1、长春市普通高中2022届高三质量监测（二）文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则（ ）A. B. 2C. D. 82. 命题“，”的否定是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，3. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 4. 我国冰雪健儿自1992年实现冬奥奖牌数0的突破，到北京冬奥会结束，共获得77块奖牌.现将1992年以来我国冬奥会获得奖牌数量统计如下表：年份199219941998200220062010201420182022奖牌数338811119915则1992年
2、以来我国获得奖牌数的中位数为（ ）A. 8B. 9C. 10D. 115. 下列函数是偶函数，且在区间上为增函数是（ ）A. B. C. D. 6. 已知数列是等比数列，是等差数列，若，则（ ）A 4B. 8C. 12D. 167. 函数，则（ ）A. B. 0C. D. 8. 已知直线过定点，直线过定点，与相交于点，则（ ）A 10B. 13C. 16D. 209. 已知，则在曲线上一点处的切线方程为（ ）A. B. C. D. 10. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，点为双曲线右支上一点，点的坐标为，若的最小值为，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. 2D. 11. 某同学在参加通用技
3、术实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为4的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为，则该球的表面积为（ ）A. B. C. D. 12. 已知，且，则（ ）A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知向量，则_.14. 已知实数，满足约束条件，则的最小值是_.15. 已知、为椭圆的左、右焦点，点是椭圆上第一象限内的点，且，则_.16. 已知数列的通项公式为，则其前项的和为_.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须
4、作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17. 从某地区高中二年级学生中随机抽取质量监测数学得分在120分以下和120分以上（含120分）的学生各250名作为样本（全体高二学生均参加监测），分别测出他们的注意力集中水平得分，统计如下表.数学得分注意力集中水平得分120分以下120分以上（含120分）500分以上（含500分）100180500分以下15070（1）若将学生在质量监测中数学得分在120分以上（含120分）定义为数学成绩优秀，将学生注意力集中水平得分在500分以上（含500分）称为注意力集中水平高，试问：能否有99%以上的把握认为数学成绩优秀与注意力
5、集中水平高有关？（2）若从上述样本数学得分在120分以下的学生中，按注意力集中水平得分进行分层抽样抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取3人，求3人中至少2人注意力集中水平得分在500分以下的概率.0.0250.0100.0050.0015.0246.6357.87910.828（，其中）18. 在中，分别是内角，的对边，已知，.（1）求的面积；（2）若是边上一点，且，求的长.19. 直三棱柱中，为正方形，为棱上任意一点，点、分别为，的中点.（1）求证：平面；（2）当点为中点时，求三棱锥的体积.20. 已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）当时，设，若对于任意、，均有，求的取值范围.21 已
6、知圆过点，且与直线相切.（1）求圆心的轨迹的方程；（2）过点作直线交轨迹于、两点，点关于轴的对称点为.问是否经过定点，若经过定点，求出定点坐标；若不经过，请说明理由.（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分. 选修4-4：坐标系与参数方程 22. 在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为，（为参数），.（1）求曲线的直角坐标方程，并判断该曲线是什么曲线；（2）已知点，设曲线与曲线交点为、，当时，求的值. 选修4-5：不等式选讲 23. 设函数，.（1）解关于的不等式；（2）若对一切实数恒成
7、立，求实数的取值范围.1【答案】C2【答案】D3【答案】C4【答案】B5【答案】A6【答案】D7【答案】C8【答案】B9【答案】A10【答案】A11【答案】A12【答案】C13【答案】514【答案】15【答案】16【答案】17【答案】（1）能有99%以上的把握认为数学成绩优秀与注意力集中水平高有关 （2）【小问1详解】由列联表中数据计算可得，的观测值为所以能有99%以上的把握认为数学成绩优秀与注意力集中水平高有关.【小问2详解】数学得分在120分以下且注意力集中水平在500分以上（含500分）和500分以下的人数分别为100人和150人，所以按注意力集中水平得分进行分层抽样抽取5名学生，可得注
8、意力集中水平在500分以上（含500分）和500分以下的人数分别为2人和3人，分别记为“甲”、“乙”和“A”“B”“C”.从这5名学生中随机抽取3人，有（甲，乙，A），（甲，乙，B），（甲，乙，C），（甲，A，B），（甲，A，C），（甲，B，C），（乙，A，B），（乙，A，C），（乙，B，C），（A，B，C）共10种可能，其中3人中至少2人注意力集中水平得分在500分以下的有（甲，A，B），（甲，A，C），（甲，B，C），（乙，A，B），（乙，A，C），（乙，B，C），（A，B，C）共7种可能.故3人中至少2人注意力集中水平得分在500分以下的概率.18【答案】（1） （2）【小问1详解】解：
9、因，由正弦定理可得，即，由余弦定理可得，所以，又，所以，所以【小问2详解】解：由（1）可知，解得，因为，所以，由，即，所以，解得119【小问1详解】证明：取BC中点为，连接，因为点、分别为，的中点，所以，因为平面，平面，所以平面，同理可得平面，又，平面，所以平面平面，因为平面，所以平面；【小问2详解】解：因为三棱柱为直三棱柱，所以平面，所以，又为正方形，所以，且，又，所以平面，即平面，所以当点为中点时，三棱锥的体积.20【答案】（1）当时，单调递减区间为；当时，单调递增区间为，单调递减区间为 （2）【小问1详解】解：函数的定义域为，所以，当时，恒成立，函数的单调递减区间为； 当时，由，解得；当
10、时，当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为 综上可得：当时，单调递减区间为；当时，单调递增区间为，单调递减区间为【小问2详解】解：由已知，转化为 由（1）知，当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为故的极大值即为最大值，因为，则，当时，当时，函数在上单调递减，在上单调递增故的极小值即为最小值，即，解得的取值范围为21【答案】（1） （2）【小问1详解】解：由题意知动点的轨迹是以为顶点，为焦点，为准线的抛物线，所以动圆圆心的轨迹方程为：；【小问2详解】解：设直线的方程为，、不妨令，则，联立直线与抛物线方程得消去得，则、，则直线的方程为，即，则，即，所以，即，令解得，所以直线恒过定点；22【答案】（1）；椭圆； （2）.【小问1详解】把代入得：，即，所以曲线的直角坐标方程是，它是焦点在x轴上的椭圆.【小问2详解】由（1）知，把方程代入并整理得：，设点、所对参数分别为，于是得，由直线参数方程的几何意义知：，解得，而，于是得，所以的值是.23【答案】（1）； （2）.【小问1详解】因函数，则，当时，解得，无解，当时，解得，则有，当时，解得，则有，综上得：，所以不等式的解集是.【小问2详解】依题意，当时，而在上单调递增，当时，于是得，当时，则有，解得，当时，而在上单调递增，当时，于是得，于是得，综上得，所以实数的取值范围.