1、高考资源网（） 您身边的高考专家2013年长春市高中毕业班第一次调研测试数学试题卷(理科)考生须知：1. 本试卷分试题卷和答题卡，满分150分，考试时间120分钟.2. 答题前，在答题卡指定位置上填写学校、班级、姓名和准考证号.3. 所有答案必须写在答题卡上，写在试卷上无效.4. 考试结束，只需上交答题卡.第卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填写在答题纸上）1. 已知集合，则A. B. C. D. 2. 已知复数（是虚数单位），则A. B. C. D. 3. 如图的程序框图，如果输入三个实数
2、a，b，c，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的A. ? B. ? C. ? D. ?4. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为A. B. C. D. 5. 设，则、的大小关系为A. B. C. D. 6. 在正项等比数列中，已知，则A. 11B. 12C. 14D. 167. 直线与相交于点，动点、分别在直线与上且异于点，若与的夹角为，则的外接圆的面积为A. B. C. D. 8. 给定命题：函数和函数的图像关于原点对称；命题：当时，函数取得极小值. 下列说法正确的是A. 是假命题B. 是假命题C. 是真命题D. 是真命题9. 若两个正实数满
3、足，并且恒成立，则实数的取值范围是A. B. C. D. 10. 已知直线与圆交于不同的两点、，是坐标原点，且有，那么的取值范围是A. B. C. D. 11. 如图，等腰梯形中，且，设，以、为焦点，且过点的双曲线的离心率为；以、为焦点，且过点的椭圆的离心率为，则A. 当增大时，增大，为定值B. 当增大时，减小，为定值C. 当增大时，增大，增大D. 当增大时，减小，减小12. 对于非空实数集，记. 设非空实数集合、满足：，且若，则. 现给出以下命题：对于任意给定符合题设条件的集合、，必有；对于任意给定符合题设条件的集合、，必有；对于任意给定符合题设条件的集合、，必有； 对于任意给定符合题设条件
4、的集合、，必存在常数，使得对任意的，恒有，其中正确的命题是A. B. C. D. 第卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题纸中的横线上).13. 若实数满足，则的取值范围是_.14. 中，、分别是角、的对边，若，且，则的值为_.15. 若一个正四面体的表面积为，其内切球的表面积为，则_.16. 定义在上的函数满足，当时，则函数在上的零点个数是_.三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步
5、骤）.17. （本小题满分12分）函数的部分图像如图所示. 求函数的解析式； 当时，求的取值范围. 18. （本小题满分12分）数列的前项和是，且. 求数列的通项公式； 记，数列的前项和为，证明：.19. （本小题满分12分）如图，在三棱柱中，侧面底面， ，为中点 证明：平面； 求直线与平面所成角的正弦值； 在上是否存在一点，使得平面?若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由.20. （本小题满分12分）已知椭圆C:的离心率为，其左、右焦点分别为、，点是坐标平面内一点，且，其中为坐标原点. 求椭圆C的方程； 如图，过点，且斜率为的动直线交椭圆于、两点，在轴上是否存在定点，使以为直径的圆恒过这个
6、点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由21. （本小题满分12分）已知函数，且. 若曲线在点处的切线垂直于轴，求实数的值； 当时，求函数的最小值； 在的条件下，若与的图像存在三个交点，求的取值范围.请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修41：几何证明选讲.如图，已知O和M相交于A、B两点，AD为M的直径，直线BD交O于点C，点G为中点，连结AG分别交O、BD于点E、F，连结CE 求证：； 求证： 23. （本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程选讲.已知曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴正半轴建立平面直
7、角坐标系，设直线的参数方程为（为参数）. 求曲线的直角坐标方程与直线的普通方程； 设曲线与直线相交于、两点，以为一条边作曲线C的内接矩形，求该矩形的面积.24. （本小题满分10分）选修45：不等式选讲.设函数. 当时，求函数的定义域； 若函数的定义域为，试求的取值范围.2013年长春市高中毕业班第一次调研测试数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. B2. B3. A4. A5. A6. C 7. B 8. B9. D10. C11. B12. C简答与提示：1. B由可得，又中，则即，则，因此，故选B.2. B 由题意可知：，因此，化简得，
8、则，由可知，仅有满足，故选B.3. A由于要取，中最大项，输出的应当是，中的最大者，所以应填比较与大小的语句，故选A.4. A 该几何体由底半径为1的半圆锥与底面为边长等于2正方形的四棱锥组成，且高都为，因此该几何体体积为 ，故选A.5. A由题意可计算得；，综上，故选A.6. C由与可得，因此，所以，故选C.7. B由题意中，由正弦定理可知，由此，故选B.8. B命题中 与关于原点对称，故为真命题；命题中取极小值时，则，故为假命题，则为假命题，故选B.9. D，当且仅当，即时等号成立. 由恒成立，则，解得，故选D.10. C当时，三点为等腰三角形的三个顶点，其中，从而圆心到直线的距离为1，此
9、时；当时，又直线与圆存在两交点，故，综上的取值范围为，故选C. 11. B由题可知：双曲线离心率与椭圆离心率设则，时，当增大，减小，导致减小. 故选B.12. C对于，假设，则，则，因此错误；对于，假设，则，又，则，因此也错误，而和都是正确的，故选C.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 14. 315. 16. 604简答与提示：13. 由题可知，即为求区域内的点与点连线斜率的取值范围，由图可知.14. 由正弦定理与余弦定理可知，可化为，化简可得，又且，可计算得.15. 设正四面体棱长为，则正四面体表面积为，其内切球半径为正四面体高的，即，因此内切球表面积为，则.16.
10、由，可知，则，所以是以10为周期的周期函数. 在一个周期上，函数在区间内有3个零点，在区间内无零点，故在一个周期上仅有3个零点，由于区间中包含201个周期，又时也存在一个零点，故在上的零点个数为.三、解答题（本大题必做题5小题，三选一中任选1小题，共70分）17. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查三角函数解析式的求法与三角函数图像与性质的运用，以及三角函数的值域的有关知识.【试题解析】解：(1)由图像得，所以，则；将代入得，而，所以，因此函数；(6分)(2) 由于，所以，所以的取值范围是.( 12分)18. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查运用数列基础知识求解数列的
11、通项公式，其中还包括对数的运算与裂项求和的应用技巧.【试题解析】解：(1)由题 -可得，则.(3分)当时 ，则，则是以为首项，为公比的等比数列，因此.(6分)(2)，(8分)所以，(10分) (12分)19. (本小题满分12分)【命题意图】本小题以斜三棱柱为考查载体，考查平面几何的基础知识.同时题目指出侧面的一条高与底面垂直，搭建了空间直角坐标系的基本架构.本题通过分层设计，考查了空间直线垂直，以及线面成角等知识，考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.【试题解析】解：(1) ，且O为中点，又侧面底面，交线为，平面.(4分)xA1BCOC1B1yzA(2) 如图，以O为原点，分别
12、以OB、OC、所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则由题可知，.，令平面的法向量为，则，而，可求得一个法向量，所以，故直线与平面所成角的正弦值为.(8分)(3) 存在点为线段的中点.证明：连结交于点，连结、，则为的中点，从而是的一条中位线，而平面，平面，所以平面，故的中点即为所求的点. (12分)20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题考查椭圆的标准方程，直线和椭圆的综合应用，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力.【试题解析】解：(1)设，由可知 (1分)又，即 (2分)代入得：. 又，可得，故所求椭圆方程为(4分)(2)设直线，代入，有.设，则. (6分)若轴上存在定点满足题设
13、，则， (9分)由题意知，对任意实数都有恒成立， 即对成立.解得， (11分)在轴上存在定点，使以为直径的圆恒过这个定点. (12分)21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函数的单调性、极值等，以及函数与不等式知识的综合应用，考查学生解决问题的综合能力.【试题解析】解：由题意得：；(2分)(1) 由曲线在点处的切线垂直于轴，结合导数的几何意义得，即，解得；(4分)(2) 设，则只需求当时，函数的最小值.令，解得或，而，即.从而函数在和上单调递增，在上单调递减. 当时，即时，函数在上为减函数，；当，即 时，函数的极小值即为其在区
14、间上的最小值， . 综上可知，当时，函数的最小值为；当时，函数的最小值为.(8分)(3) 令，显然，则. 构造函数，. 令得，可知：在上单调递减，且，当无限减小时，保持恒负并无限接近于0，其图像在下方无限靠近轴负半轴；在上单调递增，当无限接近于0时，无限增大，其图像在左侧向上无限接近轴正半轴，由于极小值，所以在内存在一个零点；在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，因此在处取得极大值，在处取得极小值. 当并无限靠近0时，无限减小，其图像无限靠近轴负半轴，当无限增大时，也由负值变为正值无限增大，在区间内也存在一个零点. 函数的大致图像如图所示：根据条件与的图像存在三个交点，即方程有三个解，直线
15、与函数的图像有三个公共点. 因此或，即或，从而的取值范围是. (12分)22. (本小题满分10分) 选修4-1：几何证明选讲【命题意图】本小题主要考查平面几何中三角形相似的判定与性质，以及圆中角的性质等知识.【试题解析】证明(1)：已知AD为M的直径，连接，则，由点G为弧BD的中点可知，故，所以有，即.(5分)(2)由(1)知，故，所以，即 (10分)23. (本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程选讲【命题意图】本小题主要考查坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程向直角坐标方程转化，参数方程向普通方程转化，以及圆内几何图形的性质等.【试题解析】解：(1)对于：由，得，进而；对于：由（为参数），得，即.(5分)(2)由(1)可知为圆，且圆心为，半径为2，则弦心距，弦长，因此以为边的圆的内接矩形面积. (10分)24. (本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式的解法及性质等内容.【试题解析】解：(1) 当时，由得或或，解得或即函数的定义域为x|或.(5分)(2) 由题可知恒成立，即恒成立，而，所以，即的取值范围为.(10分) 高考资源网版权所有，侵权必究！
