1、专题四十 数学归纳法【高频考点解读】 了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题【热点题型】题型一 数学归纳法例1、在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n3)条时，第一步检验第一个值n0等于()A1B2C3D0 解析：边数最少的凸n边形是三角形 答案：C【提分秘籍】 1数学归纳法主要用于研究与正整数有关的数学问题，但并不是所有与正整数有关的问题都能用数学归纳法证明2n0是命题成立的第一个正整数，并不一定所有的第一个允许值n0都是1.【举一反三】用数学归纳法证明：(n1)(n2)(nn)(nN*)的第二步中，当nk1时等式左边与nk时等式左边的差_.【热点题型】题型二 用数
2、学归纳法证明等式例2、求证：(n1)(n2)(nn)2n135(2n1)(nN*)【证明】当n1时，等式左边2，右边2，故等式成立；假设当nk时等式成立，即(k1)(k2)(kk)2k135(2k1)，那么当nk1时，左边(k11)(k12)(k1k1)(k2)(k3)(kk)(2k1)(2k2)2k135(2k1)(2k1)22k1135(2k1)(2k1)，这就是说当nk1时等式也成立综上可知原等式对于任意正整数n都成立【提分秘籍】利用数学归纳法证明恒等式时应注意的问题在证明过程中突出两个“凑”字，即一“凑”假设，二“凑”结论，关键是在证明nk1时要用上nk时的假设，其次要明确nk1时证明
3、的目标，充分考虑由nk到nk1时，命题形式之间的区别和联系，化异为同中间的计算过程千万不能省略【举一反三】用数学归纳法证明123(2n1)(n1)(2n1)时，从nk到nk1，左边需增添的代数式是()A2k2B2k3C2k1 D(2k2)(2k3) 【热点题型】题型三 证明不等式例3、已知数列an，an0，a10，aan11a.求证：当nN*时，anan1.【提分秘籍】 应用数学归纳法证明不等式应注意的问题(1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由nk成立，推证nk1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、
4、综合法、求差(求商)比较法、放缩法等证明【举一反三】已知数列an中，a1a(a2)，对一切nN*，an0，an1.求证：an2且an1c成立由an1ana易知an0，nN*.当nk1时，a1. 2（2014陕西卷） 设函数f(x)ln(1x)，g(x)xf(x)，x0，其中f(x)是f(x)的导函数(1)令g1(x)g(x)，gn1(x)g(gn(x)，nN，求gn(x)的表达式；(2)若f(x)ag(x)恒成立，求实数a的取值范围；(3)设nN，比较g(1)g(2)g(n)与nf(n)的大小，并加以证明【解析】解：由题设得，g(x)(x0) (3)由题设知g(1)g(2)g(n)，比较结果为
5、g(1)g(2)g(n)nln(n1)证明如下：方法三：如图，dx是由曲线y，xn及x轴所围成的曲边梯形的面积，而是图中所示各矩形的面积和，dxdxnln(n1)，结论得证3（2014重庆卷） 设a11，an1b(nN*)(1)若b1，求a2，a3及数列an的通项公式(2)若b1，问：是否存在实数c使得a2nca2n1对所有nN*成立？证明你的结论 (2)方法一：设f(x)1，则an1f(an)令cf(c)，即c1，解得c.下面用数学归纳法证明命题a2nca2n11.由得a2n1，即(a2n1)2a2a2n2，因此a2nf(a2n1)，即a2n1a2n2.所以a2n11，解得a2n1.综上，由知存在c使a2nc对一切正整数n都成立，猜想正整数a的最大值，并证明结论解析：当n1时，即，所以a.当n1时，已证；假设当nk时，不等式成立，即.则当nk1时，有. 12.如图，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，Pn(xn，yn)(0y1y2yn)是曲线C：y23x(y0)上的n个点，点Ai(ai,0)(i1,2,3，n)在x轴的正半轴上，且Ai1AiPi是正三角形(A0是坐标原点)(1)写出a1，a2，a3；(2)求出点An(an,0)(nN*)的横坐标an关于n的表达式并证明下面用数学归纳法予以证明：当n1时，命题显然成立