1、2016-2017学年上海中学高一（上）期中数学试卷一.填空题1设集合A=0，2，4，6，8，10，B=4，8，则AB=2已知集合A=x|x|2，B=1，0，1，2，3，则AB=3“若x=1且y=1，则x+y=2”的逆否命题是4若f（x+）=x2+，则f（3）=5不等式x的解是6若不等式ax2+（a+1）x+a0对一切xR恒成立，则a的取值范围是7不等式（x3）2230的解是8已知集合A=x|6x8，B=x|xm，若ABB且AB，则m的取值范围是9不等式（x+y）（+）25对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为10设a0，b0，且ab=a+4b+5，则ab的最小值为11对于二次函数f（
2、x）=4x22（p2）x2p2p+1，若在区间1，1内至少存在一个数c 使得f（c）0，则实数p的取值范围是12已知a，b为正实数，且a+b=2，则+的最小值为二.选择题13不等x|x|x的解集是（）Ax|0x1Bx|1x1Cx|0x1或x|x1，Dx|1x0，x114若AB，AC，B=0，1，2，3，4，5，6，C=0，2，4，6，8，10，则这样的A的个数为（）A4B15C16D3215不等式ax2+bx+10的解集是（，），则ab=（）A7B7C5D516已知函数f（x）=x2+bx，则“b0”是“f（f（x）的最小值与f（x）的最小值相等”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必
3、要条件D既不充分也不必要条件三.解答题17解不等式：（1）|x2|+|2x3|4；（2）x18已知a，b，c，dE，证明下列不等式：（1）（a2+b2）（c2+d2）（ac+bd）2； （2）a2+b2+c2ab+bc+ca19已知二次函数f（x）=ax2+bx+1，a，bR，当x=1时，函数f（x）取到最小值，且最小值为0；（1）求f（x）解析式；（2）关于x的方程f（x）=|x+1|k+3恰有两个不相等的实数解，求实数k的取值范围20设关于x的二次方程px2+（p1）x+p+1=0有两个不相等的正根，且一根大于另一根的两倍，求p的取值范围21已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a0），
4、记f2（x）=f（f（x），例：f（x）=x2+1，则f2（x）=（f（x）2+1=（x2+1）2+1；（1）f（x）=x2x，解关于x的方程f2（x）=x；（2）记=（b1）24ac，若f2（x）=x有四个不相等的实数根，求的取值范围2016-2017学年上海中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1（2016秋徐汇区校级期中）设集合A=0，2，4，6，8，10，B=4，8，则AB=0，2，6，10【考点】补集及其运算【专题】集合思想；定义法；集合【分析】根据补集的定义进行计算即可【解答】解：集合A=0，2，4，6，8，10，B=4，8，所以AB=0，2，6，10故答案为：0，
5、2，6，10【点评】本题考查了补集的定义与应用问题，是基础题目2（2016秋徐汇区校级期中）已知集合A=x|x|2，B=1，0，1，2，3，则AB=1，0，1【考点】交集及其运算【专题】计算题；集合思想；定义法；集合【分析】通过求解绝对值不等式化简集合A，然后直接利用交集运算求解【解答】解：A=x|x|2=x|2x2，B=1，0，1，2，3，AB=1，0，1，故答案为：1，0，1【点评】本题考查绝对值不等式的解法，以及求两个集合的交集的方法3（2016秋徐汇区校级期中）“若x=1且y=1，则x+y=2”的逆否命题是“若x+y2，则x1，或y1”【考点】四种命题【专题】定义法；简易逻辑【分析】根
6、据已知中的原命题及逆否命题的定义，可得答案【解答】解：“若x=1且y=1，则x+y=2”的逆否命题是“若x+y2，则x1，或y1”，故答案为：“若x+y2，则x1，或y1”【点评】本题考查的知识点是四种命题，熟练掌握逆否命题的定义，是解答的关键4（2016秋徐汇区校级期中）若f（x+）=x2+，则f（3）=7【考点】函数的值；函数解析式的求解及常用方法【专题】计算题；配方法；函数的性质及应用【分析】求出函数的解析式，然后求解函数值即可【解答】解：f（x+）=x2+=（x+）22，所以f（x）=x22，则f（3）=7故答案为：7【点评】本题考查函数的解析式的求法，函数值的求法，考查计算能力5（2
7、016秋徐汇区校级期中）不等式x的解是（3，0）（3，+）【考点】其他不等式的解法【专题】计算题；转化思想；综合法；集合【分析】首先通分化简分式不等式，最后化简为整式不等式，利用穿根法解答即可【解答】解：原不等式等价于等价于（x+3）（x3）x0，由穿根法得到不等式的解集为（3，0）（3，+）；故答案为：（3，0）（3，+）；【点评】本题考查了分式不等式的解法；关键是转化为整式不等式解之；运用穿根法使得解集易得6（2016秋徐汇区校级期中）若不等式ax2+（a+1）x+a0对一切xR恒成立，则a的取值范围是（，）【考点】函数恒成立问题；二次函数的性质【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用【
8、分析】若不等式ax2+（a+1）x+a0对一切xR恒成立，则，解得a的取值范围【解答】解：若不等式ax2+（a+1）x+a0对一切xR恒成立，则，解得：a（，），故答案为：（，）【点评】本题考查的知识点是函数恒成立问题，二次函数的图象和性质，转化思想，难度中档7（2016秋徐汇区校级期中）不等式（x3）2230的解是（0，6）【考点】其他不等式的解法【专题】计算题；转化思想；综合法【分析】设=t，则原不等式化为t22t30，（t0），解关于t的不等式，然后解出x范围【解答】解：设=t，则原不等式化为t22t30，（t0），所以t0，3），即0，3），所以（x3）29，解得3x33，所以0x6，
9、故原不等式的解集为（0，6）；故答案为：（0，6）【点评】本题考查了利用换元法解不等式；属于基础题8（2016秋徐汇区校级期中）已知集合A=x|6x8，B=x|xm，若ABB且AB，则m的取值范围是6，8【考点】交集及其运算【专题】集合思想；转化法；集合【分析】根据集合的并集和集合的交集得到关于m的不等式组，解出即可【解答】解：A=x|6x8，B=x|xm，若ABB且AB，则，故答案为：6，8【点评】本题考查了集合的交集、并集的定义，是一道基础题9（2016秋徐汇区校级期中）不等式（x+y）（+）25对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为16【考点】基本不等式在最值问题中的应用【专题】
10、转化思想；转化法；不等式【分析】利用基本不等式进行求解，先求出（x+y）（+）的最小值为（+1）2，然后解不等式即可【解答】解：（x+y）（+）=1+a+1+a+2=1+a+2=（+1）2，即（x+y）（+）的最小值为（+1）2，若不等式（x+y）（+）25对任意正实数x，y恒成立，（+1）225，即+15，则4，则a16，即正实数a的最小值为16，故答案为：16【点评】本题主要考查基本不等式的应用，利用基本不等式先求出（x+y）（+）的最小值为（+1）2是解决本题的关键10（2016秋徐汇区校级期中）设a0，b0，且ab=a+4b+5，则ab的最小值为25【考点】基本不等式【专题】计算题；转
11、化思想；综合法；不等式【分析】利用基本不等式可将ab=a+4b+5转化为ab的不等式，求解不等式可得ab的最小值【解答】解：a0，b0，a+4b+5=ab，可得ab5+2=5+4，当且仅当a=4b时取等号（+1）（5）0，5或1（舍去）ab25故ab的最小值为将25；故答案为：25【点评】本题考查基本不等式，将2ab=a+b+12转化为不等式是关键，考查等价转化思想与方程思想，属于中档11（2012天宁区校级模拟）对于二次函数f（x）=4x22（p2）x2p2p+1，若在区间1，1内至少存在一个数c 使得f（c）0，则实数p的取值范围是（3，1.5）【考点】二次函数的性质【专题】计算题；转化思
12、想【分析】由于二次函数f（x）=4x22（p2）x2p2p+1的图象是开口方向朝上的抛物线，故二次函数f（x）=4x22（p2）x2p2p+1在区间1，1内至少存在一个实数c，使f（c）0的否定为对于区间1，1内的任意一个x都有f（x）0，即f（1），f（1）均小于等0，由此可以构造一个关于p的不等式组，解不等式组即可求出实数p的取值范围【解答】解：二次函数f（x）在区间1，1内至少存在一个实数c，使f（c）0的否定是：对于区间1，1内的任意一个x都有f（x）0，即 整理得 解得p，或p3，二次函数在区间1，1内至少存在一个实数c，使f（c）0的实数p的取值范围是 （3，）【点评】本题考查的知
13、识点是一元二次方程的根的分布与系数的关系，其中根据二次函数的图象是开口方向朝上的抛物线，得到对于区间1，1内的任意一个x都有f（x）0时，是解答本题的关键12（2014秋苏州期末）已知a，b为正实数，且a+b=2，则+的最小值为【考点】函数在某点取得极值的条件；基本不等式【专题】导数的综合应用；不等式的解法及应用【分析】由a，b为正实数，且a+b=2，变形可得=+a+b1+=+1=f（a），0a2利用导数研究其单调性极值与最值即可得出【解答】解：a，b为正实数，且a+b=2，=a+=+a+b1+=+1=f（a），0a2f（a）=+=，令f（a）0，解得，此时函数f（a）单调递增；令f（a）0，
14、解得，此时函数f（a）单调递减当且仅当a=63时函数f（a）取得极小值即最小值，=故答案为：【点评】本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题二.选择题13（2016秋徐汇区校级期中）不等x|x|x的解集是（）Ax|0x1Bx|1x1Cx|0x1或x|x1，Dx|1x0，x1【考点】绝对值不等式【专题】不等式的解法及应用【分析】建议修改C为 x|0x1，或 x1原不等式即x（|x|1）0，等价转化为，或 分别求得、的解集，再取并集，即得所求【解答】解：不等x|x|x，即 x（|x|1）0，或 解可得 0x1，解可得 x1把的解集取并集，即得原不等式的解集为
15、x|0x1或x|x1，故选C【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了分类讨论和等价转化的数学思想，属于中档题14（2016秋徐汇区校级期中）若AB，AC，B=0，1，2，3，4，5，6，C=0，2，4，6，8，10，则这样的A的个数为（）A4B15C16D32【考点】子集与真子集【专题】综合题；方程思想；演绎法；集合【分析】利用AB，AC，可得A（BC），求出BC，即可得出结论【解答】解：AB，AC，A（BC），B=0，1，2，3，4，5，6，C=0，2，4，6，8，10，BC=0，2，4，6，A的个数为16，故选C【点评】本题考查集合的运算与关系，考查学生的计算能力，比较基础15（20
16、16秋徐汇区校级期中）不等式ax2+bx+10的解集是（，），则ab=（）A7B7C5D5【考点】其他不等式的解法【专题】方程思想；转化法；不等式的解法及应用【分析】根据不等式的解集构造不等式，化简后于已知得不等式对比即可求出a与b的值，进而求出ab的值【解答】解：由不等式ax2+bx+10的解集是（，），构造不等式（x+）（x）0，整理得：6x2+x10，即6x2x+10，与ax2+bx+10对比得：a=6，b=1，则ab=6+1=5，故选：C【点评】此题考查学生理解不等式解集的意义，会根据解集构造不等式，是一道基础题16（2016浙江）已知函数f（x）=x2+bx，则“b0”是“f（f（x
17、）的最小值与f（x）的最小值相等”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】函数思想；综合法；简易逻辑【分析】求出f（x）的最小值及极小值点，分别把“b0”和“f（f（x）的最小值与f（x）的最小值相等”当做条件，看能否推出另一结论即可判断【解答】解：f（x）的对称轴为x=，fmin（x）=（1）若b0，则，当f（x）=时，f（f（x）取得最小值f（）=，即f（f（x）的最小值与f（x）的最小值相等“b0”是“f（f（x）的最小值与f（x）的最小值相等”的充分条件（2）若f（f（x）的最小值与f（x）的最小值相等
18、，则fmin（x），即，解得b0或b2“b0”不是“f（f（x）的最小值与f（x）的最小值相等”的必要条件故选A【点评】本题考查了二次函数的性质，简易逻辑关系的推导，属于基础题三.解答题17（2016秋徐汇区校级期中）解不等式：（1）|x2|+|2x3|4；（2）x【考点】绝对值不等式的解法；其他不等式的解法【专题】对应思想；分类法；不等式的解法及应用【分析】（1）通过讨论x的范围，求出各个区间上的x的范围，从而求出不等式的解集即可；（2）通过讨论x的范围得到x1=0或或，解出即可【解答】解：（1）x2时，x2+2x34，解得：x3，x2时，2x+2x24，解得：x4，x时，2x+32x4，解
19、得：x，故不等式的解集是：x|x3；（2）x，0，x1=0或或解得：1x0或x=1或x2，故不等式的解集是（1，01（2，+）【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查解分式不等式以及分类讨论思想，是一道中档题18（2016秋徐汇区校级期中）已知a，b，c，dE，证明下列不等式：（1）（a2+b2）（c2+d2）（ac+bd）2； （2）a2+b2+c2ab+bc+ca【考点】不等式的证明【专题】证明题；转化思想；演绎法；不等式【分析】（1）根据不等式的左边减去右边化简结果为 （adbc）20，可得不等式成立；（2）从不等式的左边入手，左边对应的代数式的二倍，分别写成两两相加的形式，在三组相加
20、的式子中分别用均值不等式，整理成最简形式，得到右边的2倍，两边同时除以2，得到结果【解答】证明：（a2+b2）（c2+d2）（ac+bd）2=（ a2c2+a2d2+b2c2+b2d2）（a2c2+2abcd+b2d2） =（adbc）20，（a2+b2）（c2+d2）（ac+bd）2 成立；（2）a2+b2+c2=（a2+b2+c2+a2+b2+c2）（2ab+2ca+2bc）=ab+bc+caa2+b2+c2ab+bc+ca【点评】本题主要考查用比较法证明不等式，考查均值不等式的应用，考查不等式的证明方法，把差变为因式乘积的形式，是解题的关键，属于中档题19（2016秋徐汇区校级期中）已知
21、二次函数f（x）=ax2+bx+1，a，bR，当x=1时，函数f（x）取到最小值，且最小值为0；（1）求f（x）解析式；（2）关于x的方程f（x）=|x+1|k+3恰有两个不相等的实数解，求实数k的取值范围【考点】二次函数的性质；根的存在性及根的个数判断【专题】计算题；函数思想；转化法；函数的性质及应用【分析】（1）根据函数的对称轴和函数的最值，即可求出函数的解析式，（2）设|x+1|=t，t0，得到t2t+k3=0，由x的方程f（x）=|x+1|k+3恰有两个不相等的实数解，得到关于t的方程由两个相等的根或有一个正根，解得即可【解答】解：（1）x=1时，函数f（x）取到最小值，且最小值为0，
22、=1，f（1）=ab+1=0，解得a=1，b=2，f（x）=x2+2x+1，（2）：f（x）=|x+1|k+3，x2+2x+1=|x+1|k+3，即（x+1）2=|x+1|k+3，设|x+1|=t，t0，t2t+k3=0，x的方程f（x）=|x+1|k+3恰有两个不相等的实数解，关于t的方程由两个相等的根或有一个正根，=14（k3）=0，或解得k=，或k3，故有k的取值范围为k|k=，或k3【点评】本题考查了二次函数的性质，以及参数的取值范围，关键是换元，属于中档题20（2016秋徐汇区校级期中）设关于x的二次方程px2+（p1）x+p+1=0有两个不相等的正根，且一根大于另一根的两倍，求p的
23、取值范围【考点】根的存在性及根的个数判断【专题】计算题；方程思想；定义法；函数的性质及应用【分析】根据根与系数的关系和判别式即可求出p的范围【解答】解：关于x的二次方程px2+（p1）x+p+1=0有两个不相等的正根，则=（p1）24p（p+1）=3p26p+10，解得1p1+，当x1+x2=0，及x1x2=0时，方程的两根为正解之，得0p1故0p1记x1=，x2=，由x22x1，并注意p0，得31p0，28p2+52p80，即7p2+13p202p综上得p的取值范围为p|0p【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，属于基础题21（2016秋徐汇区校级期中）已知二次函数f（x）=ax2+
24、bx+c（a0），记f2（x）=f（f（x），例：f（x）=x2+1，则f2（x）=（f（x）2+1=（x2+1）2+1；（1）f（x）=x2x，解关于x的方程f2（x）=x；（2）记=（b1）24ac，若f2（x）=x有四个不相等的实数根，求的取值范围【考点】二次函数的性质；根的存在性及根的个数判断【专题】阅读型；函数思想；构造法；函数的性质及应用【分析】（1）根据新类型的定义，求解f2（x），再解方程即可（2）换元思想，根据新类型的定义：f（f（x）=x，令f（x）x=t，则f（x）t=x，f（x）=t+x，则有：f（t+x）=f（x）t带入二次函数f（x）=ax2+bx+c（a0），求出
25、t，t又是二次函数的值，即ax2+bx+c=t函数必有两个根，0化简可得（b1）24ac的取值范围【解答】解：（1）由题意：当f（x）=x2x时，则：f2（x）=（x2x）2（x2x）=x42x3+x；那么：f2（x）=x；即：x42x3+x=x；解得：x=0或x=2（2）根据新类型的定义：f（f（x）=x，令f（x）x=t，则f（x）t=x，f（x）=t+x，则有：f（t+x）=f（x）t即a（t+x）2+b（t+x）+c=ax2+bx+ct，化简可得：at2+（2ax+b+1）t=0，解得：t=0或t=当t=0时，即ax2+bx+c=x，有两个不相同的实数根，可得（b1）24ac0当t=时，ax2+bx+c=x，整理可得：，=（b+1）24ac+4（b+1）=（b1）24ac4有两个不相同的实数根0（b1）24ac40，即（b1）24ac4综上所得=（b1）24ac的取值范围是（4，+）【点评】本题考查了新定义的应用和理解，计算能力！反函数的利用和构造思想换元的代换是解决此题的关键属于难题