1、专题七十六 概率与统计量综合题【高频考点解读】概率与统计作为考查考生应用知识的重要载体，也是高中数学中占有课时较多的一个知识板块，已成为近几年新课标高考的一大亮点和热点它与其他知识融合、渗透，情境新颖，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性，而在知识的交汇处设计试题是高考命题的指导思想之一主要考查点是离散型随机变量、二项分布、正态分布，其中离散型随机变量的分布列、期望、方差是考查的重点，预测2015年大部分新课标高考地区都以解答题的形式考查了这一知识点【热点题型】题型一 随机变量及其分布 例1、某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，
2、如下表所示.一次购物量 1至4件 5至8件 9至12件 13至16件 17件及以上 顾客数(人) x 30 25 y 10 结算时间(分钟/人) 1 1.5 2 2.5 3 已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%. (1)确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望； (2)若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率(注：将频率视为概率) E(X)11.522.531.9.【提分秘籍】在概率分布列、期望和方差的计算中，概率计算是问题的核心，要正确地计算各种情况的概率，就要把问题的实际意义弄清
3、楚，然后采用相应的方法计算其概率值 一、准确把握重点概念、公式等基础知识，如两个事件相互独立的概念以及两个相互独立事件同时发生的概率计算公式、n次独立重复试验的概念及其概率计算公式、离散型随机变量的均值与方差的概念及其计算公式等； 二、抓住该部分的关键，无论是离散型随机变量的分布列、均值还是方差，都离不开随机事件的概率计算一般地，一个随机事件，可以分拆成若干个互斥事件的和、每个互斥事件又可以分拆成若干个相互独立事件的乘积，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式就可以计算出这个随机事件发生的概率，在具体的环节上的概率计算往往与排列、组合知识结合，当然，有时候概率计算也得进行分类和
4、分步，这是计算一个随机事件发生的概率的基本解题思想，复习时要始终以这个思想指导解题，形成良好的解题习惯 【热点题型】题型二 概率与统计的综合问题 例2、某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品现用两种新配方(分别称为A配方和B配方)做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A配方的频数分布表 指标值分组 90,94) 94,98) 98,102) 102,106) 106,110 频数 8 20 42 22 8 B配方的频数分布表 指标值分组 90,94) 94,98) 98,102) 10
5、2,106) 106,110 频数 4 12 42 32 10 (1)分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率； (2)已知用B配方生产的一件产品的利润y(单位：元)与其质量指标值t的关系式为 y从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X(单位：元)求X的分布列及数学期望(以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率)【提分秘籍】 概率与统计综合题一般是先给出样本数据或样本数据的分布等，在解题中首先要处理好数据，如数据的个数、数据的分布规律等，即把数据分析清楚，然后再根据题目的要求进行相关的计算 【高考风向标】1（2014湖北卷）计划在某水库建一座至多安装
6、3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：年入流量X40X120发电机最多可运行台数123若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年
7、总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？Y3400920015 000P0.20.70.1所以，E(Y)34000.292000.715 0000.18620.综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台2（2014江西卷）随机将1，2，2n(nN*，n2)这2n个连续正整数分成A，B两组，每组n个数A组最小数为a1，最大数为a2；B组最小数为b1，最大数为b2.记a2a1，b2b1.(1)当n3时，求的分布列和数学期望；(2)令C表示事件“与的取值恰好相等”，求事件C发生的概率P(C)；(3)对(2)中的事件C，表示C的对立事件，判断P(C)和P()的大小关系，并说明理由 (3
8、)由(2)得，当n2时，P(C)，因此P(C)P(C)而当n3时，P(C)P(C)理由如下：P(C)P(C)等价于4(2C)C，用数学归纳法来证明：(i)当n3时，式左边4(2C)4(22)16，式右边C20，所以式成立(ii)假设nm(m3)时式成立，即4C成立，那么，当nm1时，【随堂巩固】 1某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸(单位：mm)的值落在29.94,30.06)内的零件为优质品从两个分厂生产的零件中各抽出了500件，量其内径尺寸，得结果如下表：甲厂：分组29.86，29.90)29.90，29.94)29.94，29.98)29.98，30.02)30.02，30.0
9、6)30.06，30.10)30.10，30.14频数12638618292614乙厂：分组29.86，29.90)29.90，29.94)29.94，29.98)29.98，30.02)30.02，30.06)30.06，30.10)30.10，30.14频数297185159766218 (1)试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率；(2)由以上统计数据填下面的22列联表，并问是否有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”？甲厂乙厂合计优质品非优质品合计2从某女子跳远运动员的多次测试中，随机抽取20次成绩作为样本，把各次的成绩(单位：cm)分成五组，第一组490,495)，第二组
10、495,500)，第三组500,505)，第四组505,510)，第五组510,515，相应的样本频率分布直方图如图所示(1)样本落入第三组500,505)的频数是多少？(2)现从第二组和第五组的所有数据中任意抽取两个，分别记为m，n，求事件“|mn|5”的概率 3某学校为促进学生的全面发展，积极开设各种各样的社团活动，根据调查，学校在传统民族文化的继承方面开设了“泥塑”、“剪纸”、“年画”三个社团，三个社团参加的人数如下表所示：社团泥塑剪纸年画人数320240200为调查社团开展情况以及学生对社团活动的意见，学校社团管理部采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为n的样本，已知从“剪纸”社团抽取的
11、同学比从“泥塑”社团抽取的同学少2人(1)求三个社团分别抽取了多少人；(2)设从“剪纸”社团抽取的同学中有2名女生现要从“剪纸”社团中选出2人担任社团活动监督的职务，求至少有1名女生被选中的概率4某社区拟选拔一批综合素质较高的居民，参加2013年争创全国文明城市宣传活动假定符合选拔条件的每个选手还需要进行四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为、，且各轮问题能否正确回答互不影响(1)求该选手进入第四轮才被淘汰的概率；(2)该选手在选拔过程中回答过的问题的总个数记为X，求随机变量X的分布列与数学期望(注：本小题
12、结果可用分数表示)5张师傅驾车从公司开往火车站，途经4个交通岗，这4个交通岗将公司到火车站分成5个路段，每个路段的驾车时间都是3分钟，如果遇到红灯要停留1分钟假设他在各交通岗是否遇到红灯是相互独立的，并且遇到红灯的概率都是.(1)求张师傅此行程时间不少于16分钟的概率；(2)记张师傅此行程所需时间为Y分钟，求Y的分布列和均值解：(1)如果不遇到红灯，全程需要15分钟，否则至少需要16分钟所以张师傅此行程时间不少于16分钟的概率P1(1)4.(2)设张师傅此行程遇到红灯的次数为X，则XB(4，)，P(Xk)C()k()4k，k0,1,2,3,4.依题意，Y15X，则Y的分布列为Y15161718
13、19PY的均值E(Y)E(X15)E(X)15415.6.如图，一个圆形游戏转盘被分成6个均匀的扇形区域用力旋转转盘，转盘停止转动时，箭头A所指区域的数字就是每次游戏所得的分数(箭头指向两个区域的边界时重新转动)，且箭头A指向每个区域的可能性都是相等的在一次家庭抽奖的活动中，要求每个家庭派一位儿童和一位成年人先后分别转动一次游戏转盘，得分情况记为(a，b)(假设儿童和成年人的得分互不影响，且每个家庭只能参加一次活动)(1)求某个家庭得分为(5,3)的概率；(2)若游戏规定：一个家庭的得分为参与游戏的两人得分之和，且得分大于等于8的家庭可以获得一份奖品，则某个家庭获奖的概率为多少？(3)若共有5个家庭参加家庭抽奖活动在(2)的条件下，记获奖的家庭数为X，求X的分布列及期望 (3)由(2)可知，每个家庭获奖的概率都是，所以XB(5，)P(X0)C()0()5，