1、2024年5月29日星期三新疆王新敞特级教师源头学子 小屋http:/w ww.xj xc/w w http:/w ww.xj xc/源头学子 小屋特级教师王新敞新疆考纲要求1.线线、线面、面面的位置关系.2.线线、线面、面面的平行与垂直的判定和性质，三垂线定理.3.两条异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角的平面角.4.点到平面的距离，线面距离，平行平面的距离，异面直线的距离，两点间的球面距离.1.平面图形与空间图形的概念如果一个图形的所有点都在同一个平面内，则称这个图形为平面图形.lABC否则称为空间图形.PABO平面图形中，两个相似图形面积的比等于相似比的平方.空间图形中，两个相似
2、几何体体积的比等于相似比的立方.例1（2009江苏卷）在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为体积比为1：81：81.平面图形与空间图形的概念BAa公理1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内.推理模式：AABB 或者 A，B，AB 2.平面的基本性质A公理2 如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其它公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线.推理模式：AlA 且 Al 且l 唯一或者 A，A，,l Al 确定两相交平面的交线位置；判定点在直线上应用：2
3、.平面的基本性质ABC公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.推理模式：,A B C 不共线存在唯一的平面，使得,A B C或者 ,A B C 不共线存在唯一的平面，使得,A B C 应用：确定平面；证明两个平面重合2.平面的基本性质lABC推论1 经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面.推理模式：推论2 经过两条相交直线有且只有一个平面PbaAB推理模式：Pba存在唯一的平面，使得,a b奎屯王新敞新疆 推论3 经过两条平行直线有且只有一个平面.ab推理模式：/ab 存在唯一的平面，使得,a b奎屯王新敞新疆 Aa存在唯一的平面，使得 A，l奎屯王新敞新疆 l2.平面的基本
4、性质空间两直线的位置关系相交有且只有一个公共点；平行在同一平面内，没有公共点；异面不在任何一个平面内，没有公共点.ABCDA1B1C1D1ab3直线与直线位置关系的判定与性质定理平行直线公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行推理模式：/,/ab bcac公理4表述的性质叫做空间平行线的传递性;cba3直线与直线位置关系的判定与性质定理（2）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等.CBACBA(3)等角定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等.abbQPa3直线与直线位置关系的判定与性质定理两条异面
5、直线的画法abBabab判断异面直线的方法：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线.alAB推理模式：,ABlBl AB 与l 是异面直线奎屯王新敞新疆 3直线与直线位置关系的判定与性质定理异面直线baAababOaaOOb所成的角Obaba已知两条异面直线a,b，经过空间任一点O作直线a/a,b/b，a,b所成的角的大小与点O的选择无关，把a,b所成的锐角（或直角）叫异面直线a,b所成的角（或夹角）异面直线所成的角的范围：(0,23直线与直线位置关系的判定与性质定理如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直两条异面直线a,b 垂直，记作ab.ABC
6、DA1B1C1D1两条异面直线的公垂线、距离和两条异面直线都垂直相交的直线，我们称之为异面直线的公垂线.公垂线段的长度，叫做两条异面直线间的距离.两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段叫做公垂线段.异面直线垂直：3直线与直线位置关系的判定与性质定理例（2009年上海卷理）如图，若正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为2，高为4，则异面直线BD1与AD所成角的大小是（结果用反三角函数表示）3直线与直线位置关系的判定与性质定理因为ADA1D1，异面直线BD1与AD所成角就是BD1与A1D1所在角，即A1D1B，由勾股定理，得A1B 2 5tanA1D1B5arctan5（A）1010
7、(B)15(C)3 1010(D)35ED1C1B1A1DCBA3直线与直线位置关系的判定与性质定理例(2009全国卷)已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为令1AB 则12AA,连1A B1C D 1A B 异面直线 BE 与1CD 所成的角即1A B 与 BE 所成的角.在1ABE中，易知 EB=2,A1E=1,A1B=5,故由余弦定理求cosA1BE=3 1010C251直线和平面的三种位置关系直线在平面内直线与平面相交直线与平面平行aaA/a a有无数个公共点有且只有一个公共点无公共点直线和平面相交或平行的情况
8、统称为直线在平面外4直线与平面位置关系的判定与性质定理直线与平面平行的判定定理：定理内容：如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.简记为：线线平行，则线面平行./,ababa，则若判定直线与平面平行的重要依据。图形作用：符号语言:bb4直线与平面位置关系的判定与性质定理 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行/aab 直线和平面平行性质定理/ab4直线与平面位置关系的判定与性质定理直线和平面垂直的定义如果一条直线l 和一个平面 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 和平面 互相垂直，记作 l 它们唯一的公共点即交点
9、叫做垂足 直线l叫做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面4直线与平面位置关系的判定与性质定理过一点有且只有一条直线和一个平面垂直P4直线与平面位置关系的判定与性质定理P过一点有且只有一个平面和一条直线垂直 4直线与平面位置关系的判定与性质定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面直线和平面垂直的判定定理：mnBnmml nl l lmngB4直线与平面位置关系的判定与性质定理 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面ba/ab4直线与平面位置关系的判定与性质定理平面的斜线、垂线、射影：PPo斜线PO平面O,O叫做斜足;过P作P P 平面,
10、P叫做垂足,垂足P叫做P在平面内的正投影（简称为射影）;O P叫做OP在平面内的射影.MMO1图形PMO叫做图形PMO1 在内的射影.4直线与平面位置关系的判定与性质定理例4（2009浙江卷文）设、是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是A若,l，则lB若/,/l ，则lC若,/l，则lD若/,l，则lC4直线与平面位置关系的判定与性质定理 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.PaAo 三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直.定理描述的是PO(斜线)、AO(射影)、a(直
11、线)之间的垂直关系.a与PO可以相交，也可以异面.4直线与平面位置关系的判定与性质定理例5（2009四川卷文）如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是ABCA1B1C1MNEFBM在平面ABB1A1的射影是BNBN AB1BMAB1904直线与平面位置关系的判定与性质定理直线和平面所成的角:平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角.BAaAOB（记为）是a与所成的角斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内经过斜足的直线所成的一切角中的最小角.COD规定：直线和平面垂直：所成的角是
12、直角直线和平面平行或在平面内，=0000900直线和平面成角斜线和平面成角0904直线与平面位置关系的判定与性质定理21ABDC三余弦定理:设AC是内的任一条直线，AD是的一条斜线AB在内的射影，且BDAD，垂足为D，设AB与(AD)所成的角为，AD与AC所成的角为2，AB与AC所成的角为 则12coscoscos4直线与平面位置关系的判定与性质定理例（2009年上海卷理）如图，若正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为2，高为4，则异面直线BD1与AD所成角的大小是3直线与直线位置关系的判定与性质定理 另法：异面直线BD1与在底面ABCD的射影就是BD，11BDADADBDBDBDar
13、ctan5111coscosBDDBDBD 2coscosADBDABD 设异面直线BD1与AD所成角为12coscoscos2662 66arccos 6例6（2009全国卷理）已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为BCBCA111AD（A）34（B）54（C）74 (D)34就是异面直线AB与CC1所成的角1A AB 设AA1=AB=2,则AD=113cocs4oscosAD ADA ADDABA A AB(三角余弦定理)3D4直线与平面位置关系的判定与性质定理点到平面的距离一点到它在一个平面内的
14、正射影的距离叫做这一点到这个平面的距离.PAB4直线与平面位置关系的判定与性质定理AB直线到与它平行平面的距离 一条直线上任一点到与它平行的平面的距离，叫做这条直线到平面的距离.4直线与平面位置关系的判定与性质定理例7（2009北京卷）若正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60角，则A1C1到底面ABCD的距离为4直线与平面位置关系的判定与性质定理A33 B1 C2D 3160B ABAB1与底面ABCD成60角A1C1到底面ABCD的距离为上下底之间的距离11 tan603BB D11（1）两个平面平行如果两个平面没有公共点，我们就说这两个平面互相平行（2
15、）两个平面相交如果两个平面有公共点，它们就相交于一条过该公共点的直线，就称这两个平面相交两个平面的位置关系没有公共点有一条公共直线5平面与平面位置关系的判定与性质定理画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行，如图1，而不应画成图2那样两个平面平行的画法图1图25平面与平面位置关系的判定与性质定理两个平面平行的判定判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行5平面与平面位置关系的判定与性质定理判定:如果一条直线垂直于两个平面,那么这两个平面平行一个结论：根据两个平面平行及直线和平面平行的定义，容易得出下面的结论：即：如果两个平面平行，那
16、么其中一个平面内的直线平行于另一个平面/,/aaa5平面与平面位置关系的判定与性质定理两个平面平行的性质性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行即：baba/a5平面与平面位置关系的判定与性质定理AB 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱.这两个半平面叫做二面角的面.3二面角的定义5平面与平面位置关系的判定与性质定理二面角的求法：几何法：向量法（单独介绍）锐二面角的射影公式：SScosPABOAOlD5平面与平面位置关系的判定与性质定理OABPABSS平面角的作法:一射二垂三连接平面角是直角的二面角叫做直二面角9直二面角：5平面与平
17、面位置关系的判定与性质定理平面与平面垂直的定义：记作：l画法：如果两个平面所成的二面角是直角（即成直二面角），就说这两个平面互相垂直5平面与平面位置关系的判定与性质定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直AB，AB .ABCDE两平面垂直的判定定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.平面平面，=CD，AB ，AB CD，B为垂足.AB 两平面垂直的性质定理5平面与平面位置关系的判定与性质定理例8(2009年广东卷)给定下列四个命题：若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；若一个平面经过另一个平面的垂线，那
18、么这两个平面相互垂直；垂直于同一直线的两条直线相互平行；若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中，为真命题的是A和B和C和D和两条直线相交直线平面内成立，空间不一定D5平面与平面位置关系的判定与性质定理5平面与平面位置关系的判定与性质定理例9（2009江苏卷）设和为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于；（2）若外一条直线l与内的一条直线平行，则l和平行；（3）设和相交于直线l，若内有一条直线垂直于l，则和垂直；（4）直线l与垂直的充分必要条件是l与内的两条直线垂直上面命题中，真命题的序号(1)(2)5平
19、面与平面位置关系的判定与性质定理例10(2009山东)已知,表示两个不同的平面，m为平面内的一条直线，则“”是“m”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件条件结论mmB5平面与平面位置关系的判定与性质定理例11（2009全国卷理）已知二面角-l-为60，动点P、Q分别在面、内，P到的距离为 ，Q到的距离为 ，则P、Q两点之间距离的最小值为32 3(A)1 (B)2 (C)2 3 (D)4l32 3ABPQCDACQ=60，AC=2PBD=60，DP=2222122 3PQAQAPAP2 3,3AQBPC（2009全国理）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1
20、中，ABAC，D、E分别为AA1、B1C的中点，DE平面BCC1.（I）证明：AB=AC（II）设二面角A-BD-C为60，求B1C与平面BCD所成的角的大小.ABCDA1B1C1EF解:()取BC的中点F,连AF,EFADEF为平行四边形,AF/DED、E分别为AA1、B1C的中点，另法:连DF,证明BDFCDF.DE平面BCC1.AF平面BCC1,AFBCABACAB=AC综合运用（II）设二面角A-BD-C为60，求B1C与平面BCD所成的角的大小.ABCDA1B1C1E解:()作AHBD于H,连接CH AHC=60ACH=30AHC就是二面角A-BD-C的平面角，设AB=AC=,则AH
21、=1,CH=2AD=,AA1=HBHABAD6/2B1C与平面BCD所成的角就是CE与平面BCD所成的角.FBC平面DEF平面BCD平面DEF在RtDEF中作EGDF,连接CGGECG就是所求角333,2CEEG36ECG=3030综合运用新疆王新敞特级教师源头学子 小屋http:/w ww.xj xc/w w http:/w ww.xj xc/源头学子 小屋特级教师王新敞新疆寄语以上通过例题的形式，熟悉了公理、定理、性质，及处理线面关系的判断与推理的分析观察思路.仅仅是起到一个抛砖引玉的作用.希望能使所有听课同学的思维得到升华.再见！奎屯王新敞新疆2007新疆奎屯特级教师http:/王新敞源头学子小屋谢谢大家！点滴积累 丰富人生 世间无所谓天才，它仅是刻苦加勤奋.知识是宝库，而实践是开启宝库的钥匙.
