1、2021年云南省昆明市“三诊一模”高考数学模拟试卷（文科）（5月份）一、选择题（共12小题）.1已知集合Ax|1x1，B2，1，0，1，2，则AB（）A1，0，1B1，1C1，1D2，1，0，1，22已知向量（0，3），（4，0），则cos，（）ABCD3给出下列三个结论：若复数z（a2a）+ai（aR）是纯虚数，则a1；若复数，则复数z在复平面内对应的点在第二象限；若复数z满足|z|1，则z在复平面内所对应点的轨迹是圆其中所有正确结论的个数是（）A0B1C2D342021年3月28日，云南省人民政府发布关于命名“云南省美丽县城”“云南省特色小镇”的通知，命名16个“云南省美丽县城”和6个“云
2、南省特色小镇”其中这6个云南省特色小镇分别是安宁温泉小镇、腾冲银杏小镇、禄丰黑井古镇、剑川沙溪古镇、瑞丽畹町小镇、德钦梅里雪山小镇若某人计划在今年暑假期间从这6个云南特色小镇中任意选两个去旅游，则其中一个是安宁温泉小镇的概率为（）ABCD5ABC为等腰三角形，且C90，则以A，C为焦点且过点B的椭圆的离心率为（）ABCD6已知等差数列an的公差为d，有下列四个等式：a11；d1；a1+a20；a33若其中只有一个等式不成立，则不成立的是（）ABCD7已知圆周率满足等式如图是计算的近似值的程序框图，图中空白框中应填入（）ABCD8已知平面截球O所得截面圆半径为，该球面上的点到平面的距离最大值为3
3、，则球O的表面积为（）A4B8C16D329智能主动降噪耳机工作的原理如图1所示，是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪音，然后通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波抵消噪音已知某噪音的声波曲线在上大致如图2所示，则通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波曲线可以为（）ABCD10已知某物种经过x年后的种群数量y近似满足冈珀茨模型：，当x0时，y的值表示2021年年初的种群数量若t（tN*）年后，该物种的种群数量不超过2021年初种群数量的，则t的最小值为（）（参考值：ln31.09）A9B10C11D1211设F1，F2是双曲线的左，右焦点，点P在C上，若，且|OP|2a（O为坐标原点），则C的渐
4、近线方程为（）AyxBCDy2x12已知数列an的前n项和为Sn，a11，Sn+Sn14n2（n2，nN*），则a100（）A414B406C403D393二、填空题（共4小题）.13若x，y满足约束条件，则zx+2y的最小值为 14已知an是等比数列，bn是等差数列，a2a84a5，b5a5，则b2+b8 15甲、乙两组数据如表所示，其中a，bN*，若甲、乙两组数据的平均数相等，要使乙组数据的方差小于甲组数据的方差，则（a，b）为 （只需填一组）甲124711乙12ab1016已知函数两个不同的零点，则实数a的取值范围是 三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题
5、为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c2，A60，D为BC边上一点，BD2CD（1）若CD1，求sinC；（2）若ABC的面积为，求AD的长18如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，ABBC，平面BCC1B1平面ABC，四边形BCC1B1为菱形（1）证明：B1C平面ABC1；（2）若BC2，AB1，BCC160，求四棱锥C1ABB1A1的体积19我国脱贫攻坚战取得全面胜利，现行标准下农村贫困人口全部脱贫，消除了绝对贫困某村40户贫困家庭在扶贫工作组的帮助下于2017年全面脱贫，该工作组
6、为了了解脱贫家庭的收入，消费支出，食品支出的关系，在这些脱贫家庭中利用简单随机抽样方法抽取了8户，调查统计这8户家庭每户2019年的年收入x，消费支出y，食品支出z（单位：千元），整理数据（xi，yi）（i1，2，8）得到下面的折线图，由数据（yi，zi）（i1，2，8）得到如表家庭（i）12345678消费支出（y）2730333537404244食品支出（z）910111312111212（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的回归方程（精确到0.01），并解释的现实生活意义；（2）恩格尔系数，是食品支出额占家庭消费支出总额的比重通常一个家庭收入越少，家庭收入中（
7、或总支出中）用来购买食物的比重越大；一个家庭收入越多，家庭收入中（或总支出中）用来购买食物的比重越小，所以该系数是衡量居民生活水平的有效指标根据联合国粮农组织提出的标准，恩格尔系数在59%以上为贫困，50%59%为温饱，40%50%为小康，30%40%为富裕，低于30%为最富裕根据上述样本数据，请估计该村脱贫家庭中达到最富裕的家庭户数参考数据：，附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，20已知函数f（x）mx3+n，曲线yf（x）在点处的切线方程为3x3y+10（1）求实数m，n的值；（2）令g（x）f（x）+ax23a2x，函数g（x）的极大值与极小值之差等于，求实数a的值21已
8、知抛物线E：y22px（p0）的焦点为F，准线与x轴交点为T，点G在E上且GFx轴，GTF的面积为（1）求E的方程；（2）已知点M（a，0），N（2a，0），R（4a，0）（a0），点A是E上任意一点（异于顶点），连接AM并延长交E于另一点B，连接BN并延长交E于另一点C，连接CR并延长交E于另一点D，当直线AB的斜率存在时，证明：直线AB与CD的斜率之比为定值（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答并用2B铅笔在答题卡选考题区域内把所选的题号涂黑如果多做，则按所做的第一题计分选修4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1：（t为参数），以坐标原点O为
9、极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2：2acos（a0）（1）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）设射线与C1相交于A，B两点，与C2相交于M点（异于O），若|OM|AB|，求a选修4-5：不等式选讲23已知关于x的不等式2a+3b+4c|x|+|x1|（xR）恒成立（1）求2a+3b+4c的最大值；（2）当a，b，c，2a+3b+4c取得最大值时，证明：+3参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合Ax|1x1，B2，1，0，1，2，则AB（）A1，0，1B1，1C1，1D2，1，0，1，2解
10、：Ax|1x1，B2，1，0，1，2，AB1，0，1故选：A2已知向量（0，3），（4，0），则cos，（）ABCD解：向量（0，3），（4，0），（4，3），cos，故选：A3给出下列三个结论：若复数z（a2a）+ai（aR）是纯虚数，则a1；若复数，则复数z在复平面内对应的点在第二象限；若复数z满足|z|1，则z在复平面内所对应点的轨迹是圆其中所有正确结论的个数是（）A0B1C2D3解：若复数z（a2a）+ai（aR）是纯虚数，则，解得a1，故正确；因为复数1+i，则复数z在复平面内对应的点（1，1）在第一象限，故错误；设zx+yi（x，yR），因为复数z满足|z|1，所以x2+y21，即
11、z在复平面内所对应点的轨迹是圆，故正确；综上所述，所有正确结论的个数是2个，故选：C42021年3月28日，云南省人民政府发布关于命名“云南省美丽县城”“云南省特色小镇”的通知，命名16个“云南省美丽县城”和6个“云南省特色小镇”其中这6个云南省特色小镇分别是安宁温泉小镇、腾冲银杏小镇、禄丰黑井古镇、剑川沙溪古镇、瑞丽畹町小镇、德钦梅里雪山小镇若某人计划在今年暑假期间从这6个云南特色小镇中任意选两个去旅游，则其中一个是安宁温泉小镇的概率为（）ABCD解：这6个云南省特色小镇分别是安宁温泉小镇、腾冲银杏小镇、禄丰黑井古镇、剑川沙溪古镇、瑞丽畹町小镇、德钦梅里雪山小镇某人计划在今年暑假期间从这6个
12、云南特色小镇中任意选两个去旅游，基本事件总数n，其中一个是安宁温泉小镇包含的基本事件个数m5，则其中一个是安宁温泉小镇的概率为P故选：A5ABC为等腰三角形，且C90，则以A，C为焦点且过点B的椭圆的离心率为（）ABCD解：由题意ABC为等腰三角形，且C90，可知：ABC是等腰直角三角形，设：BC2c，AC2c，AB2由椭圆的定义可知：2+2c2a，则椭圆的离心率：故选：D6已知等差数列an的公差为d，有下列四个等式：a11；d1；a1+a20；a33若其中只有一个等式不成立，则不成立的是（）ABCD解：假设成立，则a11，d1，a1+a21+010，不成立，a323，不成立；故不可能同时成立
13、，则一定同时成立，即a1+a20，a33，所以，解得d2，a11，所以不成立故选：B7已知圆周率满足等式如图是计算的近似值的程序框图，图中空白框中应填入（）ABCD解：模拟程序的运行过程知，k1，S0，满足条件kN；S1，k2，满足条件kN；S1，k3，满足条件kN；S1+，k4，满足条件kN；S1+.，kn，根据以上分析判断空白处应填写SS故选：D8已知平面截球O所得截面圆半径为，该球面上的点到平面的距离最大值为3，则球O的表面积为（）A4B8C16D32解：如图，设平面截球O所得小圆为圆G，圆心为G，由题意可得，PG3，AG，再设球的半径为R，则，解得：R2球O的表面积为4R24416故选
14、：C9智能主动降噪耳机工作的原理如图1所示，是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪音，然后通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波抵消噪音已知某噪音的声波曲线在上大致如图2所示，则通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波曲线可以为（）ABCD解：根据曲线在上大致图象，可得Asin（0+）1，A2再根据五点法作图，可得+，故函数的解析式为y2sin（x+），故选：D10已知某物种经过x年后的种群数量y近似满足冈珀茨模型：，当x0时，y的值表示2021年年初的种群数量若t（tN*）年后，该物种的种群数量不超过2021年初种群数量的，则t的最小值为（）（参考值：ln31.09）A9B10C11D12解：由题
15、意可知8k，即，10.9故选：C11设F1，F2是双曲线的左，右焦点，点P在C上，若，且|OP|2a（O为坐标原点），则C的渐近线方程为（）AyxBCDy2x解：设|PF1|m，|PF2|n，由双曲线的定义可得|mn|2a，因为PO为PF1F2的中线，所以2+，两边平方，得422+2+2，即为16a2m2+n2+2mncos（mn）2+3mn4a2+3mn，解得mn4a2，在PF1F2中，4c2m2+n22mncos（mn）2+mn4a2+4a2，所以ca，所以ba，所以双曲线的渐近线方程为yx故选：A12已知数列an的前n项和为Sn，a11，Sn+Sn14n2（n2，nN*），则a100（）
16、A414B406C403D393解：根据题意，数列an满足Sn+Sn14n2，（n2）则有Sn1+Sn24（n1）2，（n3）：SnSn2an+an18n4，（n3），则有a2+a320，a4+a536，a98+a998994788，故有（a2+a3+a4+a5a98+a99）20+36+8n4+78819796，则S99a1+（a2+a3+a4+a5a98+a99）19797，对于Sn+Sn14n2，当n100时，有S100+S992S99+a10040000，则a100400002S99406；故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13若x，y满足约束条件，则zx+2y的最
17、小值为1解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，1），由zx+2y，得y，由图可知，当直线y过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为1+21故答案为：114已知an是等比数列，bn是等差数列，a2a84a5，b5a5，则b2+b88解：设等比数列an的公比为q，由a2a84a5，得，即a54b5a54，又bn是等差数列，b2+b82b5248故答案为：815甲、乙两组数据如表所示，其中a，bN*，若甲、乙两组数据的平均数相等，要使乙组数据的方差小于甲组数据的方差，则（a，b）为（6，6）（其它答案：（5，7），（7，5），（4，8），（8，4）（只需填一组）甲124711乙12ab
18、10解：设甲，乙两组数据的平均数分别为x1，x2，方差分别为，因为甲，乙两组数据的平均数相等，所以1+2+4+7+111+2+a+b+10，解得a+b12，x1x25，因为（15）2+（25）2+（45）2+（75）2+（115）2，（15）2+（25）2+（a5）2+（b5）2+（105）2，因为，且a，bN*，所以满足条件的（a，b）可以是（6，6），（5，7），（7，5），（4，8），（8，4）故答案为：（6，6）（其它答案：（5，7），（7，5），（4，8），（8，4）16已知函数两个不同的零点，则实数a的取值范围是解：函数两个不同的零点，等价于方程在（0，+）上两个不同的根，axex
19、lnx+x有两个不同的根，令txex，则lntlnx+x，因为txex在（0，+）上单调递增，所以t0，故方程变形为atlnt，即a在（0，+）上两个不同的根，令g（t），则g（t），令g（t）0，则te，当0xe时，g（t）0，则g（t）单调递增，当xe时，g（t）0，则g（t）单调递减，所以当te时，g（t）取得最大值，当x0时，g（t），当t+时，g（t）0，作出g（t）的图象如图所示，由题意可知，函数yg（t）与ya的图象有两个不同的交点，由图象可知，实数a的取值范围是故答案为：三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22
20、、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c2，A60，D为BC边上一点，BD2CD（1）若CD1，求sinC；（2）若ABC的面积为，求AD的长解：（1）依题意得BD2，则BC3，在ABC中，由正弦定理得：，即，所以（2）因为，所以b4，由BD2CD可得，则+，所以18如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，ABBC，平面BCC1B1平面ABC，四边形BCC1B1为菱形（1）证明：B1C平面ABC1；（2）若BC2，AB1，BCC160，求四棱锥C1ABB1A1的体积【解答】（1）证明：因为平面BCC1B1平面ABC，平面BCC
21、1B1平面ABCBC，又ABBC，AB平面ABC，所以AB平面BCC1B1，又B1C平面BCC1B1，所以ABB1C，又因为四边形BCC1B1为菱形，所以B1CBC1，而ABBC1B，且AB、BC1平面ABC1，所以B1C平面ABC1（2）解：过C1作C1DBC，垂足为D，四边形BCC1B1为菱形，BCC160，所以BCC1是正三角形，所以D为BC中点，因为平面BCC1B1平面ABC，平面BCC1B1平面ABCBC，又C1DBC，C1D平面BCC1B1，所以C1D平面ABC，因为BC2，BCC160，所以，由AB1，BC2，ABC190，所以19我国脱贫攻坚战取得全面胜利，现行标准下农村贫困人
22、口全部脱贫，消除了绝对贫困某村40户贫困家庭在扶贫工作组的帮助下于2017年全面脱贫，该工作组为了了解脱贫家庭的收入，消费支出，食品支出的关系，在这些脱贫家庭中利用简单随机抽样方法抽取了8户，调查统计这8户家庭每户2019年的年收入x，消费支出y，食品支出z（单位：千元），整理数据（xi，yi）（i1，2，8）得到下面的折线图，由数据（yi，zi）（i1，2，8）得到如表家庭（i）12345678消费支出（y）2730333537404244食品支出（z）910111312111212（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的回归方程（精确到0.01），并解释的现实生活
23、意义；（2）恩格尔系数，是食品支出额占家庭消费支出总额的比重通常一个家庭收入越少，家庭收入中（或总支出中）用来购买食物的比重越大；一个家庭收入越多，家庭收入中（或总支出中）用来购买食物的比重越小，所以该系数是衡量居民生活水平的有效指标根据联合国粮农组织提出的标准，恩格尔系数在59%以上为贫困，50%59%为温饱，40%50%为小康，30%40%为富裕，低于30%为最富裕根据上述样本数据，请估计该村脱贫家庭中达到最富裕的家庭户数参考数据：，附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，解：（1）由题意可知，所以，故，所以y关于x的回归方程为，的现实意义为年收入每增加1千元，估计消费支出增加
24、0.68千元；（2）由题意可知，8户脱贫家庭的恩格尔系数如下表所示：家庭（i）12345678恩格尔系数33.3%33.3%33.3%37.1%32.4%27.5%28.6%27.2%所以样本中达到最富裕的家庭有3个，估计该村脱贫家庭中达到最富裕的家庭户数为（户）20已知函数f（x）mx3+n，曲线yf（x）在点处的切线方程为3x3y+10（1）求实数m，n的值；（2）令g（x）f（x）+ax23a2x，函数g（x）的极大值与极小值之差等于，求实数a的值解：（1）f（x）3mx2，由题意得即解得（2）由（1）得，所以，g（x）x2+2ax3a2（x+3a）（xa），当a0时，g（x）0，则g（
25、x）无极值，与题设矛盾，所以a0当a0时，g（x）在（，3a），（a，+）上单调递增，在（3a，a）单调递减所以g（x）极大值为g（3a）9a3+1，极小值为，所以，解得当a0时，g（x）在（，a），（3a，+）上单调递增，在（a，3a）单调递减所以g（x）极大值为，极小值为g（3a）9a3+1，所以，解得综上所述，实数a的值为21已知抛物线E：y22px（p0）的焦点为F，准线与x轴交点为T，点G在E上且GFx轴，GTF的面积为（1）求E的方程；（2）已知点M（a，0），N（2a，0），R（4a，0）（a0），点A是E上任意一点（异于顶点），连接AM并延长交E于另一点B，连接BN并延长交E于
26、另一点C，连接CR并延长交E于另一点D，当直线AB的斜率存在时，证明：直线AB与CD的斜率之比为定值解：（1）由题意得|TF|p，因为点G在E上且GFx轴，所以|GF|p，则，解得，所以E的方程为y2x（2）证明：设A（m2，m）（m0），直线AB的方程为xty+a，代入E的方程，得y2tya0，所以myBa，所以，所以，同理可得C（4m2，2m），所以，则，所以直线AB与CD的斜率之比为定值2（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答并用2B铅笔在答题卡选考题区域内把所选的题号涂黑如果多做，则按所做的第一题计分选修4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy中，已知曲线
27、C1：（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2：2acos（a0）（1）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）设射线与C1相交于A，B两点，与C2相交于M点（异于O），若|OM|AB|，求a解：（1）已知曲线C1：（t为参数），转换为直角坐标方程为：，根据转换为曲线C1的极坐标方程为：；曲线C2：2acos（a0）根据转换为曲线C2的直角坐标方程为：（xa）2+y2a2（2）将代入，得，即，解得11，所以又，而|OM|AB|，所以选修4-5：不等式选讲23已知关于x的不等式2a+3b+4c|x|+|x1|（xR）恒成立（1）求2a+3b+4c的最大值；（2）当a，b，c，2a+3b+4c取得最大值时，证明：+3【解答】（1）解：|x|+|x1|，作出函数f（x）|x|+|x1|的图象如图：由图可知，f（x）的最小值为1，不等式2a+3b+4c|x|+|x1|（xR）恒成立，2a+3b+4c的最大值为1；（2）证明：a，b，c，+（+）（2a+1）+（3b1）+（4c+2）（）9当且仅当a0，b，c时等号成立
