1、第七节抛物线考情展望1.考查与抛物线定义有关的最值、距离、轨迹问题.2.考查抛物线的标准方程及几何性质.3.考查直线与抛物线的位置关系、突出考查函数思想、数形结合思想一、抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线二、抛物线的标准方程与几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)图形范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR焦点坐标准线方程xxyy离心率e1焦半径|PF|x0|PF|x0|PF|y0|PF|y0抛物线的焦半径抛物线y22px(p0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|x0.1若抛物
2、线y4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是()A.B.C.D0【解析】M到准线的距离等于M到焦点的距离，又准线方程为y，设M(x，y)，则y1，y.【答案】B2设抛物线的顶点在原点，准线方程为x2，则抛物线的方程是()Ay28x By28xCy24x Dy24x【解析】因为抛物线的准线方程为x2，所以2，所以p4，所以抛物线的方程是y28x.所以选B.【答案】B3已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P(m，2)到焦点的距离为4，则m的值为()A4 B2C4或4 D12或2【解析】设抛物线方程为x22py(p0)，由题意知24，p4，抛物线方程为x28y，m216，m4
3、.【答案】C4双曲线1的左焦点在抛物线y22px的准线上，则p的值为_【解析】双曲线的左焦点坐标为，抛物线的准线方程为x， ，p216，又p0，则p4.【答案】45(2013四川高考)抛物线y24x的焦点到双曲线x21的渐近线的距离是()A. B. C1 D.【解析】由题意可得抛物线的焦点坐标为(1,0)，双曲线的渐近线方程为xy0或xy0，则焦点到渐近线的距离d1或d2.【答案】B6(2013北京高考)若抛物线y22px的焦点坐标为(1,0)，则p_；准线方程为_【解析】抛物线y22px的焦点坐标为，准线方程为x.又抛物线焦点坐标为(1,0)，故p2，准线方程为x1.【答案】2x1考向一 1
4、54抛物线的定义及应用(1)设圆C与圆C：x2(y3)21外切，与直线y0相切，则C的圆心轨迹为()A抛物线B双曲线C椭圆 D圆(2)(2012重庆高考)过抛物线y22x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AB|，|AF|BF|，则|AF|_.【思路点拨】(1)根据圆C与圆外切、和直线相切，得到点C到圆心的距离，到直线的距离，再根据抛物线的定义可求得结论(2)由抛物线定义，将|AB|、|AF|转化为到焦点的距离，数形结合求解【尝试解答】(1)设圆C的半径为r，又圆x2(y3)21的圆心C(0,3)，半径为1.依题意|CC|r1，圆心C到直线y0的距离为r，|CC|等于圆心C到直线y1的距离
5、(r1)故圆C的圆心轨迹是抛物线(2)由y22x，得p1，焦点F.又|AB|，知AB的斜率存在(否则|AB|2)设直线AB的方程为yk(k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)将yk代入y22x，得k2x2(k22)x0.(*)x1x21，又|AB|AF|BF|x1x2px1x21，因此x1x21，k224.则方程(*)为12x213x30，又|AF|BF|，x1，x2.|AF|x1.【答案】(1)A(2)规律方法11.(1)凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理.(2)第(2)题中充分运用抛物线定义实施转化，其关键在于求点A的坐标.2.若P(x0，y0)为抛物线y
6、22px(p0)上一点，由定义易得|PF|x0；若过焦点的弦AB的端点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长为|AB|x1x2p，x1x2可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到.对点训练已知点P是抛物线y22x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A，求|PA|PM|的最小值【解】设抛物线的焦点为F，则|PF|PM|，|PM|PF|，|PA|PM|PA|PF|，将x代入抛物线方程y22x，得y，4，点A在抛物线的外部，当P、A、F三点共线时，|PA|PF|有最小值，F，|AF| 5，|PA|PM|有最小值5.考向二 155抛物
7、线的标准方程与几何性质(1)已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A、B两点，|AB|12，P为C的准线上一点，则ABP的面积为()A18B24C36D48(2)(2012山东高考)已知双曲线C1：1(a0，b0)的离心率为2.若抛物线C2：x22py(p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为()Ax2y Bx2yCx28y Dx216y【思路点拨】(1)由于准线与AB平行，将点P到直线AB的距离转化为焦点F到准线的距离，只需求P.(2)根据双曲线的离心率为2，求出双曲线的方程，再利用抛物线x22py的焦点到双曲线渐近线的距离为2求出p的值【尝试解答
8、】(1)设抛物线方程为y22px，当x时，y2p2，|y|p，p6，又点P到AB的距离始终为6，SABP12636.(2)双曲线C1：1(a0，b0)的离心率为2，2，ba，双曲线的渐近线方程为xy0，抛物线C2：x22py(p0)的焦点到双曲线的渐近线的距离为2，p8.所求的抛物线方程为x216y.【答案】(1)C(2)D规律方法21.抛物线有四种不同形式的标准方程，要掌握焦点与准线的距离，顶点与准线、焦点的距离，通径与标准方程中系数2p的关系2求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y2mx或x2my(m0)3焦点到准线的距离，简称焦准距，抛物线y22px(p0)上
9、的点常设为，便于简化计算对点训练设斜率为2的直线l过抛物线y2ax(a0)的焦点F，且和y轴交于点A.若OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为()Ay24xBy28xCy24x Dy28x【解析】由抛物线方程知焦点F，直线l为y2，与y轴交点A.SOAF|OA|OF|4.a8，抛物线方程为y28x.【答案】B考向三 156直线与抛物线位置关系(2013陕西高考)已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；(2)已知点B(1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是PBQ的角平分线，证明直线l过定点【思路点拨】(1
10、)利用曲线方程的求法求解轨迹方程，但要注意结合图形寻求等量关系；(2)设出直线方程，结合直线与圆锥曲线的位置关系转化为方程的根与系数的关系求解，要特别注意判别式与位置关系的联系图【尝试解答】(1)如图，设动圆圆心O1(x，y)，由题意，|O1A|O1M|.当O1不在y轴上时，过O1作O1HMN交MN于H，则H是MN的中点，|O1M|又|O1A|，.化简得，y28x(x0)当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标(0,0)也满足方程y28x，动圆圆心的轨迹C的方程为y28x.图(2)证明：如图，由题意，设直线l的方程为ykxb(k0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将ykxb代入y28
11、x中，得k2x2(2bk8)xb20.其中32kb640.由根与系数的关系得，x1x2，x1x2.x轴是PBQ的角平分线，即y1(x21)y2(x11)0，(kx1b)(x21)(kx2b)(x11)0，2kx1x2(bk)(x1x2)2b0，将代入并整理得2kb2(kb)(82bk)2k2b0，kb，此时0，直线l的方程为yk(x1)，即直线过定点(1,0)规律方法3解决抛物线与直线的相交问题，一般采取下面的处理方法：设抛物线方程为y22px(p0)，直线方程为AxByC0，将直线方程与抛物线方程联立，消去x得到关于y的方程my2nyq0.m00直线与抛物线有两个公共点0直线与抛物线只有一个
12、公共点0直线与抛物线没有公共点m0直线与抛物线只有一个公共点，此时直线平行于抛物线的对称轴对点训练已知抛物线C：y22px(p0)过点A(1，2)(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由【解】(1)将A(1，2)代入y22px，得(2)22p1，所以p2.故所求的抛物线C的方程为y24x，其准线方程为x1.(2)假设存在符合题意的直线l，其方程为y2xt.由得y22y2t0.因为直线l与抛物线C有公共点，所以48t0，解得t.另一方面，由直线OA
13、与l的距离d可得，解得t1.因为1，1，所以符合题意的直线l存在，其方程为2xy10.思想方法之二十等价转化思想在抛物线中的应用等价转化思想在抛物线中应用广泛，如焦半径问题常利用抛物线的定义转化解决，与线段的长度、角等有关问题可转化为相应向量的模与夹角解决1个示范例1个对点练(1)已知抛物线方程为y24x，直线l的方程为xy40，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，P到直线l的距离为d2，则d1d2的最小值是()A.2B.1C.2 D.1(2)已知直线ya交抛物线yx2于A，B两点，若该抛物线上存在点C，使得ACB为直角，则a的取值范围为_【解析】(1)因为抛物线的方程为y24x，所以焦点
14、坐标F(1,0)，准线方程为x1.因为点P到y轴的距离为d1，所以到准线的距离为d11，又d11PF，所以d1d2d11d21PFd21，焦点到直线的距离d，而PFd2d，所以d1d2PFd21d1，选D.(2)设C(x，x2)，由题意可取A(，a)，B(，a)，则(x，ax2)，(x，ax2)，由于ACB，所以(x)(x)(ax2)20，整理得x4(12a)x2a2a0，即y2(12a)ya2a0，所以解得a1.(2013江西高考)已知点A(2,0)，抛物线C：x24y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|MN|()A2B12C1 D13【解析】如图所示，由抛物线定义知|MF|MH|，所以|MF|MN|MH|MN|.由于MHNFOA，则，则|MH|MN|1，即|MF|MN|1.【答案】C