1、第2课时 圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征 1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义,知道这四种几何体的结构特征,能够识别和区分这些几何体.2.了解柱体、锥体、台体之间的关系.1 2 3 4 1.圆柱 定义 以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 有关概念 旋转轴叫做圆柱的轴;垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面;平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面;无论旋转到什么位置,不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线 图形 表示法 用表示它的轴的字母,即表示两底面圆心的字母表示,上图中的圆柱可表示为圆柱 OO 1 2 3 4 规定:圆柱和棱柱统称为柱体.归纳总结圆柱的简单
2、性质:(1)圆柱有无数条母线,它们平行且相等.(2)平行于底面的截面是与底面大小相同的圆,如图所示.(3)过轴的截面(轴截面)都是全等的矩形,如图所示.(4)过任意两条母线的截面是矩形,如图所示.1 2 3 4【做一做1】给出下列几种说法:圆柱的底面都是圆;连接圆柱上、下底面圆周上任意两点的线段是圆柱的母线;矩形的任意一条边都可以作为轴,其他边绕其旋转一周围成圆柱.其中正确的个数为()A.0B.1C.2D.3 解析:正确,不正确.答案:C 1 2 3 4 2.圆锥 定义 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 图形 有关概念 如上图所示,轴为 SO
3、,底面为O,SA、SB 为母线.另外,S叫做圆锥的顶点,OA(或 OB)叫做底面O 的半径 表示法 圆锥用表示它的轴的字母表示,上图中的圆锥可表示为圆锥 SO 规定:棱锥与圆锥统称为锥体.1 2 3 4 归纳总结圆锥的简单性质:(1)圆锥有无数条母线,它们有公共点即圆锥的顶点,且长度相等.(2)平行于底面的截面都是圆,如图所示.(3)过轴的截面都是全等的等腰三角形,如图所示.(4)过任意两条母线的截面是等腰三角形,如图所示.1 2 3 4【做一做2】已知圆锥SO的母线长为5,底面直径为8,则圆锥SO的高h=.解析:如图,设圆锥的母线长为l,底面半径为r,则圆锥的母线长l、高h、底面半径r构成直
4、角三角形,即圆锥的高为3.答案:3 故 h=2-2=52-82 2=3,1 2 3 4 3.圆台 定义 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分叫做圆台(圆台也可以看作是以直角梯形垂直于底边的腰为旋转轴,其余三边旋转形成的面所围成的旋转体)图形 有关概念 原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面.与圆柱和圆锥一样,圆台也有轴、侧面、母线,如上图所示,轴为 OO,AA,BB 为母线 表示法 用表示轴的字母表示,上图中的圆台可表示为圆台 OO 1 2 3 4 规定:棱台与圆台统称为台体.归纳总结圆台的简单性质:(1)圆台有无数条母线,且它们相等,延长后相交于一点.(2)平行于底面
5、的截面是圆,如图所示.(3)过轴的截面都是全等的等腰梯形,如图所示.(4)过任意两条母线的截面是等腰梯形,如图所示.1 2 3 4【做一做3】关于圆台,下列说法正确的是 .(只填序号)两个底面平行且全等;圆台的母线有无数条;圆台的母线长大于高的长;两个底面圆心的连线是高.解析:圆台的上底面和下底面是两个大小不同的圆,则不正确,正确.答案:1 2 3 4 4.球 定义 以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体,简称球 有关概念 半圆的圆心叫做球的球心;半圆的半径叫做球的半径;半圆的直径叫做球的直径 图形 表示法 球常用表示球心的字母表示,如上图中的球表示为球O 1 2 3
6、 4 归纳总结球的简单性质:(1)球的表面叫做球面,所以球面是旋转形成的曲面.另外,球面也可看成与定点(球心)的距离等于定长(半径)的所有点的集合(轨迹).(2)用一个平面去截球,截面是圆面,而且球心和截面圆心的连线垂直于截面,球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r满足关系式 r=2-2,如图所示.(3)在球的截面中,过球心的截面圆的面积最大.1 2 3 4【做一做4】下列说法正确的个数是()球的半径是球面上任意一点与球心的连线;球面上任意两点的连线是球的直径;用一个平面截一个球,得到的截面是一个圆面;以半圆的直径所在直线为旋转轴旋转一周形成的曲面叫做球.A.0B.1C.2D.3 解析:
7、是正确的;是错误的,只有两点的连线经过球心时才为直径;是正确的;球面和球是两个不同的概念,以半圆的直径所在直线为旋转轴旋转一周形成的曲面叫做球面,球面围成的几何体叫做球,故错误.答案:C 1 2 1.圆柱、圆锥、圆台之间的关系 剖析:圆柱、圆锥、圆台的形状不同,它们之间既有区别又有联系,并且在一定条件下可以相互转化.当圆台的下底面保持不变,而上底面越来越大且接近于下底面时,圆台就越来越接近于圆柱,当上底面增大到与下底面相同时,圆台转化为圆柱;当圆台的上底面越来越小时,圆台就越来越接近于圆锥,当上底面收缩为一个点时,圆台就转化为圆锥了.1 2 2.圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征比较 剖析:如下表
8、所示.结构特征 圆柱 圆锥 圆台 球 底面形状 两个底面是平行且半径相等的圆 只有一个底面,且底面是圆 两个底面是平行但半径不相等的圆 无 侧面展开图形状 矩形 扇形 扇环 不可展开 母线 平行且相等 相交于顶点 延长线交于一点 无 1 2 结构特征 圆柱 圆锥 圆台 球 平行于底面的截面形状 是与两个底面平行且半径相等的圆 平行于底面且半径不相等的圆 是与两个底面平行且半径不相等的圆 球的任何截面形状都是圆 轴截面形状 矩形 等腰三角形 等腰梯形 圆 题型一 题型二 题型三 题型一 判断旋转体的形状 【例1】一个有30角的直角三角尺绕其各条边所在直线旋转360所得的几何体是圆锥吗?如果以斜边
9、上的高所在的直线为轴旋转180能得到什么几何体?解:如图和图所示,绕其直角边所在直线旋转360形成的曲面所围成的几何体是圆锥;如图所示,绕其斜边所在直线旋转360形成的曲面所围成的几何体是两个同底相对的圆锥;如图所示,绕其斜边上的高所在直线旋转180形成的曲面所围成的几何体是两个半圆锥.题型一 题型二 题型三 反思判断旋转体形状的步骤:(1)明确旋转轴l;(2)确定平面图形中各边(通常是线段)与l的位置关系;(3)依据圆柱、圆锥、圆台、球的定义和下列结论来确定形状(线段若与l相交,则线段的一个端点为交点):与l垂直且相交的线段绕l旋转一周得圆面;与l垂直且不相交的线段绕l旋转一周得圆环面;与l
10、平行的线段绕l旋转一周得圆柱侧面;与l不相交,但延长后交于一点的线段绕l旋转一周得圆台侧面;与l相交的线段绕l旋转一周得圆锥侧面.题型一 题型二 题型三【变式训练1】下列图形(中轴两边的图形全等)绕给出的轴旋转一周形成的曲面所围成的几何体为圆台的是 .(只填序号)解析:形成的是圆台;形成的是半球;形成的是圆柱;形成的是圆台.答案:题型一 题型二 题型三 题型二 有关旋转体的计算问题 【例2】如图,用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥,截得的圆台上、下底面的面积之比为116,截去的圆锥的母线长是3 cm,求圆台OO的母线长.分析:过圆锥的轴作截面,利用三角形相似来解决.题型一 题型二 题型三
11、 解:设圆台OO的母线长为l cm,由截得的圆台上、下底面的面积之比为116,可设圆台的上、下底面的半径分别为r cm,4r cm.过轴SO作圆锥SO的截面,如图所示.则SOASOA,SA=3 cm.故圆台OO的母线长为9 cm.所以 =,即 33+=4=14,解得l=9.题型一 题型二 题型三 反思用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体,注意抓住截面的性质(与底面全等或相似),并结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质,利用相似三角形中的相似比,构造相关几何变量的方程组而得解.题型一 题型二 题型三【变式训练2】已知一个圆柱的轴截面是一个正方形,且此正方形的面积是S,则此圆柱的底面半
12、径为 .解析:设圆柱的底面半径是 r,则圆柱轴截面的边长为 2r.由(2r)2=S,得 r=2,即圆柱的底面半径是 2.答案:2 题型一 题型二 题型三 题型三 易错辨析 易错点:对几何体的概念和特征把握不准而致错【例3】下列说法:圆台上底面的面积与下底面的面积之比一定不等于1;矩形绕任意一条直线旋转都可以形成圆柱;圆锥的母线长一定大于圆锥底面圆的直径;圆台的上、下底面不一定平行,但过圆台侧面上每一点的母线长都相等.其中正确的序号为 .题型一 题型二 题型三 错解:错因分析:产生上述错误答案的原因是仅根据相应概念的某一个方面去判断几何体,没有全面把握几何体的结构特征.正解:圆台的上、下底面大小不相等,所以面积的比值一定不等于1,故正确;以矩形的一边所在直线为轴旋转一周,形成圆柱,故不正确;圆锥的轴截面为等腰三角形,腰长为母线长,底边长为底面直径,而腰长不一定大于底边长,故不正确;圆台的上、下底面平行,故不正确.答案:题型一 题型二 题型三 反思1.判断简单旋转体结构特征的方法(1)明确旋转体是由哪个平面图形旋转而成的.(2)明确旋转轴是哪条直线.2.简单旋转体的轴截面及其应用(1)简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量.(2)在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想.