如图：故选C6平行四边形ABCD内接于椭圆+=1，直线AB的斜率k1=1，则直线AD的斜率k2=（）ABCD2【考点】椭圆的简单性质【分析】设直线AB的方程为y=x+t，A（x1，y1），B（x2，y2），利用椭圆与平行四边形的对称性可得：D（x2，y2）直线方程与椭圆方程联立化为3x2+4tx+2t
10、24=0，0，解得0t26，可得直线AD的斜率k2=1+，再利用根与系数的关系即可得出【解答】解：设直线AB的方程为y=x+t，A（x1，y1），B（x2，y2），利用椭圆与平行四边形的对称性可得：D（x2，y2）联立，化为3x2+4tx+2t24=0，0，解得0t26（t=0时不能构成平行四边形）x1+x2=直线AD的斜率k2=1+=故选：B7曲线C1的极坐标方程为=R（R0），曲线C2的参数方程为（为参数），若C1与C2有公共点，则R的取值范围是（）A2，+）B，+）C2，D2，3【考点】简单曲线的极坐标方程【分析】求出曲线C1的直角坐标方程为x2+y2=R2（R0），曲线C2的直角坐标方
11、程为xy2=0，由C1与C2有公共点，知圆心C1（0，0）到直线xy2=0的距离dR，由此能求出R的取值范围【解答】解：曲线C1的极坐标方程为=R（R0），曲线C1的直角坐标方程为x2+y2=R2（R0），曲线C2的参数方程为（为参数），曲线C2的直角坐标方程为xy2=0，C1是以C1（0，0）为圆心，R为半径的圆，C1与C2有公共点，圆心C1（0，0）到直线xy2=0的距离：d=R，解得RR的取值范围是，+）故选：B8（普通班做）直线（t是参数）被圆x2+y2=9截得的弦长等于（）ABCD【考点】参数方程化成普通方程【分析】直线（t是参数），消去参数化为普通方程利用点到直线的距离公式可得：圆
12、心O（0，0）到直线的距离d，即可得出直线被圆x2+y2=9截得的弦长=2【解答】解：直线（t是参数），消去参数化为普通方程：x2y+3=0圆心O（0，0）到直线的距离d=，直线被圆x2+y2=9截得的弦长=2=2=故选：D9设某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥外接球的表面积为（）A4B6C8D10【考点】由三视图求面积、体积【分析】作出三棱锥的直观图，根据三视图数据计算外接球半径，从而得出面积【解答】解：根据三视图作出棱锥的直观图如图所示，由三视图可知底面ABC是等腰直角三角形，ABBC，AC=2，PA平面ABC，PA=2PC=2，取AC的中点D，PC的中点O，连结OD，BD，OB，则OD
13、PA，OD=PA=1，BD=AC=1，OD平面ABC，OA=OC=OP=PC=，OB=OA=OB=OC=OP=，即三棱锥的外接球球心为O，半径为外接球的面积S=4（）2=8故选C10长方体ABCDA1B1C1D1的底面是边长为a的正方形，若在侧棱AA1上至少存在一点E，使得C1EB=90，则侧棱AA1的长的最小值为（）AaB2aC3aD4a【考点】点、线、面间的距离计算【分析】设侧棱AA1的长为x，A1E=t，则AE=xt，由已知得t2xt+a2=0，由此利用根的判别式能求出侧棱AA1的长的最小值【解答】解：设侧棱AA1的长为x，A1E=t，则AE=xt，长方体ABCDA1B1C1D1的底面是
14、边长为a的正方形，C1EB=90，2a2+t2+a2+（xt）2=a2+x2，整理，得：t2xt+a2=0，在侧棱AA1上至少存在一点E，使得C1EB=90，=（x）24a20，解得x2a侧棱AA1的长的最小值为2a故选：B11若函数f（x）=lnx+（xb）2（bR）在区间，2上存在单调递增区间，则实数b的取值范围是（）A（，）B（，）C（，）D（，+）【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】利用导函数得到不等式恒成立，然后求解b的范围【解答】解：函数f（x）在区间，2上存在单调增区间，函数f（x）在区间，2上存在子区间使得不等式f（x）0成立f（x）= +2（xb）=，设h（x）=2x22
15、bx+1，则h（2）0或h（）0，即84b+10或b+10，得b故选：B12函数f（x）=axx3（a0，且a1）恰好有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A1aeB1aeC0aeDeae【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】原题意等价于方程ax=x3恰有两个不同的解分类讨论结合函数思想求解当0a1时，y=ax与y=x3的图象只有一个交点，不符合题意当a1时，y=ax与y=x3的图象在x（，0）上没有交点，所以只考虑x0，于是可两边同取自然对数，得xlna=3lnx，即lna=，构造函数g（x）=，求解，利用导数求解即可【解答】解：f（x）=axx3（a0，且a1）恰好有两个不同的零点等
16、价于方程ax=x3恰有两个不同的解当0a1时，y=ax与y=x3的图象只有一个交点，不符合题意当a1时，y=ax与y=x3的图象在x（，0）上没有交点，所以只考虑x0，于是可两边同取自然对数，得xlna=3lnx，即lna=，令g（x）=，则，当x（0，e）时，g（x）单调递增，当x1时，当g（x）0，x（e，+）时，g（x）单减且g（x）0要有两个交点，0lnag（e）=，即1a故选：A二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13直三棱柱ABCA1B1C1中，若BAC=90，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成角的大小为60【考点】异面直线及其所成的角【分析】延长CA到
17、D，根据异面直线所成角的定义可知DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，而三角形A1DB为等边三角形，可求得此角【解答】解：延长CA到D，使得AD=AC，则ADA1C1为平行四边形，DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，直三棱柱ABCA1B1C1中，BAC=90，AB=AC=AA1，三角形A1DB为等边三角形，DA1B=60故答案为：6014若点P是曲线y=x2lnx上任意一点，则点P到直线y=x2的最小距离为【考点】点到直线的距离公式【分析】由题意知，当曲线上过点P的切线和直线y=x2平行时，点P到直线y=x2的距离最小求出曲线对应的函数的导数，令导数值等于1，可得且点的坐标，此切
18、点到直线y=x2的距离即为所求【解答】解：点P是曲线y=x2lnx上任意一点，当过点P的切线和直线y=x2平行时，点P到直线y=x2的距离最小直线y=x2的斜率等于1，令y=x2lnx的导数 y=2x=1，x=1，或 x=（舍去），故曲线y=x2lnx上和直线y=x2平行的切线经过的切点坐标（1，1），点（1，1）到直线y=x2的距离等于，故点P到直线y=x2的最小距离为，故答案为15已知曲线C的极坐标方程为=，则C上的点到直线x2y4=0的距离的最小值为【考点】简单曲线的极坐标方程【分析】曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，得，从而曲线C的参数方程为，02，设C上的点P（2cos，sin），
19、求出P到直线x2y4=0的距离d=|sin（）2|，由此能求出C上的点到直线x2y4=0的距离的最小值【解答】解：曲线C的极坐标方程为=，2+32sin2=4，曲线C的直角坐标方程为x2+4y2=4，即，曲线C的参数方程为，02，设C上的点P（2cos，sin），P到直线x2y4=0的距离d=|sin（）2|，当sin（）=1时，C上的点到直线x2y4=0的距离的最小值为dmin=故答案为：16已知x（0，2），关于x的不等式恒成立，则实数k的取值范围为0，e1）【考点】利用导数求闭区间上函数的最值【分析】根据题意显然可知k0，整理不等式得出k+x22x，利用构造函数f（x）=+x22x，通过
20、导函数得出函数在区间内的单调性，求出函数的最小值即可【解答】解：依题意，k+2xx20，即kx22x对任意x（0，2）都成立，k0，k+x22x，令f（x）=+x22x，f（x）=+2（x1）=（x1）（ +2），令f（x）=0，解得x=1，当x（1，2）时，f（x）0，函数递增，当x（0，1）时，f（x）0，函数递减，f（x）的最小值为f（1）=e1，0ke1，故答案为：0，e1）三.解答题（17题10分，其它题每题12分，共70分）17设p：实数x满足（xa）（x3a）0，其中a0q：实数x满足（1）若a=1且pq为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围
21、【考点】复合命题的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】分别化简p：ax3a，q：2x3（1）当a=1时，p：1x3要使pq为真，则须满足，解得即可（2）由p是q的必要不充分条件，可得（2，3）（a，3a）即，解得即可【解答】解：依题意知：p：ax3a，即2x3（1）当a=1时，p：1x3要使pq为真，则须满足，解得：2x3；（2）p是q的必要不充分条件（2，3）（a，3a），解得：1a218如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，底面ABCD是菱形，BAD=60，AB=2，PD=，O为AC与BD的交点，E为棱PB上一点（）证明：平面EAC平面PBD；（）若PD平面EAC，求三
22、棱锥PEAD的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定【分析】（）由已知得ACPD，ACBD，由此能证明平面EAC平面PBD（）由已知得PDOE，取AD中点H，连结BH，由此利用，能求出三棱锥PEAD的体积【解答】（）证明：PD平面ABCD，AC平面ABCD，ACPD四边形ABCD是菱形，ACBD，又PDBD=D，AC平面PBD而AC平面EAC，平面EAC平面PBD（）解：PD平面EAC，平面EAC平面PBD=OE，PDOE，O是BD中点，E是PB中点取AD中点H，连结BH，四边形ABCD是菱形，BAD=60，BHAD，又BHPD，ADPD=D，BD平面PAD，=19在平面直角
23、坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数）以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos（+）=l与C交于A、B两点（）求曲线C的普通方程及直线l的直角坐标方程；（）设点P（0，2），求|PA|+|PB|的值【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程【分析】（）利用三种方程互化方法，曲线C的普通方程及直线l的直角坐标方程；（）点P（0，2）在l上，l的参数方程为为（t为参数），代入x2+y2=1整理得，3t210t+15=0，即可求|PA|+|PB|的值【解答】解：（）曲线C的参数方程为（为参数），普通方程为C： x2+y2=1；直线l的极坐标方程为cos（+
24、）=，即cossin=2，l：y=x2 （）点P（0，2）在l上，l的参数方程为（t为参数）代入x2+y2=1整理得，3t210t+15=0，由题意可得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1+t2|= 20已知函数（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在0，1上的最小值为，求实数a的值【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值，求出a的值即可【解答】解：（1）f（x）的定义域是R，且f（
25、x）=1+=，a=1时，f（x）=，由f（x）0，得x（0，+），由f（x）0，得x（，0），f（x）在（，0）递减，在（0，+）递增；（2）由（1）得f（x）=，若a1，则ex+a0，即f（x）0在0，1上恒成立，f（x）在0，1上是增函数，f（x）min=f（0）=a=，a=（舍）；若ae，则 ex+a0，即f（x）0在（0，1恒成立，f（x）在0，1递减，f（x）min=f（1）=1=，a=（舍）；若ea1，当0xln（a）时，f（x）0，f（x）在（0，ln（a）递减，当ln（a）x1时，f（x）0，f（x）在（ln（a），1）递增；f（x）min=f（ln（a）=ln（a）+1=，a
26、=，综上所述：a=21设抛物线的顶点在坐标原点，焦点F在y轴正半轴上，过点F的直线交抛物线于A，B两点，线段AB的长是8，AB的中点到x轴的距离是3（1）求抛物线的标准方程；（2）设直线m在y轴上的截距为6，且与抛物线交于P，Q两点，连结QF并延长交抛物线的准线于点R，当直线PR恰与抛物线相切时，求直线m的方程【考点】直线与抛物线的位置关系【分析】（1）设抛物线的方程为x2=2py（p0），求出准线方程，运用抛物线的定义和中位线定理，可得2（3+）=8，解得p，即可得到抛物线的方程；（2）设直线PQ的方程为y=kx+6，代入抛物线的方程，运用韦达定理，结合导数求得切线的斜率，再由两点的方斜率公
27、式，以及三点共线的条件：斜率相等，化简整理解方程可得k的值，客人得到直线m的方程【解答】解：（1）设抛物线的方程为x2=2py（p0），准线方程为y=，由抛物线的定义可得|AF|+|BF|=|AB|=2（3+）=8，解得p=2，即有抛物线的方程为x2=4y；（2）设直线PQ的方程为y=kx+6，代入抛物线的方程，可得x24kx24=0，设P（x1，），Q（x2，），可得x1+x2=4k，x1x2=24，由y=x2的导数为y=x，设R（t，1），可得kPR=x1，可得t=x1，再由Q，F，R共线，可得=，消去t，可得=，即有16x1x2=4（x12+x22）16（x1x2）2，即有16（24）=
28、4（4k）2+22416242，解方程可得k=，即有直线m的方程为y=x+622已知函数f（x）=a（x1）（exa）（常数aR且a0）（）证明：当a0时，函数f（x）有且只有一个极值点；（）若函数f（x）存在两个极值点x1，x2，证明：0f（x1）且0f（x2）【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性【分析】（）证明：当a0时，f（x）=0只有一个根，即可证明函数f（x）有且只有一个极值点；（）求出函数f（x）存在两个极值的等价条件，求出a的取值范围，结合不等式的性质进行求解即可【解答】（）证明：函数的导数f（x）=aexa+（x1）ex=a（xexa），当a0时，由f（x）
29、=0，得xex=a，即ex=，作出函数y=ex和y=的图象，则两个函数的图象有且只有1个交点，即函数f（x）有且只有一个极值点；（）由（）知，当a0时，函数f（x）有且只有一个极值点；不满足条件，则a0，f（x）存在两个极值点x1，x2，x1，x2，是h（x）=f（x）=a（xexa）的两个零点，令h（x）=a（x+1）ex=0，得x=1，令h（x）0得x1，令h（x）0得x1，h（x）在（，1上是增函数，在1，+）上是减函数，h（0）=f（0）=a20，必有x11x20令f（t）=a（teta）=0，得a=tet，此时f（t）=a（t1）（eta）=tet（t1）（ettet）=e2tt（t
30、1）2=e2t（t32t2+t），x1，x2，是h（x）=f（x）=a（xexa）的两个零点，f（x1）=e（x132x12+x1），f（x2）=e（x232x22+x2），将代数式e2t（t32t2+t）看作以t为变量的函数g（t）=e2t（t32t2+t）g（t）=e2t（t21）（2t1），当t1时，g（t）=e2t（t21）（2t1）0，则g（t）在（，1）上单调递增，x11，f（x1）=g（x1）g（1）=，f（x1）=ex1（x11）20，0f（x1），当1t0时，g（t）=e2t（t21）（2t1）0，则g（t）在（1，0）上单调递减，1x20，0=g（0）=g（x2）=f（x2）g（1）=综上，0f（x1）且0f（x2）2017年5月7日