1、太康三高2022-2023学年上期高二12月月考数学（理）试题一、 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、“”是“直线与直线”平行的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2、已知向量，则( )A.B.C.D.3、在下列条件中，一定能使空间中的四点M，A，B，C共面的是( )A.B.C.D.4、若向量，且a与b的夹角的余弦值为，则实数等于( ).A.0B.C.0或D.0或5、已知空间中有三点，则C到直线AB的距离为( )A.1B.C.3D.26、若点在圆的内部，则实数a的取值范围是( )A.B
2、.C.或D.7、已知直线与圆相切，则m的值为( )A.B.C.D.8、已知椭圆，直线l过坐标原点并交椭圆于P，Q两点（P在第一象限），点A是x轴正半轴上一点，其横坐标是点P横坐标的2倍，直线QA交椭圆于点B，若直线BP恰好是以PQ为直径的圆的切线，则椭圆的离心率为( )A.B.C.D.9、双曲线与椭圆的焦点相同，则a等于( )A.1B.C.1或D.210、已知点A，B在双曲线上，线段AB的中点为，则( )A.B.C.D.11、已知抛物线的焦点在直线上，则此抛物线的标准方程是( )A.B.C.或D.或12、已知抛物线恰好经过圆的圆心，则抛物线C的焦点坐标为( )A.B.C.D.二填空题（本题共4
3、小题，每小题5分，共20分.）13、在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，则AB与PC的夹角的余弦值为_.14、己知，直线，若，则与之间的距离为_.15、已知椭圆的左、右焦点分别为，点P在椭圆上，且，的延长线交椭圆于点Q，若椭圆的离心率，则_.16、抛物线的准线方程是_.三解答题（本题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明证明过程或演算步骤.）17、如图，已知正方体的棱长为1，E为CD的中点，求点到平面的距离.18、如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，底面ABCD，且，F是棱PD的中点，E是棱CD的中点.（1）证明：平面PAC；（2）证明：.19、求圆心在直线上，与x
4、轴相切，且被直线截得的弦长为的圆的方程.20、已知椭圆的两个焦点分别为，若椭圆上存在一点P，使得，求该椭圆的离心率的取值范围.21、已知拋物线的焦点为F，直线与抛物线C交于A，B两点.（1）求弦AB的长；（2）求的面积.22、已知双曲线E的两个焦点分别为，并且E经过点.(1)求双曲线E的方程；(2)过点的直线l与双曲线E有且仅有一个公共点，求直线l的方程.参考答案1、答案：A解析：当时，即，解得或4.当时，直线的方程为，直线的方程为，此时；当时，直线的方程为，直线的方程为，此时.因为，因此，“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件.故选：A.2、答案：C解析：，.3、答案：C解析：根据向量共面
5、定理，若A，B，C不共线，且A，B，C，M共面，则其充要条件是，由此可得A，B，D不正确，选项C：，所以M，A，B，C四点共面，故选：C.4、答案：C解析：由题意得，解得或.故选C.5、答案：D解析：，C到直线AB的距离为.6、答案：A解析：因为点在圆的内部，所以，即，解得.故选：A.7、答案：A解析：第一步：将圆的方程化为标准形式，得到圆心和半径由，得，所以圆心，半径.第二步：结合点到直线的距离公式列关于m的方程并求解因为直线与圆相切，所以，解得，故选A.8、答案：D解析：依题意，设，直线QP、QB(QA)、BP的斜率分别为，则，两式相减得，即，椭圆的离心率，故选D.9、答案：A解析：因为双
6、曲线的焦点在x轴上，所以椭圆的焦点在x轴上，依题意得解得.故选：A10、答案：D解析：设，则可得方程组：，两式相减得：，即，其中因为AB的中点为，故，故，即直线AB的斜率为3，故直线AB的方程为：，联立，解得：，由韦达定理得：，则，故选：D.11、答案：C解析：当时，；当时，.因此抛物线的焦点可为，.当焦点为时，设标准方程为，且，；当焦点为时，设标准方程为，且，.故选C.12、答案：C解析：由已知得，圆M的圆心为：，故把圆心坐标代入抛物线得，解得，则抛物线，化简得，可得抛物线C的焦点坐标为故选：C.13、答案：解析：，又，.故答案为：14、答案：3解析：由得，解得，则直线，即与之间的距离为故答
7、案为：315、答案：解析：第一步：利用已知条件及椭圆的定义求，设，因为，所以，由椭圆的定义，得，即，又，所以，两边同时平方得，即，又，所以，所以，于是，.第二步：利用椭圆的定义及勾股定理求解设，则，根据，得，解得.第三步：求得结果故.16、答案：解析：因为抛物线的准线方程为，所以抛物线的准线方程为，故答案为.17、答案：解析：(方法一)如答图，以为单位正交基底建立空间直角坐标系，则，则.设平面的法向量，则取，则，点到平面的距离为.(方法二)如答图，连接，则.又在中，.设点到平面的距离为h，则，点到平面的距离为.18、答案：（1）设，以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立空
8、间直角坐标系Axyz，则，所以，设平面PAC的法向量为，则令，则，即，又，所以平面PAC.（2）由（1）得，因为，所以，所以.解析：19、答案：或解析：设所求圆的方程为.圆心到直线的距离为.依题意，有解方程组，得；或.所以所求的圆的方程有两个，它们分别是或.20、答案：在中，由余弦定理，可得，由于，所以.结合基本不等式，可得（当且仅当时等号成立），即，可得.又，所以该椭圆的离心率的取值范围为.解析：21、答案：（1）（2）解析：（1）联立消去y整理得，其中，设，则，所以，所以.（2）由题意得点，故点F到直线l的距离，所以.22、答案：解法一：(1)由已知可设双曲线E的方程为，则，解得所以双曲线E的方程为.(2)当直线l的斜率不存在时，显然不合题意，所以可设直线l的方程为，联立得得，当，即或时，方程只有一解，直线l与双曲线E有且仅有个公共点，此时，直线l的方程为；当，即时，要使直线l与双曲线E有且仅有一个公共点，则，解得，此时，直线l的方程为.综上所述，直线l的方程为或.解法二：(1)由已知可设双曲线E的方程为，根据双曲线定义得，即，所以，因为，所以，所以双曲线E的方程为.