1、专题四十五 空间中的垂直关系【高频考点解读】 1以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线、面垂直的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形垂直关系的简单命题【热点题型】题型一 垂直关系的基本问题例1、(1)设a，b是夹角为30的异面直线，则满足条件“a，b，且”的平面，()A不存在B有且只有一对C有且只有两对 D有无数对(2)已知直线l平面，直线m平面，有下列命题： lm；lm；lm；lm.其中，正确的命题序号有_【提分秘籍】 解决垂直关系的基本问题要注意(1)紧扣垂直关系的判定定理与性质定理(2)借助于图形去判断(3)举反例排除去判断【举一反三】
2、设，为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是()A若，n，mn，则m B若m，n，mn，则n C若n，n，m，则m D若m，n，mn，则 【热点题型】题型二 直线与平面垂直的判定与性质例2、 (2013年高考重庆卷)如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，PA2，BCCD2，ACBACD.(1)求证：BD平面PAC；(2)若侧棱PC上的点F满足PF7FC，求三棱锥PBDF的体积【提分秘籍】 证明直线和平面垂直的常用方法有(1)利用判定定理；(2)利用判定定理的推论(ab，ab)；(3)利用面面平行的性质(a，a)；(4)利用面面垂直的性质当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于
3、交线的直线垂直于另一个平面【举一反三】如图，在直棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，ABAC，AA13，D是BC的中点，点E在棱BB1上运动(1)求证：ADC1E；(2)当异面直线AC，C1E所成的角为60时，求三棱锥C1A1B1E的体积【热点题型】题型三 平面与平面垂直的判定与性质例3、如图，在平行四边形ABCD中，AB2BC4，ABC120，E，M分别为AB，DE的中点，将ADE沿直线DE翻折成ADE，F为AC的中点，AC4. (1)求证：平面ADE平面BCD；(2)求证：FB平面ADE. (2)取DC的中点N，连接FN，NB. ACDC4，F，N分别是AC，DC的中点， FNAD.【提
4、分秘籍】 1判定面面垂直的方法(1)面面垂直的定义；(2)面面垂直的判定定理(a，a)2在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直【举一反三】如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABAD，BAD60，E，F分别是AP，AD的中点求证：(1)直线EF平面PCD；(2)平面BEF平面PAD.证明：(1)在PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EFPD.又因为EF平面PCD，PD平面PCD，所以直线EF平面PCD.【热点题型】题型四 平行与垂直的综合问题 例4、(2013年高考北京卷)(本题满分14分)如图，
5、在四棱锥PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD，E和F分别是CD和PC的中点求证： (1)PA底面ABCD；(2)BE平面PAD；(3)平面BEF平面PCD.【解析】(1)因为平面PAD底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA底面ABCD.3分(2)因为ABCD，CD2AB，E为CD的中点，所以ABDE，且ABDE.4分所以ABED为平行四边形所以BEAD.6分又因为BE平面PAD，AD平面PAD，所以BE平面PAD.8分【提分秘籍】 空间线面平行，垂直的综合问题一直是命题的热点，多以解答题形式考查，此类题目重点考查了线、面、平行，垂直的
6、判定与性质，解答时易忽视平行垂直判定与性质定理中满足条件【高考风向标】 1（2014福建卷）在平面四边形ABCD中，ABBDCD1，ABBD，CDBD.将ABD沿BD折起，使得平面ABD平面BCD，如图15所示(1)求证：ABCD；(2)若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值图15【解析】解：(1)证明：平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，AB平面ABD，ABBD，AB平面BCD.又CD平面BCD，ABCD.(2)过点B在平面BCD内作BEBD.由(1)知AB平面BCD，BE平面BCD，BD平面BCD，ABBE，ABBD. 2（2014湖南卷）如图16所示，四棱柱AB
7、CD A1B1C1D1的所有棱长都相等，ACBDO，A1C1B1D1O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形(1)证明：O1O底面ABCD；(2)若CBA60，求二面角C1OB1D的余弦值图16 方法二：因为四棱柱ABCD A1B1C1D1的所有棱长都相等，所以四边形ABCD是菱形，因此ACBD.又O1O底面ABCD，从而OB，OC，OO1两两垂直 3（2014江西卷）如图16，四棱锥P ABCD中，ABCD为矩形，平面PAD平面ABCD.图16(1)求证：ABPD.(2)若BPC90，PB，PC2，问AB为何值时，四棱锥P ABCD的体积最大？并求此时平面BPC与平面DPC夹角的
8、余弦值【解析】解：(1)证明：因为ABCD为矩形，所以ABAD.又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以AB平面PAD，故ABPD. 5（2014辽宁卷）如图15所示，ABC和BCD所在平面互相垂直，且ABBCBD2，ABCDBC120，E，F分别为AC，DC的中点(1)求证：EFBC；(2)求二面角EBFC的正弦值图15 图2 6（2014新课标全国卷）如图15，三棱柱ABC A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，ABB1C.图15(1)证明：ACAB1；(2)若ACAB1，CBB160，ABBC，求二面角A A1B1 C1的余弦值 (2)因为ACAB1，且O为B1C的中
9、点，所以AOCO.又因为ABBC，所以BOA BOC.故OAOB，从而OA，OB，OB1两两垂直以O为坐标原点，OB的方向为x轴正方向，|OB|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.因为CBB160，所以CBB1为等边三角形，又ABBC，则A，B(1，0，0)，B1，C. 7（2014四川卷）三棱锥A BCD及其侧视图、俯视图如图14所示设M，N分别为线段AD，AB的中点，P为线段BC上的点，且MNNP.(1)证明：P是线段BC的中点；(2)求二面角A NP M的余弦值图14【解析】解：(1)如图所示，取BD的中点O，连接AO，CO.由侧视图及俯视图知，ABD，BCD为正三角形， (
10、2)方法一：如图所示，作NQAC于Q，连接MQ. 8（2014天津卷）如图14所示，在四棱锥P ABCD中，PA底面ABCD, ADAB，ABDC，ADDCAP2，AB1，点E为棱PC的中点(1)证明：BEDC；(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；(3)若F为棱PC上一点，满足BFAC，求二面角F AB P的余弦值【解析】解：方法一：依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系(如图所示)，可得B(1，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)C由E为棱PC的中点，得E(1，1，1) 9（2014浙江卷）如图15，在四棱锥A BCDE中，平面ABC平面BCDE，CDEBE
11、D90，ABCD2，DEBE1，AC.(1)证明：DE平面ACD；(2)求二面角B AD E的大小 (2)方法一：过B作BFAD，与AD交于点F，过点F作FGDE，与AE交于点G，连接BG.由(1)知DEAD，则FGAD.所以BFG是二面角B AD E的平面角在直角梯形BCDE中，由CD2BC2BD2，得BDBC.方法二：以D为原点，分别以射线DE，DC为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系D xyz，如图所示由题意知各点坐标如下：D(0，0，0)，E(1，0，0)，C(0，2，0)，A(0，2，)，B(1，1，0)设平面ADE的法向量为m(x1，y1，z1)，平面ABD的法向量为n(x2，y
12、2，z2)可算得AD(0，2，)，AE(1，2，)，(1，1，0) 10（2014重庆卷如图13所示，四棱锥PABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO底面ABCD，AB2，BAD，M为BC上一点，且BM，MPAP.(1)求PO的长；(2)求二面角APMC的正弦值图13【解析】解：(1)如图所示，连接AC，BD，因为四边形ABCD为菱形，所以AC BDO，且ACBD.以O为坐标原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系O xyz.因为BAD，所以OAABcos，OBABsin1，【随堂巩固】 1已知两条直线m，n，两个平面，.给出下面四个命题：mn，mn；，m，nmn；mn，m
13、n；，mn，mn.其中正确命题的序号是()A BC D 2用m，n表示两条不同的直线，表示平面，则下列命题正确的是()A若mn，n，则mB若m，n，则mnC若mn，n，则mD若m，n，则mn 3a，b表示直线，、表示平面若a，b，ab，则；若a，a垂直于内任意一条直线，则；若，a，b，则ab；若a不垂直平面，则a不可能垂直于平面内的无数条直线；若a，b，ab，则.上述五个命题中，正确命题的序号是()A BC D 答案：D4.如图，在四面体DABC中，若ABCB，ADCD，E是AC的中点，则下列正确的是()A平面ABC平面ABDB平面ABD平面BDCC平面ABC平面BDE，且平面ADC平面BDE
14、D平面ABC平面ADC，且平面ADC平面BDE 5已知，是两个不同的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是()A若m，n，则mnB若m，mn，则nC若m，n，则mnD若，n，mn，则m 6.如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为H，则以下命题中，错误的命题是()A点H是A1BD的垂心BAH垂直于平面CB1D1CAH的延长线经过点C1D直线AH和BB1所成角为45 7设，是空间内两个不同的平面，m，n是平面及外的两条不同直线从“mn；n；m”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：_(用序号表示) 8.如图，在三棱柱ABCA1B1C
15、1中，侧棱AA1底面ABC，底面是以ABC为直角的等腰直角三角形，AC2a，BB13a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF_时，CF平面B1DF. 9.如图，已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形，PA平面ABC，PA2AB，则下列结论中：PBAE；平面ABC平面PBC；直线BC平面PAE；PDA45.其中正确的有_(把所有正确的序号都填上) 10.如图，四边形ABCD是矩形，平面ABCD平面BCE，BEEC.(1)求证：平面AEC平面ABE；(2)点F在BE上，若DE平面ACF，求的值解析：(1)证明：ABCD为矩形， 11.如图所示，已知四棱锥的侧棱PD平面ABCD，且底面A
16、BCD是直角梯形，ADCD，ABCD，ABADCD2，点M在侧棱PC上(1)求证：BC平面BDP；(2)若tanPCD，点M是侧棱PC的中点，求三棱锥MBDP的体积解析：(1)证明：由已知可得BD2，又AD2，CD4，AB2， (2)如图，过M作MGDC交DC于点G. 12如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面ABC，ABAC2AA12，BAC120，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD上异于端点的点(1)在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l平面ADD1A1；(2)设(1)中的直线l交AC于点Q，求三棱锥A1QC1D的体积(锥体体积公式：VSh，其中S为底面面积，h为高)解析：(1)如图，在平面ABC内，过点P作直线lBC，因为l在平面A1BC外，BC在平面A1BC内，由直线与平面平行的判定定理可知，l平面A1BC.
