1、第八节曲线与方程基础盘查 曲线与方程(一)循纲忆知了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系(二)小题查验1判断正误(1)f(x0，y0)0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)0上的充要条件()(2)条件甲：“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)0的解”，条件乙：“曲线C是方程f(x，y)0的曲线”，则条件甲是条件乙的充要条件()(3)方程y x与xy2表示同一曲线()(4)方程x2xyx的曲线是一个点和一条直线()2(人教 B 版教材习题改编)MA 和 MB 分别是动点 M(x，y)与两定点 A(1,0)和 B(1,0)的连线，则使AMB 为直角的动点 M的轨迹方程是_x2y21(x1)3平面
2、上有三个点A(2，y)，B0，y2，C(x，y)，若 ABBC，则动点C的轨迹方程为_解析：AB2，y2，BCx，y2，由ABBC，得ABBC0，即2xy2 y20，动点C的轨迹方程为y28x.y28x4已知圆的方程为 x2y24，若抛物线过点 A(1,0)，B(1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是_.解析：设抛物线焦点为 F，过 A，B，O 作准线的垂线 AA1，BB1，OO1，则|AA1|BB1|2|OO1|4，由抛物线定义得|AA1|BB1|FA|FB|，|FA|FB|4，故 F 点的轨迹是以 A，B 为焦点，长轴长为 4 的椭圆(去掉长轴两端点)x24 y231(y0)
3、考点一 直接法求轨迹方程(基础送分型考点自主练透)必备知识1曲线与方程的概念一般地，在直角坐标系中，如果某曲线 C 上的点与一个二元方程 f(x，y)0 的实数解建立了如下关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线2坐标法(直接法)求曲线方程的步骤(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点 M 的坐标；(2)写出适合条件 p 的点 M 的集合 PM|p(M)；(3)用坐标表示条件 p(M)，列出方程 f(x，y)0；(4)化 f(x，y)0 为最简形式；(5)证明以化简后的方程
4、的解为坐标的点都在曲线上提醒 在实际处理问题时，可以省略第(5)步遇到某些点虽然适合方程，但不在曲线上时，可通过限制方程中 x，y的取值范围予以剔除题组练透1|y|1 1x12表示的曲线是()A抛物线 B一个圆C两个圆D两个半圆解析：原方程|y|1 1x12等价于|y|10，1x120，|y|121x12|y|10，x12|y|121 y1，x12y121 或y1，x12y121.2(2015深圳调研)已知点 F(0,1)，直线 l：y1，P 为平面上的动点，过点 P 作直线 l 的垂线，垂足为 Q，且QPQF FPFQ，则动点 P 的轨迹 C 的方程为()Ax24y By23xCx22yDy
5、24x解析：设点 P(x，y)，则 Q(x，1)QPQF FPFQ，(0，y1)(x,2)(x，y1)(x，2)，即 2(y1)x22(y1)，整理得 x24y，动点 P 的轨迹 C 的方程为 x24y.3已知动点 P(x，y)与两定点 M(1,0)，N(1,0)连线的斜率之积等于常数(0)则动点 P 的轨迹 C 的方程为_解析：由题设知直线 PM 与 PN 的斜率存在且均不为零，所以kPMkPN yx1 yx1，整理得 x2y2 1(0，x1)即动点 P 的轨迹 C 的方程为 x2y2 1(0，x1)x2y2 1(0，x1)类题通法1直接法求轨迹方程的常见类型及解题策略(1)题目给出等量关系
6、，求轨迹方程可直接代入即可得出方程(2)题中未明确给出等量关系，求轨迹方程可利用已知条件寻找等量关系，得出方程2由曲线方程讨论曲线类型的关键是确定参数的分段值参数分段的确定标准，一般有两类：(1)二次项系数为 0 的值；(2)二次项系数相等的值考点二 定义法求轨迹方程(重点保分型考点师生共研)必备知识求轨迹方程时，若动点轨迹的条件满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可以直接根据定义求出动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法典题例析如图，已知ABC 的两顶点坐标 A(1,0)，B(1,0)，圆 E 是ABC的内切圆，在边 AC，BC，AB 上的切点分别为 P，Q，R，|CP|1(从圆外
7、一点到圆的两条切线段长相等)，动点 C 的轨迹为曲线 M.(1)求曲线 M 的方程；(2)设直线 BC 与曲线 M 的另一交点为 D，当点 A 在以线段 CD 为直径的圆上时，求直线 BC 的方程解：(1)由题知|CA|CB|CP|CQ|AP|BQ|2|CP|AB|4|AB|，所以曲线 M 是以 A，B 为焦点，长轴长为 4 的椭圆(挖去与 x 轴的交点)设曲线 M：x2a2y2b21(ab0，y0)，则 a24，b2a2|AB|223，所以曲线 M：x24 y231(y0)为所求(2)如图，由题意知直线 BC 的斜率不为 0，且过定点 B(1,0)，设 lBC：xmy1，C(x1，y1)，D
8、(x2，y2)，由xmy1，3x24y212 消去 x 得(3m24)y26my90，所以y1y26m3m24，y1y293m24.因为 AC(my12，y1)，AD(my22，y2)，所以 ACAD(my12)(my22)y1y2(m21)y1y22m(y1y2)49m213m24 12m23m24479m23m24.因为点 A 在以 CD 为直径的圆上，所以 ACAD0，即 m 73，所以直线 BC 的方程为 3x 7y30 或 3x 7y30.类题通法1运用圆锥曲线的定义求轨迹方程，可从曲线定义出发直接写出方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出方程2定义法和待定系数法适用于已知轨迹是
9、什么曲线，其方程是什么形式的方程的情况利用条件把待定系数求出来，使问题得解演练冲关已知圆 C1：(x3)2y21 和圆 C2：(x3)2y29，动圆 M 同时与圆 C1 及圆 C2 相外切，求动圆圆心 M 的轨迹方程解：如图所示，设动圆 M 与圆 C1 及圆 C2 分别外切于点 A 和点 B，则有|MC1|AC1|MA|，|MC2|BC2|MB|.又|MA|MB|，所以|MC2|MC1|BC2|AC1|312，即动点 M 到两定点 C2，C1 的距离的差是常数 2，且 2|C1C2|6，|MC2|MC1|，故动圆圆心 M 的轨迹为以定点 C2，C1 为焦点的双曲线的左支，则 2a2，所以 a1
10、.又 c3，则 b2c2a28.设动圆圆心 M 的坐标为(x，y)，则动圆圆心 M 的轨迹方程为 x2y281(x1)考点三 代入法求轨迹方程(重点保分型考点师生共研)必备知识1若动点P(x，y)所满足的条件不易表述或求出，但随另一动点Q(x，y)的运动而有规律地运动，且动点Q的轨迹方程给定或容易求得，则可先将x，y表示为x，y的式子，再代入Q的轨迹方程，然后整理得点P的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法，也称代入法2用相关点法求轨迹方程的关键是寻求关系式：xf(x，y)，yg(x，y)，然后代入已知曲线方程求对称曲线(轴对称、中心对称等)方程实质上也是用代入法(相关点法)解题.典题例
11、析(2015广州模拟)在圆x2y24上任取一点P，设点P在x轴上的正投影为点D.当点P在圆上运动时，动点M满足 PD 2 MD，动点M形成的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)已知点E(1,0)，若A，B是曲线C上的两个动点，且满足EAEB，求EABA的取值范围解：(1)法一：由PD2MD知点M为线段PD的中点设点M的坐标是(x，y)，则点P的坐标是(x,2y)因为点P在圆x2y24上，所以x2(2y)24.所以曲线C的方程为x24 y21.法二：设点M的坐标是(x，y)，点P的坐标是(x0，y0)，由PD2MD，得x0 x，y02y.因为点P(x0，y0)在圆x2y24上，所以x20y
12、204.把x0 x，y02y代入方程，得x24y24.所以曲线C的方程为x24 y21.(2)因为EAEB，所以EAEB0.所以EABAEA(EAEB)2EA.设点A(x1，y1)，则x214 y211，即y211x214.所以EABA2EA(x11)2y21x212x111x214 34x212x1234x143223.因为点A(x1，y1)在曲线C上，所以2x12.所以2334x1432239.所以EABA的取值范围为23，9.类题通法代入法求轨迹方程的关键是寻找所求动点与已知动点间的等量关系常涉及中点问题、三角形重心问题及向量相等或向量间关系等知识演练冲关已知 F1，F2 分别为椭圆 C：x24 y231 的左，右焦点，点 P 为椭圆 C 上的动点，则PF1F2 的重心 G 的轨迹方程为()Ax236y2271(y0)B4x29 y21(y0)C9x24 3y21(y0)Dx24y23 1(y0)解析：依题意知F1(1,0)，F2(1,0)，设P(x0，y0)，G(x，y)，则由三角形重心坐标关系可得xx0113，yy03.即x03x，y03y.代入x204 y2031得重心G的轨迹方程为9x24 3y21(y0)“课后演练提能”见“课时跟踪检测(五十七)”(单击进入电子文档)谢 谢 观 看