1、2018年茂名市高三级第一次综合测试数学试卷（文科） 2018.1第一部分 选择题（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1. 若集合A=x|1x3，B=1, 0, 1, 2，则AB=( )A. 1, 0, 1, 2 B. x|1x3 C. 0,1, 2 D. 1, 0, 1【答案】C【解析】由题意得选C2. 已知复数z满足zi=2+i，i是虚数单位，则|z|=( )A. B. C. 2 D. 【答案】D【解析】由题意得，所以选D3. 在1, 2, 3, 6这组数据中随机取出三个数，则数字2是这三个不同数字的平均数
2、的概率是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】在1, 2, 3, 6中随机取出三个数，所有的可能结果为(1, 2, 3), (1, 2, 6), (1, 3, 6),(2, 3, 6)，共4种，其中数字2是这三个不同数字的平均数的结果有(1, 2, 3) ，共1种有古典概型概率公式可得所求概率为即数字2是这三个不同数字的平均数的概率是选A4. 已知变量满足约束条件 则的最小值为()A. 11 B. 12 C. 8 D. 3【答案】C【解析】画出不等式组表示的可行域如图所示，由得，平移直线，由图形可得，当直线经过可行域内的点A时，直线在y轴上的截距最小，此时z取得最小值由，解得，故点A
3、的坐标为A(2, 2)选C5. 设等差数列an的前n项和为Sn，若a2+a8=10，则S9= ()A. 20 B. 35 C. 45 D. 90【答案】C【解析】由等差数列的性质得，所以选C6. 已知抛物线的准线与x轴交于点D,与双曲线交于A, B两点，点F为抛物线的焦点，若ADF为等腰直角三角形，则双曲线的离心率是()A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意得抛物线的准线方程为，准线与轴的交点为因为为等腰直角三角形，所以，故点A的坐标为，由点在双曲线上，可得，解得，即，所以，所以双曲线的离心率选D7. 已知函数f(x)=sin(wx+j) (w0, 0j)，f(x1)=1，f(x2)
4、=0，若|x1x2|min=，且f() =，则f(x)的单调递增区间为()A. B. C. D. 【答案】B【解析】 f(x1)=1，f(x2)=0，且|x1 x2|min=，函数的最小正周期，又， 由 ，得 f(x)的单调递增区间为选B8. 函数的部分图象大致为()A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意得函数f(x)为奇函数，故排除B；又，故排除A；当时，所以，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，故排除D选C9. 算法统宗是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，其意大致为：有一栋七层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，
5、共有381盏灯，则该塔中间一层有（ ）盏灯.A. 24 B. 48 C. 12 D. 60【答案】A【解析】由题意可知宝塔从上至下每层的灯盏数构成公比为2的等比数列，设等比数列的首项为，则有，解得该塔中间一层（即第4层）的灯盏数为选A10. 执行如图所示的程序框图，那么输出S的值是( )A. 2 018 B. 1C. D. 2【答案】C【解析】依次执行如框图所示的程序，其中初始值S2，k=0第一次：，满足条件，继续执行；第二次：，满足条件，继续执行；第三次：，满足条件，继续执行；第四次：，满足条件，继续执行；由此可得值的周期为3，且当时，；当时，；当时，所以当时，继续执行程序可得k2018，不
6、满足条件，退出循环，输出选B11. 如图所示为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有下列四个命题：AFGC；BD与GC成异面直线且夹角为60；BDMN；BG与平面ABCD所成的角为45.其中正确的个数是( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】将平面展开图还原成正方体（如图所示）对于，由图形知AF与GC异面垂直，故正确；对于，BD与GC显然成异面直线连EB，ED，则BMGC，所以即为异面直线BD与GC所成的角（或其补角）在等边BDM中，所以异面直线BD与GC所成的角为，故正确；对于，BD与MN为异面垂直，故错误；对于，由题意得GD平面ABCD，所以GBD是BG与平面ABC
7、D所成的角但在RtBDG中，GBD不等于45 ，故错误综上可得正确选B点睛：空间中点、线、面位置关系的判断方法(1)平面的基本性质是立体几何的基本理论基础，也是判断线面关系的基础对点、线、面的位置关系的判断，常用的方法时对各种关系都进行考虑，进行逐一排除，解题时要充分发挥模型的直观性作用；(2)利用线线平行、线面平行、面面平行以及线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定定理、性质定理综合进行推理和判断命题是否正确12. 定义在R上函数的图象关于直线x=2对称，且函数是偶函数. 若当x0,1时，则函数在区间2018,2018上零点的个数为( )A. 2017 B. 2018 C. 4034 D. 40
8、36【答案】D【解析】函数在区间2018,2018上零点的个数，就是的图象与的图象公共点的个数函数的图象关于直线x= 2对称，函数图象的对称轴为x=0，故是偶函数，即又函数是偶函数，故，函数是周期为2的偶函数又当x0,1时，画出与图象如下图所示，由图象可知在每个周期内两函数的图象有两个交点，所以函数在区间2018,2018上零点的个数为20182=4036选D点睛：函数零点的应用是高考考查的热点，主要考查利用零点的个数或存在情况求参数的取值范围，难度较大解题时常用的方法有以下几种： (1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数
9、值域的问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形得到两个函数，并在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象，然后利用数形结合求解第二部分 非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13. 已知则_【答案】1【解析】，答案：114. 曲线在点(1, ln2)处的切线方程为_【答案】【解析】，故所求的切线方程为，即答案：15. 从原点O向圆C: 作两条切线，则该圆被两切点所分的劣弧与优弧之比为_【答案】【解析】圆方程可化为，故圆心C的坐标为(0, 6)，半径所以该圆被两切点所分的劣弧与优弧之比为答案：16. 如图，三棱锥的所有顶点都在一个球
10、面上，在ABC中，AB=，ACB=60，BCD=90，ABCD，CD=，则该球的体积为_【答案】【解析】以ABC所在平面为球的截面，则由正弦定理得截面圆的半径为依题意得CD平面ABC，故球心到截面的距离为，则球的半径为，所以球的体积为答案：点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径 三、解答题：本大题共7小题，共70分.其中17至21题为必做题，22、23题为选做
11、题. 解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,且.（）求角C的大小； （）设角A的平分线交BC于D，且AD=，若b=，求ABC的面积.【答案】()；().【解析】试题分析：（）由条件及余弦定理可得，从而得到（）画出图形，在ADC中由正弦定理得，又，故，因此，根据角平分线得到，所以ABC是等腰三角形，再根据三角形的面积公式求解试题解析：()由已知及余弦定理得，整理得. ，又0Cp， ，即角C的大小为. ()由()，依题意画出图形在ADC中，AC=b=，AD=，由正弦定理得，又ADC中， ，故AD是角的平分线，, ABC为等腰三
12、角形，且ABC的面积18. 在四棱锥PABCD中，ADBC，平面PAC平面ABCD，AB=AD=DC=1，ABC=DCB=60，E是PC上一点.（）证明：平面EAB平面PAC；（）若PAC是正三角形，且E是PC中点，求三棱锥AEBC的体积.【答案】()证明见解析；().【解析】试题分析：()在等腰梯形ABCD中，由条件得ABAC，又平面PAC平面ABCD，故得AB平面PAC，从而可得平面EAB平面PAC()根据求解，由()得AB平面PAC，故AB为三棱锥BEAC的高，在正PAC中可得SEACSPAC，根据体积公式可求得三棱锥的体积试题解析：()证明：依题意得四边形ABCD是底角为60的等腰梯形
13、，BAD=ADC=120 AD=DC，DAC=DCA=30， BAC=BADDAC=12030=90，ABAC平面PAC平面ABCD, 平面PAC平面ABCD=AC，AB平面PAC又AB平面EAB，平面EAB平面PAC()由()及已知得，在RtABC中，ABC=60，AB=1，AC= ABtan60=，且BC=2AB=2又AB平面PAC，AB是三棱锥BEAC的高 E是PC的中点，SEACSPAC.三棱锥AEBC的体积为19. 一只药用昆虫的产卵数y与一定范围内的温度x有关, 现收集了该种药用昆虫的6组观测数据如下表：温度x/C212324272932产卵数y/个61120275777经计算得：
14、，线性回归模型的残差平方和，e8.06053167，其中xi, yi分别为观测数据中的温度和产卵数，i=1, 2, 3, 4, 5, 6.()若用线性回归模型，求y关于x的回归方程=x+（精确到0.1）；()若用非线性回归模型求得y关于x的回归方程为=0.06e0.2303x，且相关指数R2=0.9522.( i )试与()中的回归模型相比，用R2说明哪种模型的拟合效果更好.( ii )用拟合效果好的模型预测温度为35C时该种药用昆虫的产卵数（结果取整数）. 附：一组数据(x1,y1), (x2,y2), .,(xn,yn ), 其回归直线=x+的斜率和截距的最小二乘估计为 =；相关指数R2=
15、【答案】()=6.6x138.6()(i)答案见解析；(2)190.【解析】试题分析：.试题解析：()由题意得， 336.626=138.6， y关于x的线性回归方程为=6.6x138.6 () ( i )由所给数据求得的线性回归方程为=6.6x138.6，相关指数为R2=因为0.93980.9522，所以回归方程=0.06e0.2303x比线性回归方程=6.6x138.6拟合效果更好( ii )由( i )得当温度x=35C时，=0.06e0.230335=0.06e8.0605又e8.06053167， 0.063167190（个）即当温度x=35C时，该种药用昆虫的产卵数估计为190个
16、点睛：（1）回归分析问题中的计算比较复杂，因此在解题时要充分利用条件中所给的已知数据和公式（2）回归分析方程刻画了变量之间相关关系的相关程度，回归方程的不同，其反映的拟合效果也不一样，对此可用相关指数R2来刻画回归方程的拟合效果对同一组变量得到的不同的回归方程，当相关指数R2越大时，其拟合效果越好20. 已知椭圆C1以直线所过的定点为一个焦点，且短轴长为4.（）求椭圆C1的标准方程；（）已知椭圆C2的中心在原点，焦点在y轴上，且长轴和短轴的长分别是椭圆C1的长轴和短轴的长的l倍(l1)，过点C(1,0)的直线l与椭圆C2交于A，B两个不同的点，若，求OAB的面积取得最大值时直线l的方程.【答案
17、】().()或.【解析】试题分析：()根据直线过的定点可得，又b=2，可得，从而可得椭圆的方程()由题意设椭圆C2的方程为，结合条件可得点C(1,0)在椭圆C2内部，又直线l的斜率存在，故设其方程为y=k(x+1) (k0)，A(x1,y1), B(x2,y2)，将直线方程与椭圆方程联立消元后，根据二次方程的两根之和及可得，又由题意可得，然后利用基本不等式求得OAB面积的最值，并由此可得直线方程试题解析：()由题意，直线方程即为， 所以直线过定点，故椭圆的焦点为又由题意可知b=2，a2=c2+b2=9椭圆C1的标准方程为()由题意设椭圆C2的方程为， l1，点C(-1, 0)在椭圆内部，故直线
18、l与椭圆必有两个不同的交点由题意得直线l的斜率不存在时不和题意，从而得直线l的斜率存在且不为0，故设直线l的方程为y=k(x+1) (k0)，由消去x整理得设A(x1,y1), B(x2,y2)，则，且点C(1, 0)，(-1-x1, -y1)=2(x2+1, y2)，y1= -2y2，y1+y2= -y2 ，故 ，当且仅当，即k=时等号成立OAB面积的最大值为，此时直线l的方程为或点睛：圆锥曲线中求最值或范围时，一般先根据条件建立目标函数，再求这个函数的最值解题时可从以下几个方面考虑：利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；利用已知参数的范围，求新参数的范围，解题的关键是在两个参数之
19、间建立等量关系；利用基本不等式求出参数的取值范围；利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围21. 已知函数(aR).（）讨论的单调性；（）若. 证明：当，且时，【答案】()答案见解析；()证明见解析.【解析】 ()解：由条件得函数的定义域为(0, +)， ，其中方程的判别式当0，即时，在(0, +)上单调递增；当0，即时，方程有两根为，若, 则, 此时 , 在(0, +)上为增函数；若a0，则x10x2，此时 g(x)在(0, x2上为减函数，在(x2, +)上为增函数，综上，当时，在(0, +)上单调递增；当时，上单调递增()证明：由题意知，令，则 所以x1时，而 故当时，所以；当时，所以
20、综上可得当，且时，点睛：（1）证明不等式一般是证明与函数有关的不等式在某个范围内成立，解题时可通过构造函数的方法，通过求函数的最值（或值域）来解决（2）若证明f(x)g(x)，x(a，b)，可构造函数F(x)f(x)g(x)，如果F(x)0，则F(x)在(a，b)上是减函数，同时F(a)0，则由减函数的定义可知，当x(a，b)时，有F(x)0，即证明了f(x)g(x)对于证明f(x)g(x)形的不等式可采用同样的方法进行请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑22. 在直角坐标系xOy中，直线l经过点P(2,
21、0)，其倾斜角为a，在以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中（取相同的长度单位），曲线C的极坐标方程为（）若直线l与曲线C有公共点，求倾斜角a的取值范围；（）设M(x,y)为曲线C上任意一点，求的取值范围【答案】();().【解析】试题分析：（）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，设出直线l的方程，根据圆心到直线的距离小于半径得到直线斜率的范围，从而可得倾斜角a的取值范围()由题意得到曲线C的参数方程，故可将的范围问题化为三角函数的值域的问题求解试题解析：() 曲线C的极坐标方程即为， ，曲线C的直角坐标方程为，即 曲线C是圆心为C(2, 0)，半径为2的圆直线l过点P(2,0)，当
22、l的斜率存在时，直线l与曲线C才有公共点，设直线l的方程为，即， 直线l与圆有公共点，圆心C到直线l的距离 ，解得又，或.故的取值范围是()由()曲线C的直角坐标方程为，故其参数方程为 （为参数）M(x,y)为曲线C上任意一点， ，所以的取值范围是 23. 已知函数（）求不等式的解集；（）设函数的最大值为M，若不等式有解，求m的取值范围【答案】().().【解析】试题分析：（）根据零点分区间法将绝对值不等式化为不等式组求解（）先求得函数的最大值M=8，将问题转化为有解解决，即有解，求得函数的最大值即可试题解析：()，当时，此时无解； 当时，由，解得；当时，此时恒成立，故可得 综上所以不等式的解集是()由()可知 所以函数的最大值M=8， 由题意得有解，所以有解 设，则.所以因此实数m的取值范围是
