1、2圆与圆的方程2.1圆的标准方程学习目标1.掌握圆的定义及标准方程.2.能根据圆心、半径写出圆的标准方程，会用待定系数法求圆的标准方程知识点一圆的标准方程思考1确定一个圆的基本要素是什么？答案圆心和半径思考2在平面直角坐标系中，如图所示，以(1,2)为圆心，以2为半径的圆能否用方程(x1)2(y2)24来表示？答案能梳理圆的概念及标准方程(1)圆的几何特征是圆上任一点到圆心的距离等于定长，这个定长称为半径(2)圆的标准方程：圆心为C(a，b)，半径为r的圆的标准方程是(xa)2(yb)2r2.当ab0时，方程为x2y2r2，表示以坐标原点为圆心，r为半径的圆知识点二中点坐标公式A(x1，y1)
2、，B(x2，y2)的中点坐标为.知识点三点与圆的位置关系思考点A(1,1)，B(4,0)，C(，)同圆x2y24的关系如图所示，则|OA|，|OB|，|OC|同圆的半径r2是什么关系？答案|OA|2，|OC|2.梳理点M(x0，y0)与圆C：(xa)2(yb)2r2的位置关系及判断方法位置关系利用距离判断利用方程判断点M在圆上|CM|r(x0a)2(y0b)2r2点M在圆外|CM|r(x0a)2(y0b)2r2点M在圆内|CM|r(x0a)2(y0b)224，得点P在圆外(2)已知点M(51，)在圆(x1)2y226的内部，则a的取值范围是_考点点和圆的位置关系题点已知点和圆的位置关系求参数的
3、值或范围答案0,1)解析由题意知即解得0a4，即2a220，解得a1.类型三与圆有关的最值问题例4已知实数x，y满足方程(x2)2y23，求的最大值和最小值考点圆的方程的综合应用题点与圆有关的最值问题解原方程表示以点(2,0)为圆心，以为半径的圆，设k，即ykx.当直线ykx与圆相切时，斜率k取得最大值和最小值，此时，解得k.故的最大值为，最小值为.引申探究1若本例条件不变，求yx的最大值和最小值解设yxb，即yxb.当yxb与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，此时，即b2.故yx的最大值为2，最小值为2.2若本例条件不变，求x2y2的最大值和最小值解x2y2表示圆上的点到原点的距离的平方
4、由平面几何知识知，它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，故(x2y2)max(2)274，(x2y2)min(2)274.反思与感悟(1)以圆为载体求函数的最值，求解过程中，注意代数与几何的联系，以化归的思想实现两者的转化，另外数形结合思想在求解过程中起到了桥梁作用，使问题的求解更形象、直观(2)几种常见代数式的几何意义x2y2：点(x，y)与原点的距离的平方(xa)2(yb)2：点(x，y)与点(a，b)的距离的平方表示点(x，y)与原点(0,0)所在直线的斜率表示点(x，y)与点(a，b)所在直线的斜率形如laxby形式的最值问题，可转化为动直线
5、yx截距的最值问题跟踪训练4已知圆心在x轴上的圆C与x轴交于两点A(1,0)，B(5,0)(1)求此圆的标准方程；(2)设P(x，y)为圆C上任意一点，求点P(x，y)到直线xy10的距离的最大值和最小值考点圆的方程的综合应用题点与圆有关的最值问题解(1)由已知，得C(3,0)，r2，所求方程为(x3)2y24.(2)圆心C到直线xy10的距离d2.点P到直线的最大距离为22，最小距离为22.1若某圆的标准方程为(x1)2(y5)23，则此圆的圆心和半径长分别为()A(1,5)， B(1，5)，C(1,5)，3 D(1，5)，3考点圆的标准方程题点由圆的标准方程求圆心和半径答案B2圆心在y轴上
6、，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是()Ax2(y2)21Bx2(y2)21C(x1)2(y3)21Dx2(y3)21考点圆的标准方程题点圆心在某直线上求圆的标准方程答案A解析方法一(直接法)设圆的圆心为C(0，b)，则1，b2，圆的标准方程是x2(y2)21.方法二(数形结合法)作图(如图)，根据点(1,2)到圆心的距离为1易知，圆心为(0,2)，故圆的标准方程是x2(y2)21.3已知点A(1，1)，B(1,1)，则以线段AB为直径的圆的方程为 ()Ax2y22 Bx2y2Cx2y21 Dx2y24考点圆的标准方程题点求直径圆的方程答案A解析AB的中点坐标为(0,0)，|AB|2，圆心
7、为(0,0)，半径r.所求圆的方程为x2y22.4若实数x，y满足(x5)2(y12)2142，则x2y2的最小值是_考点圆的方程的综合应用题点与圆有关的最值问题答案1解析x2y2表示圆上的点(x，y)与(0,0)的距离的平方，而(0,0)在圆的内部，由几何意义可知，最小值为141.5求下列圆的标准方程(1)圆的内接正方形相对的两个顶点分别为A(5,6)，C(3，4)；(2)过两点C(1,1)和D(1,3)，圆心在x轴上的圆考点圆的标准方程题点圆心在某直线上求圆的标准方程解(1)由题意知，AC为直径，则AC的中点为圆心，圆心坐标为(4,1)，半径r，圆的标准方程为(x4)2(y1)226.(2
8、)由几何知识知，CD的垂直平分线经过圆心，由kCD1，CD的中点坐标为(0,2)，CD的垂直平分线为yx2.则圆心坐标为(2,0)，r，圆的标准方程为(x2)2y210.1.确定圆的方程主要方法是待定系数法，即列出关于a，b，r的方程组求a，b，r或直接求出圆心(a，b)和半径r.另外依据题意适时运用圆的几何性质解题可以化繁为简，提高解题效率2讨论点与圆的位置关系可以从代数特征(点的坐标是否满足圆的方程)或几何特征(点到圆心的距离与半径的关系)去考虑，其中利用几何特征较为直观、快捷.一、选择题1若直线yaxb通过第一、二、四象限，则圆(xa)2(yb)21的圆心位于()A第一象限 B第二象限C
9、第三象限 D第四象限考点圆的标准方程题点由圆的标准方程求圆心和半径答案D解析(a，b)为圆的圆心，由直线经过第一、二、四象限，得到a0，即a0，b0)，又圆心到直线4x3y0的距离为1，即1，得a2或a(舍去)，该圆的标准方程是(x2)2(y1)21.11圆(x1)2(y1)21上的点到直线xy2的距离的最大值是_考点圆的方程的综合应用题点与圆有关的最值问题答案1解析圆(x1)2(y1)21的圆心为C(1,1)，则圆心到直线xy2的距离d，故圆上的点到直线xy2的距离的最大值是1.三、解答题12求过两点A(1,4)，B(3,2)，且圆心C在直线y0上的圆的标准方程，并判断点M1(2,3)，M2
10、(2,4)与圆的位置关系考点点与圆的位置关系题点点与圆的位置关系解因为圆过A，B两点，所以圆心在线段AB的垂直平分线上由kAB1，AB的中点为(2,3)，可得AB的垂直平分线的方程为y3x2，即xy10.又圆心在直线y0上，因此圆心坐标是方程组的解，即圆心C的坐标为(1,0)半径r，所以所求圆的标准方程为(x1)2y220.因为M1到圆心C(1,0)的距离为，|M1C|，所以M2在圆C外13已知圆C的圆心在直线2xy70上，并与y轴交于两点A(0，4)，B(0，2)，求圆C的标准方程考点圆的标准方程题点圆心在某直线上求圆的标准方程解设圆C的标准方程为(xa)2(yb)2r2，由已知得解得a2，
11、b3，r25，所以圆C的标准方程为(x2)2(y3)25.四、探究与拓展14.设P是圆(x3)2(y1)24上的动点，Q是直线x3上的动点，则|PQ|的最小值为()A6 B4 C3 D2考点圆的方程的综合应用题点与圆有关的最值问题答案B解析如图，圆心M(3，1)与定直线x3的最短距离为|MQ|3(3)6.又圆的半径为2，故所求最短距离为624.15已知x和y满足(x1)2y2，试求：(1)x2y2的最值；(2)xy的最值考点圆的方程的综合应用题点与圆有关的最值问题解(1)由题意知，x2y2表示圆上的点到坐标原点的距离的平方，显然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时，其平方也相应地取得最大值和最小值原点(0,0)到圆心(1,0)的距离d1，故圆上的点到坐标原点的最大距离为1，最小距离为1，因此x2y2的最大值和最小值分别为和.(2)令xyz并将其变形为yxz，问题转化为斜率为1的直线在经过圆上的点时，在y轴上的截距的最值当直线和圆相切时，在y轴上的截距取得最大值和最小值，此时有，解得z1，因此xy的最大值为1，最小值为1.
