1、2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角考试标准课标要点学考要求高考要求数量积的坐标表示cc两个向量夹角的坐标运算bb平面向量模的坐标运算bb知识导图学法指导1.学习了本节后，我们在用向量处理平面图形问题时就有了两种方法，通过一题两解，体会基底法和坐标法的优劣及选择依据2通过数形结合，对向量平行与垂直条件的坐标表示的类比，培养学生联想的记忆方法.1.两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a与b的夹角为.数量积两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即abx1x2y1y2两个向量垂直abx1x2y1y20对数量积的坐标表示的理解(1)两个向量的数量
2、积等于它们对应坐标的乘积的和；(2)引入坐标运算后，使得平面向量数量积的运算和两个向量的坐标运算联系起来，从而使得向量的工具性作用更强；(3)平面向量的坐标可以把几何问题转化为代数问题，用向量的坐标运算来实现几何问题的求解，数形结合的思想在数量积的应用中将体现更多2三个重要公式向量模公式：设a(x1，y1)，则|a| 两点间距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|向量的夹角公式：设两非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a与b的夹角为，则cos对向量模长公式的理解(1)模长公式是数量积的坐标表示x1x2y1y2的一种特例，当时，则可得|2xy；(2)若点A(x1，y1)，B(
3、x2，y2)，则(x2x1，y2y1)，所以|，即|的实质是A，B两点间的距离或线段AB的长度，这也是模的几何意义小试身手1判断下列命题是否正确. (正确的打“”，错误的打“”)(1)两个非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，满足x1y2x2y10，则向量a，b的夹角为0.()(2)两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和()(3)若两个向量的数量积的坐标和小于零，则两个向量的夹角一定为钝角()答案：(1)(2)(3)2已知a(3,4)，b(5,2)，则ab的值是()A23B7C23 D7解析：由数量积的计算公式得，ab(3,4)(5,2)35427.答案：D3已知a(2,1)，b(x
4、，2)，且ab，则x的值为()A1 B0C1 D2解析：由题意，ab(2,1)(x，2)2x20，解得x1.答案：A4已知a(1，)，b(2,0)，则|ab|_.解析：因为ab(1, )，所以|ab|2.答案：2类型一数量积的坐标运算例1(1)设向量a(1，2)，向量b(3,4)，向量c(3,2)，则向量(a2b)c()A(15,12)B0C3D11(2)已知向量a(1,2)，b(2，x)，且ab1，则x的值等于()A.BC.D【解析】(1)依题意可知，a2b(1，2)2(3,4)(5,6)，所以(a2b)c(5,6)(3,2)53623.(2)因为a(1,2)，b(2，x)，所以ab(1,2
5、)(2，x)122x1，解得x.【答案】(1)C(2)D(1)先求出2，然后利用平面向量的数量积求出(2). (2)利用平面向量的数量积运算求出，由1得出关于x的方程求解方法归纳数量积坐标运算的两个途径一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算跟踪训练1已知a(2，1)，b(3,2)，若存在向量c，满足ac2，bc5，则向量c_.解析：设c(x，y)，因为ac2，bc5，所以解得所以c.答案：设(x，y)，利用平面向量的数量积运算，列出关于x，y的方程求解类型二平面向量的模例2(1)设xR，向量a(x,1)，b(1，2)，且ab，则|ab|
6、()A.B.C2D5(2)已知向量a(1,2)，b(3,2)，则|ab|_，|ab|_.【解析】(1)因为a(x,1)，b(1，2)，且ab，所以2x110，解得x.所以ab(1，2)，|ab|.(2)由题意，知ab(2,4)，ab(4,0)，所以|ab|2，|ab|4.【答案】(1)B(2)24(1)两向量(x1，y1)，(x2，y2)共线的坐标表示：x1y2x2y10. (2)已知(x，y)，则| .方法归纳求向量的模的两种基本策略(1)字母表示下的运算利用|a|2a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题(2)坐标表示下的运算若a(x，y)，则aaa2|a|2x2y2，于是有|
7、a|.跟踪训练2(1)设平面向量a(1,2)，b(2，y)，若ab，则|3ab|等于()A.B.C.D.(2)已知|a|10，b(1,2)，且ab10，则a的坐标为_【解析】(1)因为ab，所以1y2(2)0，解得y4，从而3ab(1,2)，|3ab|.(2)设a的坐标为(x，y)，由题意得即解得或所以a(10,0)或a(6,8)【答案】(1)A(2)(10,0)或(6,8)(1)由求y，再求3的坐标，利用公式求模(2)设(x，y)，由已知列方程组，求x，y.类型三平面向量的夹角(垂直)例3(1)已知向量a(1,2)，b(2，4)，|c|，若(cb)a，则a与c的夹角为()A.30B60C12
8、0D150(2)已知向量a(1,1)，b(2，3)，若a2b与a垂直，则实数等于_【解析】(1)由ab10，得(cb)acabaca10，ca.设a与c的夹角为，则cos .又0，180，120.(2)方法一a2b(，)2(2，3)(4，6)(a2b)a，(a2b)a0，(4)(6)0，1.方法二(a2b)a，(a2b)a0，即a22ab，(11)2(1,1)(2，3)，即22，1.【答案】(1)C(2)1(1)先求，再由已知求最后利用cos，求夹角(2)已知向量垂直求参数，由相应向量的数量积为零建立关于参数的方程，求解即可方法归纳利用数量积求两向量夹角的步骤数量积:利用平面向量数量积的坐标表
9、示公式求出这两个向量的数量积.模:利用|a|计算出这两个向量的模.余弦值:由公式cos 直接求出cos 的值.角:在0内，由cos 的值求角.跟踪训练3已知平面向量a(3,4)，b(9，x)，c(4，y)，且ab，ac.(1)求b与c；(2)若m2ab，nac，求向量m，n的夹角的大小解析：(1)因为ab，所以3x49，所以x12.因为ac，所以344y0，所以y3，所以b(9,12)，c(4，3)(2)m2ab(6,8)(9,12)(3，4)，nac(3,4)(4，3)(7,1)设m、n的夹角为，则cos .因为0，所以，即m，n的夹角为.(1)由求x，由求y.(2)利用cos，求夹角2.4
10、.2基础巩固(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1若向量a(3，m)，b(2，1)，ab0，则实数m的值为()A B.C2 D6解析：依题意得6m0，m6，选D.答案：D2向量a(1，1)，b(1,2)，则(2ab)a()A1 B0C1 D2解析：a(1，1)，b(1,2)，(2ab)a(1,0)(1，1)1.答案：C3已知a，b为平面向量，且a(4,3)，2ab(3,18)，则a，b夹角的余弦值等于()A. BC. D解析：a(4,3)，2a(8,6)又2ab(3,18)，b(5,12)，ab203616.又|a|5，|b|13，cosa，b.答案：C4已知向量a(1,2)
11、，b(3,1)，c(k,4)，且(ab)c，则k()A6 B1C1 D6解析：a(1,2)，b(3,1)，ab(4,1)，(ab)c，4k40，解得k1.答案：C5设向量a(x,1)，b(1，)，且ab，则向量ab与b的夹角为()A. B.C. D.解析：向量a(x,1)，b(1，)，且ab，则abx0，得x，ab(，1)(1，)(0,4)，(ab)b014()4，|ab|4，|b|2，设向量ab与b的夹角为，则cos ，0，.答案：D二、填空题(每小题5分，共15分)6a(4,3)，b(1,2)，则2|a|23ab_.解析：因为a(4,3)，所以2|a|22()250.ab41322.所以2
12、|a|23ab503244.答案：447设向量a(1,0)，b(1，m)若a(mab)，则m_.解析：由题意得，mab(m1，m)，根据向量垂直的充要条件可得1(m1)0(m)0，所以m1.答案：18已知平面向量a(1,2)，b(4,2)，cmab(mR)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m_.解析：c(m4,2m2)，|a|，|b|2，设c，a的夹角为，c，b的夹角为，又因为cos ，cos ，由题意知，即.解得m2.答案：2三、解答题(每小题10分，共20分)9已知平面向量a(1，x)，b(2x3，x)，xR.(1)若ab，求x的值；(2)若ab，求|ab|.解析：(1)若ab，则ab(
13、1，x)(2x3，x)1(2x3)x(x)0，即x22x30，解得x1或x3.(2)若ab，则1(x)x(2x3)0，即x(2x4)0，解得x0或x2.当x0时，a(1,0)，b(3,0)，|ab|(1,0)(3,0)|(2,0)|2.当x2时，a(1，2)，b(1,2)，|ab|(1，2)(1,2)|(2，4)|2.10已知向量a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a(1，1)(1)若|c|3，且ca，求向量c的坐标；(2)若b是单位向量，且a(a2b)，求a与b的夹角.解析：(1)设c(x，y)，由|c|3，ca可得所以或故c(3,3)或c(3，3)(2)因为|a|，且a(a2b)，所以a
14、(a2b)0，即a22ab0，ab1，故cos ，0，.能力提升(20分钟，40分)11已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则()的最小值是()A2 BC D1解析：以AB所在直线为x轴，AB的中点为原点建立平面直角坐标系，如图，则A(1,0)，B(1,0)，C(0，)，设P(x，y)，取BC的中点D，则D.()22(1x，y)2(x1)y222.因此，当x，y时，()取得最小值，为2，故选B.答案：B12已知a(4，3)，b(2,1)，若atb与b的夹角为45，则实数t_.解析：因为a(4，3)，b(2,1)，所以atb(2t4，t3)，所以(atb)b5t5.又|atb
15、|，|b|，(atb)b|atb|b|cos 45，所以5t5，整理得t22t30，解得t1或t3，经检验知t3不成立，故t1.答案：113在PQR中，(2,3)，(1，k)，且PQR的一个内角为直角，求k的值解析：(1)当P为直角时，PQPR，0，即23k0，k.(2)当Q为直角时，QPQR，易知(2，3)，(1，k3)由0，得23(k3)0，k.(3)当R为直角时，RPRQ，易知(1，k)，(1,3k)由0，得1k(3k)0，k.综上所述，k的值为或或或.14已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a(1,2)(1)若|c|2，且ca，求c的坐标；(2)若|b|，且a2b与2ab垂直，求a与b的夹角.解析：(1)由a(1,2)，得|a|，又|c|2，所以|c|2|a|.又因为ca，所以c2a，所以c(2,4)或c(2，4)(2)因为a2b与2ab垂直，所以(a2b)(2ab)0，即2|a|23ab2|b|20，将|a|，|b|代入，得ab.所以cos 1，又由0，得，即a与b的夹角为.