1、第三节平面向量的数量积及平面向量的应用【考纲下载】1理解平面向量数量积的含义及其物理意义了解平面向量的数量积与向量投影的关系2掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算3能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系4会用向量方法解决某些简单的平面几何问题会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题1两个向量的夹角(1)夹角的定义：定义范围已知两个非零向量a，b，作OAa，OBb，则AOB叫作向量a与b的夹角(如图)向量夹角的范围是0，当0时，a与b同向；当时，a与b反向；，当时，两向量垂直，记作ab(规定零向量可与任一向量垂直)(2)射影的定义：设是a与b的
2、夹角，则|b|cos 叫作b在a方向上的射影|a|cos 叫作a在b方向上的射影射影是一个实数，不是线段的长度，也不是向量当时，它是正值；当时，它是负值；当时，它是0.(3)平面向量数量积的定义：已知两个向量a和b，它们的夹角为，把|a|b|cos 叫作a和b的数量积(或内积)，记作ab.即ab|a|b|cos .(4)数量积的几何意义：a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a方向上射影|b|cos的乘积，或b的长度|b|与 a在b方向上射影|a|cos 的乘积2向量数量积的运算律(1)abba；(2)(a)b(ab)a(b)；(3)(ab)cacbc.3平面向量数量积的有关结论已知非零向量a
3、(x1，y1)，b(x2，y2)，结论几何表示坐标表示模|a|a|夹角cos cos ab的充要条件ab0x1x2y1y201若abac，则bc吗？为什么？提示：不一定a0时不成立，另外a0时，由数量积概念可知b与c不能确定2等式(ab)ca(bc)成立吗？为什么？提示：(ab)ca(bc)不一定成立(ab)c是c方向上的向量，而a(bc)是a方向上的向量，当a与c不共线时它们必不相等3|ab|与|a|b|的大小之间有什么关系？提示：|ab|a|b|.因为ab|a|b|cos ，所以|ab|a|b|cos |a|b|.1若非零向量a，b满足|a|b|，(2ab)b0，则a与b的夹角为()A30
4、 B60 C120 D150解析：选C(2ab)b0，2abb20，2|a|b|cos |b|20.又|a|b|，2cos 10，即cos .又0，即a与b的夹角为120.2已知向量a(1，1)，b(2，x)，若ab1，则x()A1 B C. D1解析：选Da(1，1)，b(2，x)，ab1，2x1，即x1.3设向量a，b满足|a|b|1，ab，则|a2b|()A. B. C. D.解析：选B|a2b| .4(2013新课标全国卷)已知两个单位向量a，b的夹角为60，ct a(1t)b.若bc0，则t_.解析：因为向量a，b为单位向量，所以b21，又向量a，b的夹角为60，所以ab，由bc0，
5、得bt a(1t)b0，即t ab(1t)b20，所以t(1t)0，所以t2.答案：25(2013新课标全国卷)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则_.解析：选向量的基底为，则，那么()2.答案：2考点一平面向量数量积的概念及运算 例1(1)(2013湖北高考)已知点A(1,1)、B(1,2)、C(2，1)、D(3,4)，则向量在方向上的投影为()A. B. C D(2)如图，在矩形ABCD中，AB，BC2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若，则的值是_自主解答(1)A(1,1)，B(1，2)，C(2，1)，D(3,4)，(2,1)，(5,5)，因此cos，向量在方向上的投影为|
6、cos，.(2)以A为坐标原点，AB，AD所在的直线分别为x，y轴建立直角坐标系，则B(，0)，E(，1)，D(0,2)，C(，2)设F(x，2)(0x)，由xx1，所以F(1,2)，(，1)(1，2).答案(1)A(2)【互动探究】在本例(2)中，若四边形ABCD是边长为1的正方形，点E是AB上的动点，求的值及的最大值解：以A点为原点，AB边所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则正方形各顶点坐标分别为A(0,0)、B(1,0)、C(1,1)、D(0,1)，设E(a，0)，0a1.(a，1)(0，1)a0(1)(1)1.(a，1)(1,0)a(1)0a1，故的最大值为1. 【方法规律】
7、平面向量数量积的类型及求法(1)平面向量数量积有两种计算公式：一是夹角公式ab|a|b|cos ；二是坐标公式abx1x2y1y2.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简1若向量a(1,1)，b(2,5)，c(3，x)，满足条件(8ab)c30，则x_.解析：a(1,1)，b(2,5)，8ab(8,8)(2,5)(6,3)又c(3，x)，(8ab)c183x30，x4.答案：42已知e1，e2是夹角为的两个单位向量，ae12e2，bke1e2，若ab0，则实数k的值为_解析：e1，e2的模为1，且其夹角.ab(e12e2)(ke1e2)kee1
8、e22ke1e22ek(12k)cos22k.又ab0，2k0，即k.答案：高频考点考点二 平面向量的夹角与模的问题1平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容，题型多为选择题、填空题，难度适中，属中档题2高考对平面向量的夹角与模的考查常有以下几个命题角度：(1)求两向量的夹角；(2)两向量垂直的应用；(3)已知数量积求模；(4)知模求模例2(1)(2013湖南高考)已知a，b是单位向量，ab0.若向量c满足|cab|1，则|c|的最大值为()A.1 B. C.1 D.2(2)(2013安徽高考)若非零向量a，b满足|a|3|b|a2b|，则a与b夹角的余弦值为_(3)(2013山东高考)已知
9、向量与的夹角为120，且|3，|2.若，且，则实数的值为_(4)(2013天津高考)在平行四边形ABCD中， AD1，BAD60，E为CD的中点若1, 则AB的长为_ 自主解答(1)建立如图所示的直角坐标系，由题意知ab，且a与b是单位向量，可设a(1,0)，b(0,1)，c(x，y)cab(x1，y1)，|cab|1，(x1)2(y1)21，即点C(x，y)的轨迹是以M(1,1)为圆心，1为半径的圆而|c|，|c|的最大值为|OM|1，即|c|max1. (2)由|a|a2b|，两边平方，得|a|2|a2b|2|a|24|b|24ab，所以ab|b|2.又|a|3|b|，所以cosa，b.(
10、3)，0，()0，即()()220.向量与的夹角为120，|3，|2，(1)| |cos 120940，解得.(4)法一：由题意可知，.因为1，所以()1，即221.因为|1，BAD60，所以|，即AB的长为.法二：以A为原点，AB为x轴建立如图所示的直角坐标系，过D作DMAB于点M.由AD1，BAD60，可知AM，DM.设|AB|m(m0)，则B(m,0)，C，D.因为E是CD的中点，所以E.所以，.由1，可得1，即2m2m0，所以m0(舍去)或.故AB的长为.答案(1)C(2)(3)5(4)平面向量的夹角与模问题的常见类型及解题策略(1)求两向量的夹角cos ，要注意0，(2)两向量垂直的
11、应用两非零向量垂直的充要条件是：abab0|ab|ab|.(3)求向量的模利用数量积求解长度问题的处理方法有：a2aa|a|2或|a|.|ab|.若a(x，y)，则|a|.1若a(1,2)，b(1，1)，则2ab与ab的夹角等于()A B. C. D.解析：选C2ab2(1,2)(1，1)(3,3)，ab(1,2)(1，1)(0,3)，(2ab)(ab)9，|2ab|3，|ab|3.设所求两向量夹角为，则cos ，又0，故.2已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量ab与向量kab垂直，则k_.解析：a与b是不共线的单位向量，|a|b|1.又kab与ab垂直，(ab)(kab)0，即
12、ka2kababb20.k1kabab0，即k1kcos cos 0(为a与b的夹角)(k1)(1cos )0，又a与b不共线，cos 1，k1.答案：13已知平面向量，|1，(2,0)，(2)，则|2|的值为_解析：(2,0)，|2，又(2)，(2)22120.(2)2422444210.|2|.答案：考点三平面向量数量积的应用 例3(2013江苏高考)已知向量a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，0.(1)若|ab|，求证：ab；(2)设c(0,1)，若abc，求，的值自主解答(1)证明：由题意得|ab|22，即(ab)2a22abb22.又因为a2b2|a|2|b|21，所
13、以22ab2，即ab0，故ab.(2)因为ab(cos cos ，sin sin )(0,1)，所以由此得，cos cos()，由0，得0，又0，所以，.【方法规律】平面向量与三角函数的综合问题的命题形式与解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等.设向量a(4cos ，sin )，b(sin ，4cos )，c(cos ，4sin )(1)若a与b2c垂直，求tan()的值
14、；(2)求|bc|的最大值；(3)若tan tan 16，求证：ab.解：(1)由a与b2c垂直，得a(b2c)ab2ac0，即4sin()8cos()0，tan()2.(2)bc(sin cos ，4cos 4sin )，|bc|2sin22sin cos cos216cos232cos sin 16sin21730sin cos 1715sin 2，故最大值为32，所以|bc|的最大值为4.(3)证明：由tan tan 16，得sin sin 16cos cos ，即4cos 4cos sin sin 0，所以ab.课堂归纳通法领悟1个条件两个非零向量垂直的充要条件两个非零向量垂直的充要条
15、件为：abab0.2个结论与向量夹角有关的两个结论(1)若ab0，则a与b的夹角为锐角或0；(2)若ab0，即(1,2)(1，2)0.(1)2(2)0.当a与ab共线时，存在实数m，使abma，即(1，2)m(1,2)，解得0.即当0时，a与ab共线，综上可知，实数的取值范围为(0，)11在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，2)，B(2,3)，C(2，1)(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t满足(t)0，求t的值解：(1)由题设知(3,5)，(1,1)，则(2,6)，(4,4)所以|2，|4.故所求的两条对角线长分别为2，4.(2)由题设知(2，1)，
16、t(32t,5t)由(t)0，得(32t,5t)(2，1)0，从而5t11，所以t.12在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知m，n，且满足|mn|.(1)求角A的大小；(2)若|，试判断ABC的形状解：(1)由|mn|，得m2n22mn3，即1123，cos A.0A，A.(2)|，sin Bsin Csin A，sin Bsin ，即sin Bcos B，sin .0B，B，B或，故B或.当B时，C；当B时，C.故ABC是直角三角形冲击名校1(2013浙江高考)设ABC，P0是边AB上一定点，满足P0BAB，且对于边AB上任一点P，恒有，则()AABC90 BBAC90CA
17、BAC DACBC解析：选D设AB4，以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴，则A(2,0)，B(2,0)，则P0(1,0)，设C(a，b)，P(x,0)，(2x,0)，(ax，b)(1,0)，(a1，b)则(2x)(ax)a1恒成立，即x2(2a)xa10恒成立(2a)24(a1)a20恒成立a0.即点C在线段AB的中垂线上，ACBC.2对任意两个非零的平面向量和，定义.若两个非零的平面向量a，b满足a与b的夹角，且ab和ba都在集合中，则ab()A. B. C1 D.解析：选D由题设定义得abcos ，bacos .又ab和ba都在集合中且，设ab，ba(n1，n2N)，那么(ab)(ba)cos2，所以0n1n22，所以n1，n2的值均为1，故ab.高频滚动1已知点A(2,1)，B(0,2)，C(2,1)，O(0,0)，给出下面的结论：直线OC与直线BA平行；2.其中正确结论的个数是()A1 B2 C3 D4解析：选C由题意得kOC，kBA，OCBA，正确；，错误；(0,2)，正确；2(4,0)，(4,0)，正确2在ABC中，a，b，M是CB的中点，N是AB的中点，且CN，AM交于点P，则_(用a，b表示)解析：如图所示，()ab.答案：ab