1、-1-3.1 圆内接四边形目标导航 1.了解圆内接四边形的概念,掌握圆内接四边形的性质定理及其推论.2.理解并掌握圆内接四边形的判定定理及其推论.知识梳理 1.圆内接四边形的性质定理文字语言 圆内接四边形的对角互补 符号语言 若四边形 ABCD 内接于O,则有A+C=180,B+D=180 图形语言 作用 证明两个角互补 名师点拨如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,那么这个多边形叫做圆的内接多边形,这个圆叫做多边形的外接圆,任意一个三角形都有外接圆,但任意一个四边形并不一定有外接圆.知识梳理【做一做1】已知四边形ABCD内接于O,A=25,则C等于()A.25 B.75 C.115D.15
2、5 解析:四边形ABCD内接于O,A+C=180.又A=25,C=180-A=155.答案:D 知识梳理 2.圆内接四边形的性质定理的推论文字语言 圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角 符号语言 四边形 ABCD 内接于O,E 为 AB 延长线上一点,则有CBE=ADC 图形语言 作用 证明两个角相等 名师点拨1.利用圆内接四边形的性质定理及其推论,可以得到角的相等关系或互补关系,从而可以进行其他的计算或证明.2.利用圆内接四边形的性质定理及其推论,可以得出一些重要结论,如内接于圆的平行四边形是矩形;内接于圆的菱形是正方形;内接于圆的梯形是等腰梯形.知识梳理【做一做2】如图所示,四边形A
3、BCD内接于O,延长AB到点E,ADC=32,则CBE等于().A.32 B.58 C.64 D.148 解析:四边形ABCD内接于O,CBE=ADC=32.答案:A 知识梳理 3.四点共圆的判定定理文字语言 如果一个四边形的内对角互补,那么这个四边形四个顶点共圆 符号语言 在四边形 ABCD 中,如果B+D=180(或A+C=180),那么 A,B,C,D 四点共圆 图形语言 作用 证明四点共圆 名师点拨该定理实质上是圆内接四边形的判定定理,与圆内接四边形的性质定理互为逆定理.知识梳理【做一做3】下列四边形的四个顶点一定共圆的是().A.梯形B.矩形 C.平行四边形D.菱形 答案:B 知识梳
4、理 4.四点共圆的判定定理的推论文字语言 如果四边形的一个外角等于其内对角,那么这个四边形的四个顶点共圆 符号语言 在四边形 ABCD 中,延长 AB 到点 E,若CBE=ADC,则 A,B,C,D 四点共圆 图形语言 作用 证明四点共圆 名师点拨四点共圆的判定定理的推论实质上也是圆内接四边形的判定定理,该定理与圆内接四边形的性质定理的推论互为逆定理.知识梳理【做一做4】如图所示,四边形ABCD的边AB的延长线上有一点E,且BC=BE,D=80,E=50,求证:A,B,C,D四点共圆.证明:BC=BE,E=BCE.EBC=180-2E=80,EBC=D.A,B,C,D四点共圆.典例透析 题型一
5、 题型二 圆内接四边形的性质的应用【例1】如图所示,已知四边形ABCD内接于O,延长AB和DC,且相交于点E,EG平分AED,且与BC,AD分别交于点F,G.求证:CFG=DGF.分析:由于CFG=CEF+FCE,DGF=GAE+AEG,又EG平分AED,则CEF=AEG,故证明CFG=DGF可转化为证明FCE=GAE.证明:EG平分AED,AEG=CEF.四边形ABCD是O的内接四边形,FCE=GAE.DGF=GAE+AEG,CFG=FCE+CEF,CFG=DGF.典例透析 题型一 题型二 反思当已知条件中出现圆内接四边形时,常用圆内接四边形的性质定理来获得角相等或互补,从而为证明角相等、三
6、角形相似或两直线平行等问题创造条件.典例透析 题型一 题型二【变式训练1】如图所示,O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P,E为O上一点,AE=AC.求证:PDE=POC.典例透析 题型一 题型二 证明:如图所示,连接BE,BC.AE=AC,AB为直径,在RtABE和RtABC中,ABE=ABC,AEB=ACB,AE=AC.RtABERtABC,OAE=OAC.又OAC=OCA,OCA=OAE,POC=OAC+OCA=OAC+OAE=EAC.又四边形ACDE内接于O,EAC=PDE,PDE=POC.典例透析 题型一 题型二 证明四点共圆【例2】如图所示,在ABC中,E,D,F分别为AB
7、,BC,AC的中点,且APBC于点P,求证:E,D,P,F四点共圆.分析:连接PF,转化为证明FED=FPC.利用中点构造平行四边形并证明FED=C,利用APBC证明PF=FC,得C=FPC,故可得出FED=FPC.典例透析 题型一 题型二 证明:连接PF,如图所示.APBC,F为AC的中点,PF是RtAPC斜边上的中线.PF=FC,FPC=C.E,F,D分别为AB,AC,BC的中点,EFCD,EDFC.四边形EDCF为平行四边形.FED=C,FPC=FED.E,D,P,F四点共圆.反思判定四点共圆的方法:(1)如果四个点与一定点距离相等,那么这四个点共圆;(2)如果一个四边形的一组对角互补,
8、那么这个四边形的四个顶点共圆;(3)如果一个四边形的一个外角等于它的内对角,那么这个四边形的四个顶点共圆.典例透析 题型一 题型二【变式训练2】在锐角三角形ABC中,AD是BC边上的高,DEAB,DFAC,E,F是垂足,求证:E,B,C,F四点共圆.证明:如图所示,连接EF.DEAB,DFAC,A,E,D,F四点共圆,DEF=DAF.DEF+ACD=DAF+ACD=90,BEF+ACD=BED+DEF+ACD=180.B,E,F,C四点共圆.123451.如图所示,圆内接四边形ABCD的边BA,CD的延长线交于点P,AC,BD交于点E,则图中的相似三角形有().A.2对 B.3对 C.4对 D
9、.5对 解析:PADPCB,PACPDB,ADEBCE,AEBDEC,共4对.答案:C 123452.四边形ABCD内接于O,ABC=237,则D的度数为().A.72B.100 C.110D.120 解析:圆内接四边形的对角互补,A+C=180.又ABC=237,A=40,B=60,C=140.B+D=180,D=180-60=120.答案:D 123453.如图所示,在ABC中,A=60,ACB=70,CF是ABC的边AB上的高,FPBC于点P,FQAC于点Q,则CQP的大小为 .解析:FPBC,FQAC,FPC+FQC=90+90=180.四边形FPCQ内接于圆.CQP=CFP.A=60
10、,ACB=70,B=50.PFB=90-B=40.又CF是ABC的边AB上的高,CFP=90-PFB=50.CQP=CFP=50.答案:50 123454.如图所示,AB为O的直径,C,D是O上的两点,BAC=20，解析:AB为O的直径,ACB=90.ABC=90-BAC=90-20=70.又四边形ABCD内接于O,ABC+ADC=180.ADC=180-ABC=180-70=110.则在ADC中,DAC+DCA=70,DAC=35.答案:35 =,则DAC=.又 =,DAC=DCA.123455.如图所示,O1与O2都经过A,B两点.经过点A的直线CD与O1交于点C,与O2交于点D.经过点B的直线EF与O1交于点E,与O2交于点F.求证:CEDF.证明:连接AB,如图所示.四边形ABEC是O1的内接四边形,BAD=BEC.又四边形ADFB是O2的内接四边形,BAD+BFD=180.BEC+BFD=180.CEDF.