1、高一数学（期中）一、选择题: 每小题4分，共28分.1.复数对应的点落在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】【分析】利用复数的运算法则化简复数，根据复数的几何意义即可求得对应点，即可判断.【详解】因为，故其对应的点为，容易知其位于第三象限.故选：C.【点睛】本题考查复数的运算以及复数的几何意义，属综合基础题.2.在中，、分别为角、的对边，它的面积为，则角等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用面积公式，借助余弦定理，即可容易求得结果.【详解】因为，且，故可得，即，又因为，故可得.故选：D.【点睛】本题考查三角形的面积公式以及余
2、弦定理的应用，属综合基础题.3.已知正方体的个顶点中，有个为一侧面是等边三角形的正三棱锥的顶点，则这个正三棱锥与正方体的全面积之比为 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】所求全面积之比为： ，故选A.4.已知三棱锥，是直角三角形，其斜边，平面，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意，在长方体中找到满足题意的三棱锥，求得长方体外接球的表面积即为所求.【详解】根据题意，可在长方体中找到满足题意的三棱锥，如下图所示：故该长方体的外接球与三棱锥的外接球相同，又长方体的长宽高可以为，则外接球半径.故其表面积.故选：A.【点睛】本题考查三棱锥
3、外接球的求解，属基础题.5.已知中，为边的两个三等分点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析】用基向量表示出目标向量，利用向量的数量积运算，即可求得结果.【详解】根据题意，由平面向量的定比分点可得：，故可得.故选：B.【点睛】本题考查用基向量表示平面向量，以及向量的数量积运算，属综合基础题.6.复数的虚部为（ ）A. B. C. 3D. -7【答案】C【解析】【分析】先求得，再利用复数运算法则，化简复数后，求其虚部即可.【详解】因为，故，故其虚部为.故选：C.【点睛】本题考查复数的乘法运算，复数的模长求解，以及虚部的辨识，属综合基础题.7.在锐角三角形ABC中，若，且满足关系
4、式，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据已知条件求得，构造的函数，通过求三角函数的值域，即可求得结果.【详解】因为，故可得，又，故可得.因为，故可得整理得，则.故可得，因为，故可得.则故可得.故选：C.【点睛】本题考查利用正余弦定理求解三角形中的范围问题，涉及正弦的和角公式，属综合困难题.二、填空题：每小题5分，共25分.8.已知向量，若与共线，则等于_【答案】【解析】【分析】根据已知条件，即可求的与的坐标，根据向量共线的坐标公式，即可求得结果.【详解】因为，故可得，因为与共线，故可得，即可得.故答案为：.【点睛】本题考查向量坐标的运算，以及由向量共线求参
5、数值，属基础题.9.已知复数z满足(z2)i12i(i是虚数单位)，则复数z的模为_.【答案】【解析】【分析】根据复数的运算，即可求得复数，则模长得解.【详解】因为(z2)i12i，故可得.故可得.故答案为：.【点睛】本题考查复数的运算，以及复数模长的求解，属综合基础题.10.在中，角所对的边分别为，若，则=_【答案】【解析】【分析】利用正弦定理将角化边，将用表示出来，用余弦定理，即可求得【详解】因为，故可得；因为，故可得；综合即可求得.由余弦定理可得.又因为，故可得.故答案为：.【点睛】本题考查利用正弦定理将角化边，以及用余弦定理解三角形，属综合中档题.11.已知某圆锥体的底面半径，沿圆锥体
6、的母线把侧面展开后得到一个圆心角为的扇形，则该圆锥体的表面积是_【答案】【解析】【分析】利用弧长公式，即可求得圆锥的母线，利用圆锥表面积公式即可求得结果.【详解】因为底面圆周长，也即扇形的弧长为，设圆锥母线长为，则可得，解得.故可得圆锥的侧面积.则表面积为故答案：.【点睛】本题考查扇形的弧长公式，以及圆锥侧面积的求解，属综合基础题.12.如图，已知等腰梯形中，是的中点，是线段上的动点，则的最小值是_【答案】【解析】【分析】以中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，用解析法将目标式转化为函数，求得函数的值域，即可求得结果.【详解】以中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，如下图所示：由题可知，设，故可得
7、，则，故可得，因的对称轴，故可得的最小值为.故答案为：.【点睛】本题考查用解析法求向量数量积的最值，涉及动点问题的处理，属综合中档题.三、解答题（52分）13.如图所示，在长方体中， 为棱上点.(1) 若，求异面直线和所成角的大小；(2) 若，求证平面.【答案】(1) ；(2)证明详见解析.【解析】【分析】(1) 由,得是异面直线和所成角,由此能示出异面直线和所成角的正切值；(2) 时,由勾股定理逆定理得,由此能证明平面.【详解】(1),是异面直线和所成角,在长方体中,平面,M为棱上一点,即异面直线和所成角的大小为.(2) 时,.,又,平面.【点睛】本题考查异面直线所成角的正切值的求法,考查直
8、线与平面的证明,解题时要注意空间思维能力的培养.14.已知，的夹角为45.（1）求方向上的投影；（2）求的值;（3）若向量夹角是锐角，求实数的取值范围.【答案】（1）1；（2）；（3）.【解析】试题分析：（1）由射影定义可得在方向上的投影；（2）利用公式可求得向量的模；（3）由与的夹角是锐角，可得，且与不能同向共线，即可解出实数的取值范围.试题解析：（1），与的夹角为在方向上的投影为1（2）（3）与的夹角是锐角，且与不能同向共线，或15.在中，角、所对的边分别为、.（1）若，求面积的最大值；（2）若，试判断的形状.（3）结合解答第（2）问请你总结一下在解三角形中判断三角形的形状的方法.【答案】
9、（1）；（2）直角三角形或等腰三角形. （3）见解析【解析】【分析】（1）利用余弦定理列出关系式，将，代入，整理后利用基本不等式求出的最大值，即可确定出三角形面积的最大值；（2）根据三角形内角和定理，得到，代入已知等式，展开化简合并，得，最后讨论当时与时，分别对的形状加以判断，可以得到结论.（3）根据（2）中所求，结合解三角形的知识，即可容易总结.【详解】（1）因为，所以由余弦定理得：，即，整理得，因为，所以，即，所以，当且仅当时取等号，则的最大值为.（2）由，所以，化简得，即，所以或，因为与都为三角形内角，所以或，所以是直角三角形或等腰三角形.（3）根据（2）中所求，结合已知知识，总结如下：
10、一、可利用正余弦定理，求得三角形中的角度，即可判断三角形形状；二、可利用正余弦定理，求得三角形中的边长，由余弦定理判断三角形形状.【点睛】本题考查利用正余弦定理求解三角形面积的最值，以及判断三角形的形状，属综合中档题.16.如图,四边形为矩形,且平面, ,为的中点.（1）求证:；（2）求三棱锥的体积；（3）探究在上是否存在点,使得平面，并说明理由.【答案】（1）见解析;（2）;（3）见解析.【解析】【分析】(1)连结,由几何体的空间结构可证得,利用线面垂直的定义可知.(2)由(1)知为腰长为1的等腰直角三角形,结合题意转化顶点可得. (3)在上存在中点,使得.取的中点,连结. 易证得四边形EG
11、HC是平行四边形,所以EG/CH,结合线面平行的判断定理可知EG/平面PCD.【详解】(1)连结,为的中点,为等腰直角三角形,则,同理可得, 又,且, , 又,又,.(2)由(1)知为腰长为1的等腰直角三角形,而是三棱锥的高,. (3)在上存在中点,使得.理由如下:取的中点,连结. 是的中点, ,且, 又因为E为BC的中点,且四边形ABCD为矩形,所以EC/AD,且EC=AD,所以EC/GH,且EC=GH,所以四边形EGHC是平行四边形,所以EG/CH,又EG平面PCD,CH平面PCD,所以EG/平面PCD.【点睛】本题主要考查线面垂直的判断定理，线面垂直的判断定理，棱锥的体积公式，立体几何中
12、探索问题的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.17.在ABC中角A、B、C的对边分别为设向量，且，（1）若=，求A；（2）若的外接圆半径为1，且试确定的取值范围.【答案】（1）或；（2）【解析】【分析】由已知条件，即可求得；（1）利用两角的关系，结合辅助角公式即可求得；（2）将目标式转化为的混合式，令，利用其与之间的关系，求得函数的值域，即可求得结果.【详解】因为且，所以，由正弦定理，得，即.又，故，因为，所以即.(1)= ，得，.(2)若则，由正弦定理，得设=，则，所以即，所以实数的取值范围为.【点睛】本题考查利用正余弦定理解三角形，涉及之间的关系以及换元法，属综合中档题.