1、-1-2.5 相交弦定理目标导航 1.能结合具体图形,准确表述相交弦定理.2.掌握相交弦定理,并能利用相交弦定理进行有关的证明和计算.知识梳理 相交弦定理文字语言 圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等 符号语言 若O 的两条弦 AB 和 CD 相交于点 P,则PAPB=PCPD 图形语言 作用 证明线段成比例 知识梳理 名师点拨1.由相交弦定理可得推论:垂直于弦的直径平分这条弦,且弦的一半是直径被弦分成的两条线段的比例中项.该推论又称为垂径定理.2.相交弦定理、切割线定理和割线定理可统一记忆成一个定理:过圆内或圆外一点作圆的两条割线,则这两条割线被圆截出的两条弦被定点分(内分或外分
2、)成两条线段长的积相等(至于切线可看成是两个交点重合的割线).两条线段的长的积是常数PAPB=|R2-d2|,其中d为定点P到圆心O的距离.若点P在圆内,dR,则该常数为d2-R2.使用以上定理时应注意每条线段的两个端点一个是公共点,另一个是与圆的交点.知识梳理【做一做】如图所示,O的两条弦AB与CD相交于点E,EC=1,DE=4,AE=2,则BE等于().A.1 B.2 C.3 D.4 解析:AEEB=DEEC,2EB=41,EB=2.答案:B 典例透析 题型一 题型二 计算问题【例1】如图所示,过O内一点A作直线,交O于B,C两点,且ABAC=64,OA=10,则O的半径r=_.解析:如图
3、所示,作直线 OA 交O 于 E,F 两点,则 AE=r-10,AF=r+10.由相交弦定理,得(r-10)(r+10)=64.解得 r1=2 41,2=2 41(舍去).所以 r=2 41.答案:2 41典例透析 题型一 题型二 反思相交弦定理的结论是线段成比例,也可以看成等式,因此利用相交弦定理既可以得到成比例线段,又可以建立方程来解决计算问题,如本题中,利用相交弦定理列出关于r的方程.典例透析 题型一 题型二【变式训练 1】如图所示,点 B 在O 上,M 为直径 AC 上一点,BM 的延长线交O 于点 N,BNA=45,若O 的半径为2 3,=3,则的长为_.解析:OA=2 3,=3,O
4、M=2.AM=OA-OM=2 3 2=2(3 1),CM=OC+OM=2 3+2=2(3+1).BNA=45,BOA=2BNA=90.BM=2+2=(2 3)2+22=4.AC 与 BN 相交于点 M,MNBM=CMAM.4MN=2(3+1)2(3 1).=2.答案:2 典例透析 题型一 题型二 证明问题【例2】如图所示,已知ABC,BAC的平分线交BC于点D,交其外接圆O于点E,连接BE,求证:AD2=ABAC-BDDC.分析:由AE与BC是O的相交弦,得ADDE=BDDC,代入求证结论得AD2=ABAC-ADDE,化为AD(AD+DE)=ABAC,即ADAE=ABAC,从而可转化为证明AB
5、EADC.典例透析 题型一 题型二 证明:AD平分BAC,BAE=DAC.又ACB=AEB,ABEADC,=,AC=ADAE.又AE=AD+DE,ADAE=AD(AD+DE)=AD2+ADDE,ABAC=AD2+ADDE.又AE和BC是O的相交弦,ADDE=BDDC,ABAC=AD2+BDDC,AD2=ABAC-BDDC.反思已知条件或图中出现圆内相交弦证明线段成比例等问题时,常用到相交弦定理.一般地,仅靠相交弦定理不能完成证明,还要与其他定理或三角形相似(如本题)等综合解决.典例透析 题型一 题型二【变式训练2】如图所示,在两圆的公共弦AB上,任取一点G,过点G作直线交一圆于点C,D,交另一
6、圆于点E,F.求证:CGED=EGCF.证明:AB 与 CD 是O1 的相交弦,AGBG=CGDG.同理在O2 中,AGBG=EGFG.CGDG=EGFG,=,-=-.=,ED=EGCF.123451.如图所示,O的两条弦AB,CD相交于点E,AC和DB的延长线交于点P,下列结论成立的是().A.PCCA=PBBD B.CEAE=BEED C.CECD=BEBA D.CEED=BEEA 答案:D 123452.圆内两弦相交,其中一条弦长为8 cm,且被交点平分,另一条弦被交点分为14两部分,则另一条弦长为().A.2 cm B.8 cmC.10 cmD.16 cm 解析:设所求弦长为5k cm
7、,则由相交弦定理得42=k4k,解得k=2(k=-2舍去),5k=52=10,故所求弦长为10 cm.答案:C 123453.如图所示,AC 为O 的直径,OBAC,弦 BN 交 AC 于点 M.若 OC=3,=1,则=_.解析:在 RtBMO 中,BOM=90,OB=OC=3,OM=1,BM=2+2=3+1=2.又 AC 与 BN 相交于点 M,BMMN=CMMA,2MN=(OC+OM)(OA-OM),2MN=(3+1)(3 1),=1.答案:1 123454.如图所示,已知 AB 和 AC 是圆的两条弦,过点 B 作圆的切线与 AC的延长线相交于点 D.过点 C 作 BD 的平行线与圆相交
8、于点 E,与 AB相交于点 F,AF=3,FB=1,EF=32,则线段的长为_.解析:由相交弦定理,得 AFFB=EFFC,FC=2.由AFCABD,可知 =,BD=83.由切割线定理,得 DB2=DCDA.又由 =34,得DA=4CD,4DC2=DB2=649,=43.答案:43123455.如图所示,在半径为 7的O 中,弦 AB,CD 相交于点 P,PA=PB=2,PD=1,求圆心 O 到弦 CD 的距离.12345解:由相交弦定理,得PAPB=PCPD.又PA=PB=2,PD=1,则PC=4,CD=PC+PD=5.如图所示,过圆心O作CD的垂线OE交CD于点E,则E为CD的中点,所以 OE=2-2 2=7-254=32,即圆心 O 到弦 CD 的距离为 32.