1、“合情推理”教案、教案说明及点评 颜波（新疆兵团第八师石河子一中） 教 案一教材分析1教材的地位和作用推理与证明思想贯穿于高中数学的整个知识体系，但是作为一章内容出现在高中数学教材中尚属首次。推理与证明是新课标教材的亮点之一，本章内容将归纳与推理的一般方法进行了必要的总结和归纳，同时也对后继知识的学习起到引领的作用.教材的设计还原了数学的本源、本质，是对“观察发现、归纳类比、抽象概括、演绎证明”等数学思维方法的总结与归纳，使已学过得的数学知识和思想方法系统化、明晰化，操作化.紧密地结合了已学过的数学实例和生活实例，避免空泛地讲数学思想方法，以变分散为集中，变隐性为显性的方式学习了推理和证明，是
2、知识、方法、思维和情感的融合与促进，能让学生充分体会数学的发生、发展.2课时划分合情推理的教学分两个课时完成：第一课时内容为归纳推理;第二课时内容为类比推理.二、教学目标1知识技能目标理解归纳推理的概念，了解归纳推理的作用，掌握归纳推理的一般步骤，会利用归纳进行一些简单的归纳推理.2过程方法目标学生通过积极主动地参与课堂活动，经历归纳推理概念的获得过程，了解归纳推理的含义;通过欣赏一些伟大猜想的产生过程，体会并认识利用归纳推理能猜测和发现一些新事实、得出新结论的作用并明确归纳推理的一般步骤；通过具体解题，感受归纳推理探索和提供解决问题的思路和方向的作用；通过自主学习归纳推理的一般方法，建构归纳
3、推理的思维方式.3情感态度，价值观目标学生通过主动探究、合作学习、相互交流，培养不怕困难、勇于探索的优良作风，增强了数学应用意识；通过体会成功，形成学习数学知识、了解数学文化的积极态度. 三、教学重点、难点 重点：归纳推理的含义与作用难点：利用归纳法进行简单的合情推理四、教法与教具选择教学方法：启发发现法、课堂讨论法。教具：多媒体、粉笔、黑板。理论根据：启发发现法就是利用归纳法基本步骤开展教学，即在教学过程中利用合适的资源启发学生主动自我发现，自我猜想，自我归纳.因为学生拥有自己的知识、经验、灵感，是主动和富有创造性的，所以采用启发发现法，往往能使学生在课堂活动中表现出浓厚的学习兴趣.而学生之
4、间的讨论，师生之间的讨论不仅能培养学生的合作团队意识，对于发现新结论也是非常重要的，因此在教学过程中要倡导学生参与到课堂活动中来，形成生生互动，师生互动的局面.五、教学过程环节教 学 程 序师生互动设计意图创设情景1、 引出推理的概念：推理是人们思维活动的过程，是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程。（2分钟）2、 日常生活中，推理。例如:医生诊断病人的病症，警察侦破案件，气象专家预测天气的可能状态，考古学家推断遗址的年代，数学家论证命题的真伪等等。3、 生活中我们遇到这样的情形，你能得到怎样的推理？4、 看见柳树发芽，冰雪融化。5、 看见乌云密布，燕子低飞。6、 看见花儿凋谢
5、，树叶变黄。（6分钟）学生踊跃回答问题，教师通过评价学生推测的结论引入推理的概念。自然合理地提出问题，让学生体会“数学来源于生活”。创造和谐积极的学习气氛。为课堂结尾的“数学是生动活泼的，发现问题是数学学习的一个重要目的”埋下伏笔。授新课数学猜想1、 设f(n)=n2+n+41,观察下列数据，你能猜到什么结论？2、由此猜想，n为任何正整数时f(n)=n2+n+41都是质数3、n=40呢？n=41呢？(12分钟)4、引出归纳推理定义，（板书课题）5、归纳推理的一般步骤.(14分钟)先引导学生发现推理的结论都是通过猜想得到的。再引导学生观察推理结论是否正确，引出归纳推理定义及一般步骤给出例子让学生
6、通过直观感知、观察、归纳做出合理分析，并抽象概括出合情推理和归纳推理的概念，完成由浅入深、由易到难、由特殊到一般的思维飞跃。通过归纳推理的例子的比较分析，学生理解消化归纳推理的概念。组织学生进行分组讨论，引导学生对归纳推理的应用进行举例。分组讨论降低了概念学习的难度，使学生能够更多的围绕重点展开探索和研究。学生的主体意识在这里获得充分的体现。感受归纳推理的魅力，重点介绍两大猜想（同时指出）归纳推理所得的结论仅是一种猜想，未必可靠，还需证明。1、费马猜想。例如，介绍费马猜想已知都是质数，运用归纳推理你能得出什么样的结论？半个世纪后欧拉发现说明了什么？后来人们又发现都是合数，你们又能得到什么样的结
7、论？(18分钟)2介绍歌德巴赫猜想 观察下列等式3+7=103+17=2013+17=30你们能从中发现什么规律？如果换一种写法呢？10=3+720=3+1730=13+17这个规律对于其他偶数是否成立？（25分钟）介绍其他学科中运用归纳推理得到的重要发现三、归纳推理的作用1发现新事实：应用归纳推理可以发现新事实，获得新结论，下面是一个数学中的例子。观察：1+3=4=22，1+3+5=9=32，1+3+5+7=16=42，1+3+5+7+9=25=52，由上述具体事实能提出怎样的结论？可以猜想：前n个连续奇数的和等于n的平方，即 (30分钟)由上述具体事实能提出怎样的结论？学生主动探究规律，感
8、受归纳推理对发现新事实、得出新结论的作用。 引导学生发现并总结规律。设置费马猜想和歌德巴赫赫猜想产生情景，激发学生的求知欲。同时提及两大猜想产生的时代背景，让学生接受数学文化的熏陶，感受归纳推理的魅力。教师生动讲述欧拉发现第五个费马数的过程，激发学生的好奇心与求知欲，同时，通过“猜想验证再猜想”说明科学的进步与发展处在一个螺旋上升的过程。授 新 课2、 已知数列的首项，且有，求这个数列的通项公式。 在例1和例2中，我们通过归纳得到了两个猜想。虽然它们是否正确还有待严格的证明，但猜想可以为我们的研究提供一种方向。(33分钟)让学生在解决问题的过程中发现归纳推理需要检验过程，从而自我修正归纳推理的
9、一般步骤。小结：归纳推理的作用1发现新事实2提供研究方向学生自主探究，教师点评第一小题的两种解法。体会归纳推理的一般步骤，进一步感受归纳推理的作用。通过第二小题让学生感受归纳推理起到了能够提供研究方向的作用，培养学生进行归纳推理的能力。学以致用例3、 1996年的诺贝尔化学奖授予对发现C60有重大贡献的三位科学家C60是有60 个C原子组成的分子，它结构为简单多面体形状这个多面体有60个顶点，各面的形状只有五边形或六边形两种其中五边形和六边形的面各有12个和20个计算C60分子中有多少条棱？铺设桥梁，以退为进： 在一个凸多面体中，试通过归纳猜想其顶点数V、棱数E、面数F满足的关系。从这些事实中
10、，可以归纳出：解： 由题意有顶点数V=60，面数F=12+20，由V+F-E=2 解得E=90. (38分钟)变式：“世界末日”的传说：把这个寓言和现代科学推测对比，同时用动画展示游戏过程。(43分钟)由学生在讲义上作图，发现规律并总结，再通过学生之间充分讨论之后相互交流，教师点评。给学生创建一个开放的、有活力、有个性的数学学习环境。 感受数学美和发现规律的喜悦，激发学生更积极地去寻找规律、认识规律。同时让学生感受到只要做个有心人，发现规律并非难事。小 结五、1. 归纳推理的成功范例：费马猜想，歌德巴赫猜想，牛顿发现万有引力，门捷列夫发现元素周期表。得出：归纳推理是科学发现的重要途径。3.小结
11、回顾，思维收获 。(44分钟)学生讨论总结，相互补充，教师点评。让学生自己小结，这是一个多维整合的过程，是一个高层次的自我认识过程。作业1完成课本 P83 A组 132选做孪生素数猜想 ;叙拉古猜想 ; 蜂窝猜想; 费马最后定理;七桥问题;欧拉回路(选择两个猜想探究来源)（45分钟）实习作业的设置为了教会学生怎样利用资料进行数学学习，同时让学生了解网络是自主学习和拓展知识面的一个重要平台。这是本节内容的一个提高与拓展。设计选做题是针对学有余力的同学提升高度，链接高考。六、板书设计合情推理 归纳推理一、推理二、归纳推理的含义三、归纳推理的作用1发现新事实2提供研究方向四、归纳推理的一般步骤五、小
12、结例 1（1） （2）练习教案说明一、授课内容的数学本质与教学目标定位人们习惯于把数学看成是演绎科学、研究结构的科学，主要是由于人们习惯上从数学研究的结果来看数学的本质特征然而，结果并不能反映数学的全貌，组成数学整体的另一个非常重要的方面是数学研究的过程，一个“思维的实验过程”波利亚（G. Poliva，1888一1985）认为，“数学有两个侧面，由欧几里德方法提出来的数学看来像是一门系统的演绎科学，但在创造过程中的数学看来却像是一门实验性的归纳科学”本节课的设计就是为了还原数学的本质，让学生意识到数学不仅仅是演绎的科学，更是归纳的科学本节课的教学目标设置：1理解归纳推理的概念，了解归纳推理的
13、作用，掌握归纳推理的一般步骤，会利用归纳进行一些简单的归纳推理.2学生通过积极主动地参与课堂活动，经历归纳推理概念的获得过程，了解归纳推理的含义;通过欣赏一些伟大猜想的产生过程，体会并认识利用归纳推理能猜测和发现一些新事实、得出新结论的作用并明确归纳推理的一般步骤；通过具体解题，感受归纳推理探索和提供解决问题的思路和方向的作用；通过自主学习归纳推理的一般方法，建构归纳推理的思维方式.3学生通过主动探究、合作学习、相互交流，培养不怕困难、勇于探索的优良作风，增强数学应用意识；通过体会成功，形成学习数学知识、了解数学文化的积极态度. 二、学习本内容的基础以及用处推理与证明思想不仅贯穿于高中数学的整
14、个知识体系，在其他学科领域也有多处涉及在高中历史教材历史人物评说中介绍亚里士多德时，对推理做了一定的介绍;高中政治学科的科学方法论中的推理内容对推理也做了相应的讲述;物理、化学、生物、地理等许多学科中的伟大猜想及定理的产生都源于合情推理;高中生本身的学习生活阅历中也有很多合情推理的实例通过本节课学生可以真正的体会到数学与其他学科的交叉性、互补性，初步体会科学的方法论在日常生活的作用.同时，本节课的学习有助于学生更完整更准确地认识到数学不仅仅是演绎科学，更是归纳的科学；有助于学生形成归纳推理的思维方式, 培养创新精神,为将来合理地提出新思想、新概念、新方法奠定好基础;有助于学生养成良好的科学态度
15、和严谨的学习作风，形成言之有理、论证有据的习惯三、教学内容解析本节内容中，学生会较快接受推理的概念，但是对于推理方法的分类会有一定的疑惑.本节课先利用多个例子让学生通过直观感知、观察分析、归纳类比做出合理分析，抽象概括出归纳推理的概念，再利用分组讨论降低了概念学习的难度，使学生能够更多围绕归纳推理这个重点展开探索和研究在体验哥德巴赫猜想产生的过程中，当所给的偶数较大时，学生的检验会遇到相当大的困难；在体会费马猜想的产生过程中学生的思维容易产生混乱，故设计了教师讲述欧拉发现第五个费马数的过程，激发学生的好奇心与求知欲，同时，通过“猜想验证再猜想”说明科学的进步与发展处在一个螺旋上升的过程。在充分
16、体会了归纳推理的生活实例和数学实例以及其他学科实例之后，学生充分感受到数学美和发现规律的喜悦，能够自主总结出归纳推理的一般步骤，但是容易忽略归纳推理所得结论的不可靠性，从而忽略检验的步骤所以本节课设计了费马猜想的产生及推翻过程，让学生充分体会检验的必要性，体会数学发展的螺旋上升过程对于例2，学生能非常熟练地运用归纳推理得出通项公式，但容易忽略所得结论的不可靠性和证明的必要性.所以本节课设计引导学生再用演绎推理的方法解题，就能直观地比较出归纳推理和演绎推理两种思维方式不同的优势例3是在例2上的一种深化，学生无法运用演绎推理的方式直接解题，但可以运用归纳推理探索解题的方向，从而进一步感受归纳推理的
17、优势 在本节课的后半节特意设置了学以致用的题目，让学生体会归纳推理的一般模式，在解决问题的同时也让学生产生愉悦的体会，增加对数学学习的兴趣和信心。四、本节课的教法特点1引入的设计充分体现了学生的数学情怀中学数学教学中的大规模练习使学生对于数学有了根深蒂固的认识：数学是严肃枯燥的，数学是解决问题的科学从某种意义上讲当前中学数学的教学不同程度地掩盖了数学的本质引入设计采用的调查报告中的数据很容易引起学生的共鸣，抓住了本节课的授课本质，为改变学生对数学的认识现状作好了必要的铺垫2. 问题的选择注重强调数学的文化价值本节课创设了费马猜想、哥德巴赫猜想、欧拉公式的发现情境，并有相应的数学史的介绍.学生在
18、体验三大猜想产生的过程中自然地受到数学文化的熏陶，也能学习到数学家的数学思想精神、思维方法和看问题的着眼点等，从而提高了自身的数学素养 3. 充分尊重学生的思维活动和自主探究在分组讨论的过程中给学生想的时间、说的机会以及展示思维过程的舞台；在活动中引导学生用归纳的思维方法思考问题，要求学生在学习归纳推理的过程中运用归纳推理，有效地提高了课堂教学的效率和容量.4. 计算机软件应用灵活、有针对性在本节授课过程中，共设计计算机演示操作哥德巴赫猜想和练习中使用的分子c60分子，世界末日问题中的动画展示将授课过程中的难点一一化解.尤其是世界末日问题中的动画展示使本来非常难处理的问题简单化、直观化 5注重
19、学生个性发展对课本例1进行了发展与深化，创设学生的思维困难，体会归纳推理的思维简单性、合理性；练习设计则降低对知识的要求，使得不同层次的学生都能得到相应的训练，提高课堂的思维效率；作业设计中的网站浏览有利于丰富学生的知识，拓展视野，将数学课堂延伸到学校以外；作业中的选做题为学有余力的学生提供进一步发展的空间五、学生学情分析及教学策略分析：我校共24个教学班，其中理科班17个，按学生层次分两个尖尖班，五个实验班，10个理科平行班，这个班是理科平行班，这个班学生学习数学相对比较吃力，备课时（相对实验班）很少拔高，同时设法激发和保护学生学习数学的积极性。授课过程在达到本节课的教学目标的基础上，能让学
20、生深刻体会到数学是生动的、有趣的，数学的本质并非仅仅是解决问题，更重要的是发现问题（数学不仅仅是演绎的科学，更是归纳的科学）点 评新疆兵团第八师石河子教育局教研室 蒋新林从完整的授课录像可以看出：颜波老师的教学充分体现了以学生为主体、教师为主导、合情推理（归纳推理）为主线、学生思维发展为主体的数学教育目标，以教材内容为素材加工整理设计的一堂有学习价值的优秀参评课。整节课有如下主要特点：一、教材内容处理合理、重点突出合情推理一课是人教A版选修2-2的教学内容，它包括归纳推理和类比推理，分两个课时完成，内容多、容量大、密度高。如第一节课都讲，对归纳推理的概念形成过程教学不足，因此颜老师着重抓住归纳
21、推理展开教学，这样处理，重点突出，效果较好，教学目标容易达成。二、兼顾知识的发生发展过程和数学本质的提炼颜老师这节课教学循序渐进，从“推理-数学猜想-归纳推理-归纳推理的应用”，是学生经历了非严格到严格的过程，重点组织学生学习合情推理和归纳推理，课堂上通过五个环节及丰富的事例，使学生充分体验了归纳推理的要义和主要步骤，使新课程中的“三维教学目标”在本节课教学中得到了较好的体现。颜老师的设计教学：第一环节中，教师例举了：“医生诊断病人病症；警察侦破案件；气象预测天气；考古学家推断遗址年代；数学家论证命题的真伪”等一系列的实例，让学生感受推理的意义。并展示了：设f(n)=n2+n+41，观察猜想能
22、得到什么结论的简单问题。第二环节中，从数学猜想：“哥德巴赫猜想，费马猜想，格尼斯堡七桥猜想”让学生感受合情推理和归纳推理。让学生讨论合作学习，并引导学生理解归纳推理中的关键词：“部分”“整体”；“特殊”“一般”。第三环节，颜老师对两个经典问题：费马猜想、哥德巴赫猜想作了详细的讲解。第四环节，学生就三个进行练习巩固，一个是递归数列问题，一个是凸多面体的顶点数、面数、棱数问题，另一个是世界末日传说。展示了教师较强的基本功。第五环节：归纳小结（1）什么是归纳推理？（2）归纳推理的步骤以及归纳推理所得的的命题不一定正确等。三、多媒体辅助作用较为合理颜老师教学中的多媒体使用科学合理，有效地化解了数学难点，优化了教学过程，例如费马猜想、哥德巴赫猜想、世界末日传说等 。讲解中多媒体使用恰到好处。四、不足之处：1、合情推理与归纳推理的关系强调的还不到位，虽然本节课不讲类比推理，但是应当简单地提及推理分为演绎推理和归纳推理两大类。2、教学中要注意详略得当。费马猜想的运算有点难，可以考虑略讲。