1、河北省唐山一中2014-2015学年高一（下）4月月考数学试卷（理科）一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1已知等差数列中，a4=1，a7+a9=16，则a12的值是（）A 15B 30C 31D 642在ABC中，a=15，b=10，A=60，则cosB=（）A B C D 3在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2+c2b2=ac，则角B的值为（）A 或B C 或D 4已知Sn是等差数列an的前n项和，若a2015=S2015=2015，则首项a1=（）A 2015B 2015C 2013D 20135已知等比数列an的公比为q，前n项和为Sn，且S3，S9，S6
2、成等差数列，则q3等于（）A 1或B 1或C 1D 6要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45，在D点测得塔顶A的仰角是30，并测得水平面上的BCD=120，CD=40m，则电视塔的高度为（）A 10mB 20mC 20mD 40m7数列的前10项和为（）A B C D 8在ABC中，三边a、b、c与面积S的关系是S=（a2+b2c2），则角C应为（）A 30B 45C 60D 909若Sn，Tn分别是等差数列an，bn的前n项的和，且=（nN*），则+=（）A B C D 10将正奇数集合1，3，5，由小到大按第n组有（2n1）个奇数进行分组：（第一组）1，（第二组
3、3，5，7，（第三组）9，11，13，15，17，则2015位于第（）组中A 31B 32C 33D 3411在ABC中，角A、B、C、的对边分别为a、b、c，（a+b）（cosA+cosB）=2c，则ABC（）A 是等腰三角形，但不一定是直角三角形B 是直角三角形，但不一定是等腰三角形C 既不是等腰三角形，也不是直角三角形D 既不是等腰三角形，也是直角三角形12设等差数列an的前n项和为Sn且满足S150，S160则中最大的项为（）A B C D 二填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13已知等比数列an的前n项和为Sn，若Sm=5，S2m=20，则S3m=14在ABC中，若A=12
4、0，AB=5，BC=7，则ABC的面积S=15已知数列an的前n项和为Sn，且a1=1，an+1=2Sn，则数列an的通项公式为16在ABC中，D为BC边上一点，BC=3BD，AD=，ADB=135若AC=AB，则BD=三解答题：本大题共6小题，共70分17在ABC中，a=3，b=2，B=2A（）求cosA的值；（）求c的值18已知等比数列an中，a2，a3，a4分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且a1=64，公比q1（）求an；（）设bn=log2an，求数列|bn|的前n项和Tn19是否存在三角形满足以下两个性质：（1）三边是连续的三个自然数；（2）最大角是最小角的2倍若存在，求出
5、该三角形；若不存在，请说明理由20已知数列an是首项a1=1，公差为2的等差数列，数列bn是首项b1=1，公比为3的等比数列数列cn满足cn=anbn（1）求数列an，bn的通项公式；（2）求数列cn的前n项和Sn21已知数列an满足：a1=1，an+1=2an+1（nN*）（1）求数列an的通项公式；（2）若数列bn满足4b114b214b314bn1=（an+1）bn，证明：bn是等差数列22数列an的首项a1=1，前n项和为Sn，满足关系3tSn（2t+3）Sn1=3t（t0，n=2，3，4）（1）求证：数列an为等比数列；（2）设数列an的公比为f（t），作数列bn，使b1=1，bn=
6、f（），（n=2，3，4），求bn（3）求Tn=（b1b2b2b3）+（b3b4b4b5）+（b2n1b2nb2nb2n+1）的值河北省唐山一中2014-2015学年高一（下）4月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1已知等差数列中，a4=1，a7+a9=16，则a12的值是（）A 15B 30C 31D 64考点：等差数列的性质专题：等差数列与等比数列分析：根据等差数列的通项公式以及等差数列的性质进行求解解答：解：a7+a9=16，2a8=16，即a8=8，a4=1，d=，则a12=a8+4d=8+4=8+7=15，故选：A点评：本题主要考查
7、等差数列的应用，根据等差数列的通项公式和性质是解决本题的关键2在ABC中，a=15，b=10，A=60，则cosB=（）A B C D 考点：正弦定理分析：根据正弦定理先求出sinB的值，再由三角形的边角关系确定B的范围，进而利用sin2B+cos2B=1求解解答：解：根据正弦定理可得，解得，又ba，BA，故B为锐角，故选D点评：正弦定理可把边的关系转化为角的关系，进一步可以利用三角函数的变换，注意利用三角形的边角关系确定所求角的范围3在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2+c2b2=ac，则角B的值为（）A 或B C 或D 考点：余弦定理专题：计算题；解三角形分析：根据余弦定
8、理结合题中等式，算出cosB=，结合三角形内角的范围，可得B=解答：解：a2+c2b2=ac由余弦定理，得cosB=结合B（0，），可得B=故选：B点评：本题给出三角形三边的平方关系，求B的大小着重考查了利用余弦定理解三角形的知识，属于基础题4已知Sn是等差数列an的前n项和，若a2015=S2015=2015，则首项a1=（）A 2015B 2015C 2013D 2013考点：等差数列的前n项和专题：等差数列与等比数列分析：设等差数列an的公差为d，由题意可得a1和d的方程组，解方程组可得解答：解：设等差数列an的公差为d，由题意可得a2015=a1+2014d=2015，S2015=20
9、15a1+d=2015联立解得a1=2013，d=2，故选：D点评：本题主要考查等差数列的通项公式以及前n项和公式的应用，考查学生的计算能力5已知等比数列an的公比为q，前n项和为Sn，且S3，S9，S6成等差数列，则q3等于（）A 1或B 1或C 1D 考点：等差数列的性质专题：等差数列与等比数列分析：由题意可得q1，由求和公式可得+=2，解关于q的方程可得解答：解：若q=1，则有S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1a10，S3+S62S9，与已知矛盾，故q1由题意可得S3+S6=2S9，+=2可得整理得q3（2q6q31）=0，由q0得方程2q6q31=0分解因式可得（2q3+1）（q
10、31）=0，q1，q310，2q3+1=0，q3=故选：D点评：本题考查等差数列和等比数列的综合应用，涉及分类讨论的思想，属中档题6要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45，在D点测得塔顶A的仰角是30，并测得水平面上的BCD=120，CD=40m，则电视塔的高度为（）A 10mB 20mC 20mD 40m考点：已知三角函数模型的应用问题专题：应用题；综合题分析：设出AB=x，进而根据题意可表示出BD，DC，进而在DBC中利用余弦定理建立方程求得x解答：解：由题可设AB=x，则 ，在DBC中，BCD=120，CD=40，由余弦定理得BD2=BC2+CD22BCCDc
11、osDCB即：（）2=（40）2+x2240xcos120整理得：x220x800=0解得x=40或x=20（舍）所以，所求塔高为40米故选D点评：本题主要考查了解三角形的实际应用考查了运用数学知识，建立数学模型解决实际问题的能力7数列的前10项和为（）A B C D 考点：数列的求和专题：点列、递归数列与数学归纳法分析：设an=，利用裂项法进行求和即可解答：解：设an=，则an=（），则数列的前n项和Sn=（1+）=（1），则S10=（1）=（1）=，故选：D点评：本题主要考查数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键8在ABC中，三边a、b、c与面积S的关系是S=（a2+b2c2），则角C
12、应为（）A 30B 45C 60D 90考点：余弦定理；正弦定理专题：计算题分析：用三角形面积公式表示出S，利用题设等式建立等式，进而利用余弦定理求得2abcosC=a2+b2c2，进而整理求得sinC和cosC的关系进而求得C解答：解：由三角形面积公式可知S=absinC，S=，absinC=由余弦定理可知2abcosC=a2+b2c2sinC=cosC，即tanC=1，C=45故选B点评：本题主要考查了余弦定理的应用要能熟练掌握余弦定理公式及其变形公式9若Sn，Tn分别是等差数列an，bn的前n项的和，且=（nN*），则+=（）A B C D 考点：等差数列的性质；等差数列的前n项和专题：
13、等差数列与等比数列分析：由等差数列的前n项和与题意，不妨设Sn=n（2n+1）=2n2+n，Tn=n（4n2）=4n22n，由公式求出an、bn，再代入所求的式子进行化简求值解答：解：设Sn=n（2n+1）=2n2+n，Tn=n（4n2）=4n22n，an=SnSn1=4n1，bn=TnTn1=8n6，a10=39，a11=43，b3=18，b6=42，b15=114，b18=138，则原式=+=故选：D点评：此题考查等差数列的通项公式、前n项和公式的灵活应用，及数列的前n项和与数列中项的关系，熟练掌握等差数列的性质是解本题的关键10将正奇数集合1，3，5，由小到大按第n组有（2n1）个奇数进
14、行分组：（第一组）1，（第二组3，5，7，（第三组）9，11，13，15，17，则2015位于第（）组中A 31B 32C 33D 34考点：归纳推理专题：推理和证明分析：依题意前n组中有奇数1+3+5+（2n1）个，由等差数列的前n项和公式化简，求出2015第1008正奇数，由312=96110041024=322，可知2015位于第31+1=32组中解答：解：依题意前n组中共有奇数：1+3+5+（2n1）=n2个，而2015=210081，它是第1008正奇数312=96110081024=322，20015应在第31+1=32组中 故选：B点评：本题考查归纳推理，等差数列的前n项和公式，
15、考查了观察、归纳、推理能力，属于基础题11在ABC中，角A、B、C、的对边分别为a、b、c，（a+b）（cosA+cosB）=2c，则ABC（）A 是等腰三角形，但不一定是直角三角形B 是直角三角形，但不一定是等腰三角形C 既不是等腰三角形，也不是直角三角形D 既不是等腰三角形，也是直角三角形考点：正弦定理；同角三角函数基本关系的运用专题：解三角形分析：根据正弦定理和两角和的正弦公式化简（a+b）（cosA+cosB）=2c，根据内角的范围判断出ABC的形状解答：解：由题意知，（a+b）（cosA+cosB）=2c，由正弦定理得，（sinA+sinB）（cosA+cosB）=2sinC，sin
16、AcosA+sinAcosB+sinBcosA+sinBcosB=2sinCsinAcosA+sin（A+B）+sinBcosB=2sinC又sin（A+B）=sinC，则sinAcosAsin（A+B）+sinBcosB=0，sinAcosAsinAcosBsinBcosA+sinBcosB=0sinA（cosAcosB）sinB（cosAcosB）=0（cosAcosB）（sinAsinB）=0，cosA=cosB或sinA=sinB，又A、B（0，），则A=B，a=b，则ABC是等腰三角形，故选：A点评：本题考查正弦定理，两角和的正弦公式的应用，以及化简、变形能力，属于中档题12设等差数
17、列an的前n项和为Sn且满足S150，S160则中最大的项为（）A B C D 考点：等差数列的性质专题：等差数列与等比数列分析：利用等差数列的求和公式即等差数列的性质可得a80，a90，d0，即an递减，前8项中Sn递增，即当Sn最大且an取最小正值时，有最大值，从而可得答案解答：解：等差数列前n项和Sn=n2+（a1）n，由S15=15a80，S16=160可得：a80，a90，d0；故Sn最大值为S8又d0，an递减，前8项中Sn递增，故Sn最大且an取最小正值时，有最大值，即最大故选：C点评：本题考查等差数列的求和公式即等差数列的性质，分析得到当Sn最大且an取最小正值时，有最大值是关
18、键，考查推理与运算能力，属于难题二填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13已知等比数列an的前n项和为Sn，若Sm=5，S2m=20，则S3m=65考点：等比数列的前n项和专题：等差数列与等比数列分析：利用等比数列的性质进行求解即可解答：解：在等比数列an中，Sm=50，S2m=200，Sm，S2mSm，S3mS2m，也成等比数列，即5，15，S3m20也成等比数列，则公比q=3，则S3m20=315=45，即S3m=65，故答案为：65点评：本题主要考查等比数列前n项和公式的性质，在等比数列中，Sm，S2mSm，S3mS2m，也成等比数列，要求熟练掌握这个结论14在ABC中，若A=1
19、20，AB=5，BC=7，则ABC的面积S=考点：正弦定理专题：计算题分析：用余弦定理求出边AC的值，再用面积公式求面积即可解答：解：据题设条件由余弦定理得|BC|2=|AB|2+|AC|22|AB|AC|cosA即49=25+|AC|225|AC|（），即AC|2+5|AC|24=0解得|AC|=3故ABC的面积S=53sin120=故应填点评：考查用余弦定理建立方程求值及用三角形的面积公式求三角形的面积，训练公式的熟练使用15已知数列an的前n项和为Sn，且a1=1，an+1=2Sn，则数列an的通项公式为考点：数列的概念及简单表示法专题：等差数列与等比数列分析：先看n2根据题设条件可知a
20、n=2Sn1，两式想减整理得an+1=3an，判断出此时数列an为等比数列，a2=2a1=2，公比为3，求得n2时的通项公式，最后综合可得答案解答：解：当n2时，an=2Sn1，an+1an=2Sn2Sn1=2an，即an+1=3an，数列an为等比数列，a2=2a1=2，公比为3，an=23n2，当n=1时，a1=1数列an的通项公式为故答案为：点评：本题主要考查了数列的递推式求数列通项公式解题的最后一定要验证a1是基础题16在ABC中，D为BC边上一点，BC=3BD，AD=，ADB=135若AC=AB，则BD=2+考点：余弦定理专题：计算题；压轴题分析：先利用余弦定理可分别表示出AB，AC
21、，把已知条件代入整理，根据BC=3BD推断出CD=2BD，进而整理 AC2=CD2+22CD 得AC2=4BD2+24BD把AC=AB，代入整理，最后联立方程消去AB求得BD的方程求得BD解答：用余弦定理求得AB2=BD2+AD22ADBDcos135AC2=CD2+AD22ADCDcos45即 AB2=BD2+2+2BD AC2=CD2+22CD 又BC=3BD所以 CD=2BD所以 由（2）得AC2=4BD2+24BD（3）因为 AC=AB所以 由（3）得 2AB2=4BD2+24BD （4）（4）2（1）BD24BD1=0求得 BD=2+故答案为：2+点评：本题主要考查了余弦定理的应用考
22、查了学生创造性思维能力和基本的推理能力三解答题：本大题共6小题，共70分17在ABC中，a=3，b=2，B=2A（）求cosA的值；（）求c的值考点：正弦定理；余弦定理专题：解三角形分析：（）由条件利用正弦定理和二倍角公式求得cosA的值（）由条件利用余弦定理，解方程求得c的值解答：解：（）由条件在ABC中，a=3，B=2A，利用正弦定理可得 ，即=解得cosA=（）由余弦定理可得 a2=b2+c22bccosA，即 9=+c222c，即 c28c+15=0解方程求得 c=5，或 c=3当c=3时，此时a=c=3，根据B=2A，可得 B=90，A=C=45，ABC是等腰直角三角形，但此时不满足
23、a2+c2=b2，故舍去综上，c=5点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理，以及二倍角公式的应用，注意把c=3舍去，这是解题的易错点，属于中档题18已知等比数列an中，a2，a3，a4分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且a1=64，公比q1（）求an；（）设bn=log2an，求数列|bn|的前n项和Tn考点：数列的求和专题：等差数列与等比数列分析：（1）设某等差数列为bn，则b5=a2=a1q=64q，b3=a3=64q2，利用b5=b2+3（b3b2），解得q，再利用等比数列的通项公式即可得出（2）利用对数的运算法则、等差数列的前n项和公式即可得出解答：解：（1）设某等差数列为bn，
24、则b5=a2=a1q=64q，b3=a3=64q2，b5=b2+3（b3b2），64q=64q3+3（64q264q3），化为2q23q+1=0，q1，解得q=（2）bn=log2an=n5|bn|=n+5数列|bn|的前n项和Tn=点评：本题考查了对数的运算法则、等差数列与等比数列的通项公式及前n项和公式，属于中档题19是否存在三角形满足以下两个性质：（1）三边是连续的三个自然数；（2）最大角是最小角的2倍若存在，求出该三角形；若不存在，请说明理由考点：解三角形专题：解三角形分析：设三角形三边是连续的三个自然n1，n，n+1，三个角分别为，3，2，由正弦定理求得cos=，再由余弦定理可得 （
25、n1）2=（n+1）2+n22（n+1）n，求得n=5，从而得出结论解答：解：设三角形三边是连续的三个自然n1，n，n+1，三个角分别为，3，2，由正弦定理可得 =，cos=再由余弦定理可得 （n1）2=（n+1）2+n22（n+1）ncos，即 （n1）2=（n+1）2+n22（n+1）n，化简可得n25n=0，n=5 此时，三角形的三边分别为：4，5，6，可以检验最大角是最小角的2倍综上，存在一个三角形三边长分别为 4，5，6，且最大角是最小角的2倍点评：本题考查正弦定理、余弦定理的应用，求得n25n=0，是解题的难点，属于中档题20已知数列an是首项a1=1，公差为2的等差数列，数列bn
26、是首项b1=1，公比为3的等比数列数列cn满足cn=anbn（1）求数列an，bn的通项公式；（2）求数列cn的前n项和Sn考点：数列的求和专题：等差数列与等比数列分析：（1）根据等比数列和等差数列的通项公式进行求解即可求数列an，bn的通项公式；（2）求出数列cn的通项公式，利用错位相减法进行求和即可解答：解：（1）数列an是首项a1=1，公差为2的等差数列，数列bn是首项b1=1，公比为3的等比数列，an=1+2（n1）=2n1，bn=3n1（2）an=2n1，bn=3n1cn=anbn=（2n1）3n1则Sn=c1+c2+c3+cn，即Sn=130+331+（2n1）3n1，3Sn=3+
27、332+533+（2n3）3n1+（2n1）3n，两式相减得2Sn=1+23+232+233+23n1（2n1）3n=1+（2n1）3n=2+3n（2n1）3n=2+（22n）3n则Sn=1+（n1）3n点评：本题主要考查等比数列和等差数列的通项公式的求解，以及利用错位相减法进行求和，考查学生的运算能力21已知数列an满足：a1=1，an+1=2an+1（nN*）（1）求数列an的通项公式；（2）若数列bn满足4b114b214b314bn1=（an+1）bn，证明：bn是等差数列考点：数列的求和专题：点列、递归数列与数学归纳法分析：（1）通过对an+1=2an+1变形可得an+1+1=2（a
28、n+1），进而可得an+1=2n，从而可得结论；（2）通过同底指数幂的运算性质，可得=，两边取对数得2b1+b2+bnn=nbn，进而2b1+b2+bn+1（n+1）=（n+1）bn+1，两式相减并整理得：（n1）bn+1nbn+2=0，进而nbn+2（n+1）bn+1+2=0，再两式相减即得结论解答：（1）解：an+1=2an+1，an+1+1=2（an+1），数列an+1是公比为2的等比数列，又a1=1，1+a1=2，an+1=2n，数列an的通项公式an=2n1；（2）证明：4b114b214b314bn1=（an+1）bn，=，两边取对数，得：log2=log2，2（b1+b2+bn）
29、2n=nbn，即2b1+b2+bnn=nbn，2b1+b2+bn+1（n+1）=（n+1）bn+1，两式相减得：bn+11=bn+1bn，整理得：（n1）bn+1nbn+2=0，nbn+2（n+1）bn+1+2=0，两式相减得：nbn+22nbn+1+nbn=0，bn+22bn+1+bn=0，即bn+2+bn=2bn+1，数列bn是等差数列点评：本题考查利用数列的递推公式构造等比数列求解通项公式，利用数列的递推公式转化数列的和与项之间的关系，裂项求解数列的和的应用，注意解题方法的积累，属于中档题22数列an的首项a1=1，前n项和为Sn，满足关系3tSn（2t+3）Sn1=3t（t0，n=2，
30、3，4）（1）求证：数列an为等比数列；（2）设数列an的公比为f（t），作数列bn，使b1=1，bn=f（），（n=2，3，4），求bn（3）求Tn=（b1b2b2b3）+（b3b4b4b5）+（b2n1b2nb2nb2n+1）的值考点：数列递推式；等比关系的确定；数列的求和专题：综合题分析：（1）由已知3tSn（2t+3）Sn1=3t，可得3tsn1（2t+3）sn2=3t，两式相减可得数列an与an1的递推关系，从而可证（2）把f（t）的解析式代入bn，进而可知bn=+bn1，判断出bn是一个首项为1，公差为的等差数列进而根据等差数列的通项公式求得答案（3）bn是等差数列，用分组法求得数
31、列的b1b2b2b3+b3b4+b2n1b2nb2nb2n+1和解答：（1）证：3tSn（2t+3）Sn1=3t，3tSn+1（2t+3）Sn=3t（n2），两式相减得3tan+1（2t+3）an=0又t0（n2），又当n=2时，3tS2（2t+3）S1=3t，即3t（a1+a2）（2t+3）a1=3t，得，即，（n1），an为等比数列（2）解：由已知得，f（t）=bn=f（）=+bn1（n2，nN*）bn是一个首项为1，公差为的等差数列于是bn=n+（3）解：Tn=b1b2b2b3+b3b4+b2n1b2nb2nb2n+1=b2（b1b3）+b4（b3b5）+b2n（b2n1b2n+1）=2（b2+b4+b2n）=2d（b2+b4+b2n）=点评：本题主要考查了利用递推关系实现数列和与项的相互转化，进而求通项公式，等差数列的通项公式的运用，数列的求和，在解题中体现了分类讨论的思想