1、第六节几何概型考情展望1.考查与长度、面积、体积等有关的几何概型计算.2.主要以选择题和填空题形式考查，一般为中低档题一、几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型二、几何概型的两个基本特点几何概型的特点几何概型与古典概型的区别是几何概型试验中的可能结果不是有限个，它的特点是试验结果在一个区域内均匀分布，故随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状位置无关，只与该区域的大小有关三、几何概型的概率公式P(A).1某路公共汽车每5分钟发车一次，某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过2分钟的概率是()A.
2、 B. C. D.【解析】试验的全部结果构成的区域长度为5，所求事件的区域长度为2，故所求概率为P.【答案】C2有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是()【解析】P(A)，P(B)，P(C)，P(D)，P(A)P(C)P(D)P(B)【答案】A图10613如图1061，矩形ABCD中，点E为边CD的中点若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自ABE内部的概率等于()A. B.C. D.【解析】“点Q取自ABE内部”记为事件M，由几何概型得P(M).【答案】C4在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，
3、点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCDA1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为_【解析】记“点P到点O的距离大于1”为事件A，则事件A发生时，点P位于以O为球心，以1为半径的半球外又V正方体ABCDA1B1C1D1238，V半球13.所求事件概率P(A)1.【答案】15(2013陕西高考)图1062如图1062，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基战，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是()A1 B.1C2 D.【解析】取面积为测度，则所求
4、概率为P1.【答案】A6(2013福建高考)利用计算机产生01之间的均匀随机数a，则事件“3a10”发生的概率为_【解析】选择区间长度为测度求解几何概型由题意知0a1.事件“3a10”发生时，a且a1，取区间长度为测度，由几何概型的概率公式得其概率P.【答案】考向一 186与长度有关的几何概型在区间上随机取一个数x，则sin xcos x1，的概率是()A.B.C.D.【思路点拨】先化简不等式，确定满足sin1，且在区间内x的范围，根据几何概型利用长度之比可得结论【尝试解答】sin xcos x1，即sin，x，在区间内，满足sin的x，事件sin xcos x1，的概率为P.【答案】B规律方
5、法11.解答本题的关键是确定x的取值范围，这需要用到三角函数的单调性2几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率对点训练已知函数f(x)log2x，若在1,4上随机取一个实数x0，则使得f(x0)1成立的概率为()A.B.C.D.【解析】解不等式log2x1，可得x2，在区间1,4上随机取一实数x，该实数x满足不等式1log2x的概率为.【答案】C考向二 187与面积有关的几何概型如图1063所示，在一个边长为1的正方形AOBC内，曲线y和曲线yx2围成一个叶形图(阴影部分)，向正方
6、形AOBC内随机投一点(该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的)，则所投的点落在叶形图内部的概率是_图1063【思路点拨】利用积分求出阴影部分的面积，根据几何概型公式求解【尝试解答】由得或故点C的坐标为(1,1)，阴影部分的面积为S(x2)dx，而正方形的面积为1，故所求的概率P.【答案】规律方法2(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解.(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域.对点训练如图1064，图1064矩形OABC内的阴影部分是由曲线f(x)sin x(x(0，
7、)及直线xa(a(0，)与x轴围成，向矩形OABC内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为，则a的值是_【解析】sin xdxcos x1cos aa，cos a，a.【答案】考向三 188与体积有关的几何概型在球O内任取一点P，使得P点在球O的内接正方体中的概率是()A.B.C.D.【思路点拨】先根据球的内接正方体的体对角线长即为球的直径求出边长，然后分别求出球和正方体的体积，最后利用几何概型的概率公式进行计算即可【尝试解答】设球的半径为R，则球O的内接正方体的体对角线为2R根据边长为a的正方体的体对角线长为a，可知正方体的体对角线为2R，则正方体的边长为球的体积为，球O的内接正方体的体积为3
8、在球O内任取一点P，使得P点在球O的内接正方体中的概率是【答案】C规律方法3求解几何概型的概率问题，一定要正确确定试验的全部结果构成的区域，从而正确选择合理的测度，进而利用概率公式求解.对点训练一只小蜜蜂在一个棱长为4的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体中心的距离不超过1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率是()A.B.C.D.【解析】正方体的体积为64，与正方体中心的距离不超过1构成半径为1的球，体积为，即P，故选B.【答案】B规范解答之二十二概率与函数相结合的综合问题1个示范例1个规范练(12分)(2014潍坊模拟)已知关于x的二次函数f(x)ax24bx1.(
9、1)设集合P1,2,3和Q1,1,2,3,4，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数yf(x)在区间1，)上是增函数的概率；(2)设点(a，b)是区域内的一点，求函数yf(x)在区间1，)上是增函数的概率【规范解答】(1)函数f(x)ax24bx1的图象的对称轴为直线x，要使f(x)ax24bx1在区间1，)上为增函数，当且仅当a0且1，即2ba.2分若a1，则b1；若a2，则b1或1；若a3，则b1或1.事件包含基本事件的个数是1225.5分而满足条件的数对(a，b)共有3515个所求事件的概率为.6分(2)由(1)知，当且仅当2ba且a0时，函数f(x)ax24bx1在区间1，)
10、上为增函数，8分依条件可知试验的全部结果所构成的区域为构成所求事件的区域为三角形.9分由得交点坐标为，10分所求事件的概率为P.12分【名师寄语】本例中先将f(x)在1，)上为增函数转化为满足条件2ba且a0，然后再联系已知条件，将问题转化为几何概型，实现了知识的逐步迁移，这种转化迁移的思想值得注意，另外，对于二次函数f(x)ax2bxc(a0)，在某一区间m，)上单调递增的充要条件是切勿漏掉a0.已知关于x的二次函数f(x)ax28bx1设点(a，b)是区域内的随机点，求函数yf(x)在区间2，)上是增函数的概率【解】(1)函数f(x)ax28bx1的图象的对称轴为x.要使f(x)ax28bx1在区间2，)上为增函数，当且仅当a0且2，即2ba，且a0时，函数f(x)ax28bx1在区间2，)上为增函数，依条件可知试验的全部结果所构成的区域为：，对应图中的AOC及其内部，其中A(6,0)，C(0,6)而构成所求事件的区域为AOB部分及其内部，如图所示由解得交点为B(4,2)函数在区间2，)上是增函数的概率为P.