1、-1-1 截面欣赏2 直线与球、平面与球的位置关系目标导航 1.了解平面截立体图形所产生的截面的形状.2.理解直线与球的位置关系.3.掌握平面与球的关系.知识梳理 1.截面 在工业生产、科学研究及日常生活中,常常要考虑用平面截立体图形,得到一系列截面图形,通过截面图形来反映所研究的对象.名师点拨三视图和直观图不是截面,是平行投影,是从外观来反映图形的性质,而截面是从内部来反映图形的性质.【做一做1】能确定一棵大树的树龄的是().A.三视图B.直观图 C.照片D.横截面 解析:三视图、直观图和照片不能反映大树的年轮,只有横截面能看到大树的年轮,利用年轮能确定大树的树龄.答案:D 知识梳理 2.直
2、线与球的位置关系位置关系 相离 相切 相交 定义 直线与球没有公共点 直线与球只有一个公共点 直线与球有两个公共点 图示 知识梳理 位置关系相离 相切 相交 判断方法 OHR OH=R OHR OH=R OHr,所以直线 l 与球 O 相离.典例透析 题型一 题型二 题型三 反思判断直线与球的位置关系时,通常先转化为比较球心到直线的距离与球的半径的大小,再根据直线与球的位置关系的定义来确定.特别是求球心到直线的距离时,往往借助过球心和直线的平面与球的截面来解决.典例透析 题型一 题型二 题型三【变式训练2】在例2中,设AOB=,其他已知条件不变,当直线l与球O相切时,求cos 的值.解:如图所
3、示,设直线l与球O相切于点C,连接OC,则 OC=r=2,且 OCl,所以在 RtOAC 中,AC=2-2=32-22=5.在 RtOBC 中,BC=2-2=42-22=2 3,则 AB=AC+BC=5+2 3.在ABO 中,由余弦定理,得 cos=cosAOB=2+2-22=9+16-(5+2 3)2234=2-156.典例透析 题型一 题型二 题型三 平面与球的位置关系【例3】正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,试判断以A1为球心,半径r=1的球与平面AB1D1的位置关系.分析:转化为比较球心A1到平面AB1D1的距离与球的半径r的大小.典例透析 题型一 题型二 题型三 解:如图所
4、示,过球心A1向平面AB1D1作垂线,垂足为E,过相交直线A1A和A1E作球的截面,截面与B1D1相交于点F,则F是B1D1的中点,且A1EAF.在 RtAA1F 中,AA1=2,A1F=12 11=2,则 AF=12+12=6.又球心 A1 到平面 AB1D1 的距离 d 是斜边 AF 上的高,所以 d=11=2 2 6=2 33.又半径 r=1,所以 dr,所以球 A1 与平面 AB1D1 相离.典例透析 题型一 题型二 题型三 反思1.本题中也可以用等体积法求出球心A1到平面AB1D1的距离;2.判断平面与球的位置关系时,通常先转化为比较球心到平面的距离与球的半径的大小,再根据平面与球的
5、位置关系的定义来确定.特别是求球心到平面的距离时,往往借助过球心和平面的垂线的截面来解决.典例透析 题型一 题型二 题型三【变式训练3】如图所示,一个倒置的圆锥形容器,它的轴截面是等边三角形,在容器内放一个半径为r的铁球,并向容器内注水,使水面恰与铁球相切,将球取出后,容器内的水深是多少?典例透析 题型一 题型二 题型三 解:由题意,轴截面 PAB 是等边三角形,故当球在容器内时,水深为 3r,水面半径为 3,容器内水的体积V=V 圆锥-V球=13(3)23r 43 r3=53 r3.将球取出后,设容器中水的深度为 h,则水面半径为 33.此时容器内水的体积 V=13 33 2h=19 3.由
6、 V=V,得 h=153,即铁球取出后水深为 153.123451.用平行于侧棱的平面去截正方体,所得截面的形状可以是().答案:B 123452.已知直线l上有一点P到点O的距离为3,球O的半径为4,则直线l与球O的位置关系是().A.相离 B.相切 C.相交 D.相交或相切 解析:设球心O到直线l的距离为d,则dOP=3,又球O的半径r=4,所以必有dr,所以直线l与球O相交.答案:C 123453.已知球O与棱长都相等的正三棱柱ABC-A1B1C1的各个面都相切,则球O与正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱的位置关系是().A.相离 B.相切 C.相交 D.相交或相切 解析:因为球O与正
7、三棱柱ABC-A1B1C1的各个面都相切,所以球心O到各个面的距离都等于球O的半径r,所以球心O到正三棱柱ABC-A1B1C1所有棱的距离都大于r,所以球O与正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱都相离.答案:A 123454.已知三棱锥S-ABC的棱长均为2,球O与三棱锥S-ABC的四个面都相切,则球O的半径r=.解析:连接OS,OA,OB,OC(图略),则VS-ABC=VO-ABC+VO-SBC+VO-SAB+VO-SAC.由于球O与三棱锥S-ABC的四个面都相切,则球心O到三棱锥S-ABC的四个面的距离都等于r,则VO-ABC+VO-SBC+VO-SAB+VO-SAC=4VO-ABC=4
8、13 34 22 =4 33.又 VS-ABC=13 34 22 2 63=2 23,所以 4 33 =2 23,所以r=66.答案:66123455.一球放在水平地面上,球在阳光下的影子伸到距球与地面的接触点10 cm远处,同一时刻,一根高1 m的垂直立于地面的标杆影子长是2 m,求球的半径.解:如图所示,O为球的轴截面图.AB与O切于点A,AB=10 cm,它是AC的影长,由题意知AC=5 cm,BC切O于点D,由切线长定理知 BD=10 cm,CB=2+2=5 5cm,CD=CB-BD=(5 5 10)cm.C=C,ODC=CAB=90,OCDBCA,=,OD=(5 5-10)105=(10 5 20)(cm),故球的半径为(10 5 20)cm.