1、11.2瞬时速度与导数1.了解瞬时速度的意义，导数函数的实际背景2.理解函数在某一点处的导数及导函数的概念3掌握利用定义求导数的方法1物体运动的瞬时速度设物体运动路程与时间的关系是sf(t)，当t趋近于0时，函数f(t)在t0到t0t之间的平均变化率趋近于某个常数，这个常数称为t0时刻的瞬时速度2函数在某点的瞬时变化率设函数yf(x)在x0及其附近有定义，当自变量在xx0附近改变量为x时，函数值相应地改变yf(x0x)f(x0)，如果当x趋近于0时，平均变化率趋近于一个常数l，那么常数l称为函数f(x)在点x0的瞬时变化率记作：当x0时，l.还可以说：当x0时，函数平均变化率的极限等于函数在x
2、0的瞬时变化率l，记作l.3函数f(x)在xx0处的导数函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率称为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或y|xx0，即f(x0)4函数的导数(1)函数可导的定义如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x导数都存在，则称f(x)在区间(a，b)内可导(2)导函数的定义若f(x)在区间(a，b)内可导，则对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个确定的导数f(x)，于是在区间(a，b)内f(x)构成一个新的函数，把这个函数称为函数yf(x)的导函数，记为f(x)(或yx、y)导函数通常简称为导数.1一个物体的运动方程是s3t2，则物体在t3时的瞬时速度为()A3
3、B4C5 D6答案：D2函数y2x1在x1处的导数为_答案：23函数yf(x)在x1处的瞬时变化率为_答案：1物体运动的瞬时速度一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s3tt2.(1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t2时的瞬时速度；(3)求t0到t2之间的平均速度解(1)当t0时的速度为初速度在0时刻取一时间段0，0t，即0，t，所以3t.当t0时，3，所以物体的初速度为3.(2)取一时间段2，2t，则t1，当t0时，1，所以当t2时，物体的瞬时速度为1.(3)当t0，2时，1.所以在0到2之间，物体的平均速度为1.若本例中物体运动方程改为s3t22，求解第(1)(2)问解：(1)s
4、3t22，当t0时，ss(0t)s(0)3(0t)22(3022)3(t)2，所以3t，所以当t0时，0，所以v00.(2)s3t22，当t2时，ss(2t)s(2)3(2t)22(3222)12t3(t)2，123t.所以当t0时，12，所以v212.求运动物体瞬时速度的三个步骤第一步：求时间改变量t和位移改变量ss(t0t)s(t0)；第二步：求平均速度；第三步：求瞬时速度，当t无限趋近于0时，无限趋近于的常数v即为瞬时速度，即vs(t0) 一物体的运动方程为s7t213t8，且在tt0时的瞬时速度为1，则t0_解析：因为s7(t0t)213(t0t)87t13t0814t0t13t7(t
5、)2，所以 (14t0137t)14t0131，所以t01.答案：1用定义求函数的导数根据导数的定义，求函数yx23在x1处的导数解y(1x)23(123)2x(x)2，所以2x.所以y|x1 (2x)2.求函数yf(x)在点x0处的导数的三个步骤简称：一差、二比、三极限 1.设函数f(x)ax3，若f(1)3，则a等于()A2B2C3 D3解析：选C.因为f(1) a.因为f(1)3，所以a3.故选C.2求函数yx在x1处的导数解：因为y(1x)x，所以1.当x0时，2，所以f(1)2，即函数yx在x1处的导数为2.“函数f(x)在点x0处的导数”、“导函数”、“导数”三者之间的区别与联系：
6、(1)“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值，是针对一个点x0而言的，与给定的函数及x0的位置有关，而与x无关；(2)“导函数”简记为“导数”，它是一个函数，导函数是对一个区间而言的，它是一个确定的函数，依赖于函数本身，而与x，x无关；(3)函数yf(x)在点x0处的导数f(x0)就是导函数f(x)在点xx0处的函数值，即f(x0)f(x)|xx0.用定义法求导数时，当x0时，比值的极限存在，则f(x)在点x0处可导；若的极限不存在，则f(x)在点x0处不可导或无导数1设函数f(x)可导，则lim 等于()Af(1)B2f(1)C.f(1) Df(2)解析：选C.原式 f(1)2如果质点M
7、按照规律s3t2运动，则在t3时的瞬时速度为()A6 B18C54 D81解析：选B.183t，s (183t)18，故选B.3函数f(x)在x1处的导数是_解析：y，f(1) 1.答案：1 A基础达标1一质点运动的方程为s53t2，若一质点在时间段1，1t内相应的平均速度为3t6，则该质点在t1时的瞬时速度是()A3B3C6 D6解析：选D.由平均速度和瞬时速度的关系可知，vs(1) (3t6)6.2函数yx3在x1处的导数为()A2 B2C3 D3解析：选C.3x23xx(x)2，所以 3x2，y|x13.3一物体的运动满足曲线方程s(t)4t22t3，且s(5)42(m/s)，其实际意义
8、是()A物体5 s内共走过42 mB物体每5 s运动42 mC物体从开始运动到第5 s运动的平均速度是42 m/sD物体以t5 s时的瞬时速度运动的话，每经过1 s，物体运动的路程为42 m解析：选D.由导数的物理意义知，s(5)42(m/s)表示物体在t5 s时的瞬时速度故选D.4若可导函数f(x)的图象过原点，且满足 1，则f(0)()A2 B1C1 D2解析：选B.因为f(x)图象过原点，所以f(0)0，所以f(0) 1.故选B.5某物体做直线运动，其运动规律是st2(t的单位是秒，s的单位是米)，则它在4秒末的瞬时速度为()A米/秒 B米/秒C8米/秒 D米/秒解析：选B.因为t8.所
9、以 8.6函数y3x22在x1处的导数为_解析：f(1) 6.答案：67设函数yf(x)ax22x，若f(1)4，则a_解析：f(x) 2ax2，所以f(1)2a24，所以a1.答案：18子弹在枪筒中的运动可以看作是匀加速直线运动，如果它的加速度是a5105 m/s2，子弹从枪口射出所用的时间为1.6103s，则子弹射出枪口时的瞬时速度为_m/s.解析：运动方程为sat2.因为sa(t0t)2atat0ta(t)2.所以at0at，所以v at0.又因为a5105 m/s2，t01.6103s，所以vat08102800(m/s)答案：8009求函数y的导函数解：因为y，所以4，所以 4，所以
10、y.10已知函数yf(x)在点x0处可导，试求下列各极限的值(1) ；(2) .解：(1)原式 (x0时，x0)f(x0)(2)原式 f(x0)f(x0)f(x0)B能力提升11已知车轮旋转的角度与时间的平方成正比若车轮开始转动后的第一圈需要1 s，则车轮转动开始后第2 s时的瞬时速度为()A B2C4 D8解析：选D.设角度关于时间t的函数关系式为(t)kt2(k0)，由已知得2k12，即k2，故(t)2t2.第2 s时的瞬时速度即为(2)由于2t8，所以(2) (2t8)8，即第2 s时的瞬时速度为8.12一物体的运动方程为s7t28，则其在t_时的瞬时速度为1.解析：7t14t0，当 (
11、7t14t0)1时，t0.答案：13已知函数f(x)求f(4)f(1)的值解：当x4时，y.所以.所以 .所以f(4).当x1时，x2，由导数的定义，得f(1) (x2)2，所以f(4)f(1)(2).14(选做题)若一物体运动方程如下：(位移单位：m，时间单位：s)sf(t)求：(1)物体在t3，5内的平均速度；(2)物体的初速度v0；(3)物体在t1时的瞬时速度解：(1)因为物体在t3，5内的时间变化量为t532，位移变化量为s3522(3322)3(5232)48，所以物体在t3，5内的平均速度为24 (m/s)(2)求物体的初速度v0，即求物体在t0时的瞬时速度因为物体在t0附近位移的平均变化率为3t18，所以物体在t0处位移的瞬时变化率为 (3t18)18，即物体的初速度v018 m/s.(3)物体在t1时的瞬时速度即为物体在t1处位移的瞬时变化率因为物体在t1附近位移的平均变化率为3t12，所以物体在t1处位移的瞬时变化率为 (3t12)12，即物体在t1时的瞬时速度为12 m/s.