1、第41课 两条直线的平行与垂直一、考纲要求1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直；2.了解二元一次方程组的解与两条直线的交点坐标之间的关系，体会数形结合思想；能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标，进而确定两直线的位置关系（平行、相交、重合）；3.掌握两点间的距离公式和点到直线的距离公式及其简单应用；会求两条平行直线间的距离.4通过分类讨论、数形结合等数学思想的运用，培养思维的严谨性、辩证性。二、知识梳理回顾要求1.两条直线分别为，则的充要条件是；的充要条件是。2.两条直线分别为，其中不全为0，也不全为0，则的充要条件是；的充要条件是。如果已知,两条直线的位置关系又如何？3.掌握平面上两点间距离
2、公式、中点坐标公式、点到直线的距离公式、两平行线间距离公式。4.完成课本104页例3，从中体会如何合理建立坐标系。建立坐标系是将几何问题转化为代数问题的基础。要点解析1两条直线平行等价于它们的倾斜角相等，但用代数的方法研究两条直线平行和垂直时，运用斜率比运用倾斜角方便。2在判断两条直线平行的位置关系时，要注意两条直线斜率均不存在的情况；在判断两条直线垂直的位置关系时，也不能忽略一条直线斜率不存在而另一条直线斜率等于零的情况。3求点到直线的距离时，需先把直线方程化为一般式再求解。使用两平行线间距离时要注意首先将两直线方程中的的系数化为相同的。三、诊断练习：1、教学处理：课前由学生自主完成4道小题
3、，并要求将解题过程扼要地写在学习笔记栏。课前抽查批阅部分同学的解答，了解学生的思路及主要错误，进行有针对性地点评。2、诊断练习点评：1、已知两点，则线段的垂直平分线方程是_.【分析与点评】考查两条直线的垂直关系及直线方程的求法.答案：.2、若直线和直线平行，则。【分析与点评】根据两条直线平行的充要条件得。值得注意的是：由于直线的斜率是存在的，故无须对直线的斜率是否存在进行讨论，注意解题的简洁性。3、已知过原点，且点（2,1）到直线的距离为2，则的方程为 【分析与点评】设直线的点斜式方程时注意讨论斜率是否存在的问题，然后把点斜式化为一般式。【答案】4、三条直线、相交于一点，则实数_. 【分析与点
4、评】考查通过直线方程构成方程组的方法，求两条直线的交点坐标进而确定字母的取值. 答案：.3、要点归纳：（1）正确地识记有关的公理、定理、公式、法则等是学习的第一步，本课时，首先得记住两条直线平行、垂直的充要条件以及三组距离公式；（2）严密地思维是科学解题的第二步，本课时，要注意“斜率”的“叛逆性”，要树立“斜率存在”优先意识；（3）科学的方法、观念、思想是优化解题的必要保证，解析几何是数与形结合的一门学科，“数形结合”意识要牢记，并加以应用。四、范例导析：例1.已知两条直线:，:，当为何值时, 与（1）相交；（2）平行；（3）重合.【教学处理】由学生板演，针对学生板演所出现的问题或错误，师生进
5、行针对性点评。【引导分析与精讲建议】提出下列问题请学生思考：问题1：研究直线的位置关系通常通过研究什么量的关系来处理？问题2：两直线相交，平行，重合所满足的条件？问题3：哪些需要检验？解:当时，：，：，； 当时，：，：，与相交；当且时，由，得或，由，得.故（1）当且且时，与相交； （2）当或时，； （3）当时，与重合.【选题意图】能根据直线方程判定两条直线的位置关系，并能正确地进行分类讨论.例2、已知直线的方程为，求直线的方程：（1） 且过点（-1，3）；（2） （2）且与两坐标轴围成的三角形面积为4；（3） 是绕原点旋转180而得到的直线。【教学处理】由学生板演，针对学生板演所出现的问题或错
6、误，师生进行针对性点评。【引导分析与精讲建议】提出下列问题请学生思考：问题1：研究直线的位置关系通常通过研究什么量的关系来处理？问题2：在应用上述的量进行研究时，要注意什么？提醒学生记住：确定直线位置的几何元素是直线的“方向”斜率、倾斜角，因此，研究直线的位置关系必须抓住“方向”这一特征，将直线方程转化为点斜式来解决。（1）方法一：显然直线斜率存在。设所求直线方程为，由可得故所求直线方程为：。方法二：因为，所以可设直线的方程为，又该直线过点（-1，3），可求得C=-9故所求直线方程为：。（2） 答案：或（3） 是绕原点旋转而得到的直线，所以与关于原点对称。 任取点在上，则在上的对称点为满足：，
7、 则。所以：。例3、已知正方形的中心为（-1，0），正方形一边所在的直线方程为，求正方形其它三边所在的直线方程。【教学处理】要求学生由题意画出简图，独立求解后，由学生口答，老师板书，点评。【引导分析与精讲建议】问题1：选择所求直线方程的表达形式。 正方形的其它三条边有一条边是与已知边平行，有两条边与已知边垂直，所以可设直线方程为：问题2：正方形的中心与正方形的四条边存在怎样的关系？正方形的中心到正方形的四条边距离相等。根据已知条件可求得此距离为：所以有：，解得：或；或。所求方程为，【备用】直线过点被两平行直线与所截得的线段的中点在直线上，求直线的方程。【引导分析与精讲建议】教学中，教师可通过下
8、列问题来启迪学生的思维：问题1：你准备如何来求直线的方程？（一是用点斜式，二是用两点式）问题2：用点斜式求直线的思路是什么？（设直线的方程为，将分别与及联立求出，则中点，代入得，从而得到的方程。这里面还要注意讨论不存在的情况是不是满足条件。）问题3：用两点式求直线的方程时，另一点选择哪点？（点）点满足什么条件？（在直线上）还能找到一个条件吗？（在直线上），由此得，进而得的方程。问题4：除了上述两种解法，你还有其它解法吗？或者你还有什么发现吗？（点在直线上）沿着这一特点，你还能有其它解法吗？（求点坐标）点满足什么条件？（在上）还能利用什么条件？（中点在上）至此，问题可迎刃而解了。【回顾】求直线的
9、方程设点斜式方程是一种常规想法，但此方法通常在计算上会有一定的难度。有些问题通过设点的方法，往往能起到化繁为简的作用，能起到一“点”就“中”的效果。五、当堂反馈：1三条直线、共有两个交点，则实数_.【分析与点评】答案：或.2.“”是“直线与直线垂直”的_条件. 【分析与点评】答案：充分不必要条件.3，是分别经过两点的两条平行直线，当间距离最大时，直线的方程是 。【分析与点评】当直线与垂直时，直线间距离最大，则，则直线的方程为：4、已知直线与，使得、与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆，此时k的值为 。【分析与点评】四边形有外接圆，而这个四边形其中有两条边是由两条坐标轴围成的，这两条坐标轴互相垂直，所以可得与也必须互相垂直，即由，得到，故六、解题反思：1、研究直线间的位置关系要注意两点：一是识记好各自的充要条件；二是注重转化思想的应用，将直线方程转化为点斜式方程，同时，在转化的过程中，要注意分类讨论思想的应用.2、解题过程中，要注意充分利用图形的价值，借助于图形来帮助思考，进行分析，从而易于找到问题的突破口。同时，在解决解析几何问题时，要注意几何性质的应用。
