1、-1-3 柱面与平面的截面目标导航 1.了解柱面、旋转面的形成过程.2.掌握柱面、旋转面、焦球、椭圆的概念.3.知道柱面的垂直截面和一般截面的形状.知识梳理 1.柱面、旋转面(1)圆柱面:如图所示,矩形ABCD以一边CD所在的直线为轴,旋转一周后AB边所形成的曲面称为圆柱面.(2)旋转面:如图所示,平面上一条曲线C绕一条直线l旋转一周后所形成的曲面称为旋转面,直线l称为旋转面的轴.知识梳理【做一做1】过圆柱面的轴的平面与圆柱面的交线是().A.两条相交线段B.两条平行线段 C.两条异面线段D.平行四边形 答案:B 知识梳理 2.垂直截面 如图所示,设l为圆柱的轴,用垂直于l的平面截圆柱,所得的
2、交线是圆.名师点拨垂直于轴的截面与柱面的交线为一个圆,这个圆的半径等于圆柱底面的半径.【做一做2】已知圆柱的底面半径为2,则垂直于轴的截面与圆柱面的交线形成的圆的半径为 .答案:2 知识梳理 3.一般截面(1)焦球:把两个球放入圆柱内,它们位于截面的两侧,每一个球既与圆柱相切,又与平面相切,像这样的球称为“焦球”(又称Dandelin球).(2)椭圆:如图所示,若平面内的动点P到两定点F1,F2的距离之和为常数(常数大于两定点间的距离),则称动点P的轨迹为椭圆,其中F1和F2称为椭圆的焦点.知识梳理(3)一般截面:如图所示,当截面与圆柱面的轴不垂直时,所得交线为椭圆.范围是 0,2.名师点拨当
3、截面与柱面的交线为椭圆时,截面与柱面的轴的夹角的 知识梳理【做一做3】F1和F2是椭圆的焦点,P,Q是椭圆上的两点,且PF1=3,PF2=2,QF1=d1,QF2=d2,则().A.d1+d2=5B.d1-d2=5 C.d1d2=5 解析:椭圆上的点到两焦点的距离之和为常数,d1+d2=PF1+PF2=3+2=5.答案:A D.12=5 典例透析 题型一 题型二 题型三 平面与圆柱面交线性质的应用【例1】圆柱的底面半径为5,高为5,若一平行于轴的平面截圆柱得一正方形,求轴到截面的距离.分析:将题中给出的关系转化为线面关系求解.解:如图所示.四边形ABCD为边长为5的正方形,连接OC,OD.则O
4、CD为等边三角形,设CD的中点为E,连接OE,AD垂直于圆柱的上底面,ADOE.又OECD,且ADCD=D,OE平面ABCD.OE为轴到截面的距离.则 OECD,且 OE=5 32.故轴到截面的距离为 5 32.典例透析 题型一 题型二 题型三 反思解答本题,应根据线面关系作出线面距,当圆柱面的截面平行于轴或垂直于轴时,可以利用点、线、面的关系解决.典例透析 题型一 题型二 题型三【变式训练1】如图所示,圆柱的母线长为2 cm,点O,O分别是圆柱上、下底面的圆心,若OAOB,OA=1 cm,求:(1)OO与AB所成角的正切值;(2)过AB且与OO平行的截面面积;(3)点O到截面的距离.典例透析
5、 题型一 题型二 题型三 解:(1)如图所示,设过点 A 的母线为 AA,则 OOAA,且四边形OOAA 为矩形,易知OBA是等腰直角三角形,且 AB=2 cm.AA=2 cm,OO与 AB所成的角为BAA,tanBAA=22.(2)所求截面为矩形 AABB,S 矩形 AABB=2 2=2 2(cm2).(3)过点 O作 OCAB,垂足为 C.点 O 到截面的距离即 OO到截面的距离,也是点 O到截面的距离.故 d=OC=22 cm.典例透析 题型一 题型二 题型三 椭圆定义的应用【例2】如图所示,O内一定点A与O上任一点Q连线的垂直平分线交半径OQ于点M,试判断动点M的轨迹形状.分析:借助线
6、段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等,讨论动点M与定点O,A的距离之和.解:如图所示,连接MA,设O的半径为r.l是AQ的垂直平分线,MA=MQ.又OM+MQ=OQ=r,MO+MA=r(常数).rOA,动点M的轨迹是以O,A为焦点的椭圆.典例透析 题型一 题型二 题型三 反思椭圆的定义是解决椭圆问题的核心,常常利用椭圆的定义,借助动点的几何性质来确定动点的轨迹.典例透析 题型一 题型二 题型三【变式训练 2】设 F1,F2 为椭圆 29+24=1 的两个焦点,为椭圆上的一点,已知,1,2是一个直角三角形的三个顶点,且 1|2|,求|1|2|的值.典例透析 题型一 题型二 题型三 解:由已知
7、得|PF1|+|PF2|=6,|F1F2|=2 5.根据直角的不同位置,分两种情况讨论:若PF2F1 为直角,则|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2,即|PF1|2=(6-|PF1|)2+20,解得|PF1|=143,|2|=43,故|1|2|=72;若F1PF2 为直角,则|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2,即 20=|PF1|2+(6-|PF1|)2,解得|PF1|=4 或|PF1|=2.因为|PF1|PF2|,所以|PF1|=4,|PF2|=2,故|1|2|=2.综上可知,|1|2|的值为 72 或2.典例透析 题型一 题型二 题型三 探讨椭圆的性质【例 3】如图所示,已知
8、球 O1,O2 分别切平面 G1Q1G2Q2 于点F1,F2,Q1,Q2 分别是 P1,P2 的平行射影,G1G2=2a,Q1Q2=2b,G1G2 与Q1Q2 垂直平分,求证:F1F2=2 2-2.典例透析 题型一 题型二 题型三 证明:如图所示,过点G1作G1HBG2,H为垂足,则四边形ABHG1是矩形.G1H=AB.Q1,Q2分别是P1,P2的平行射影,P1Q1P2Q2.P1Q1Q2P2是平行四边形.四边形Q1Q2=P1P2,即Q1Q2等于底面直径.G1H=AB=Q1Q2=2b.又由切线长定理,得G1A=G1F1=G2F2,G2F1=G2B,G2F1-G2F2=G2B-G1A.又G1A=B
9、H,G2F1-G2F2=G2B-BH.即F1F2=G2H.在 RtG1G2H 中,G2H=122-12=(2)2-(2)2=2 2-2,故F1F2=2 2-2.典例透析 题型一 题型二 题型三 反思用“焦球”探究椭圆的性质,要仔细观察“焦球”与圆柱及其截面的关系,综合应用切线长定理、三角形的相似与全等、解直角三角形以及平行射影的性质等.典例透析 题型一 题型二 题型三【变式训练3】已知一圆柱面的半径为3,圆柱面的一截面的两焦点球的球心距为12,求截面截圆柱面所得的椭圆的长轴长、短轴长、两焦点间的距离和截面与母线所夹的角的大小.解:易知长轴长 2a=12,短轴长 2b=6,两焦点间的距离 2c=
10、2 2-2=2 62-32=6 3.设截面与母线所夹的角为,则 sin=22=12,=30.12341.在ABC中,BC=4,且AC,BC,AB成等差数列,则顶点A的轨迹是().A.直线 B.圆 C.椭圆(不包括长轴上的两个顶点)D.线段 解析:AC,BC,AB成等差数列,AC+AB=2BC.又BC=4,AC+AB=8(常数),顶点A的轨迹是以B,C为焦点的椭圆,且不包括长轴上的两个顶点.答案:C 12342.如图所示,O1与O2内切于点M,动圆P与O1内切于点N,与O2外切于点G,则动圆P的圆心P的轨迹是().A.线段 B.圆 C.双曲线D.椭圆(除去点M)解析:如图所示,连接O1O2,PO
11、2,PO1,并延长O1P交O1于点N.设O1的半径为r1,O2的半径为r2,动圆P的半径为r.则有PG=PN=r,O1N=O1P+PN=O1P+r,PO2=PG+GO2,PO1+PO2=PO1+PG+GO2=(PO1+PN)+GO2=O1N+GO2=r1+r2(常数),动点P的轨迹是以O1,O2为焦点的椭圆,除去点M.答案:D 12343.F1,F2是椭圆的焦点,其长轴长为6,椭圆上有一点P,若PF1=2,则PF2=.解析:PF1+PF2=6,PF2=6-PF1=6-2=4.答案:4 12344.如图所示,已知PF1F2=30,12=32,F1F2,求O1 的半径.解:设椭圆的长轴长为 2a,短轴长为 2b,焦距为 2c,根据题意得 =sin30,=32,2=2+2,解得 =2(负值舍去),=22(负值舍去),=62(负值舍去),于是 OP=22,所以O1 的半径为 22.1234