1、广东省肇庆市2020届高三数学第三次统一检测试题 文（含解析）一、选择题（共12小题）1.已知集合Ax|x10，Bx|x22x80，则AB（ ）A. 4，+）B. 1，4C. 1，2D. 2，+）【答案】B【解析】【分析】求出集合A，B，由此能求出AB.【详解】集合Ax|x10x|x1，Bx|x22x80x|2x4，ABx|1x41，4.故选：B.【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.2.复数z的共轭复数满足，则z（ ）A. 2+iB. 2iC. l+2iD. 12i【答案】A【解析】【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简求得，再由共轭
2、复数的概念得答案.【详解】由5，得，z2+i.故选：A.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念与复数模的求法，是基础题.3.在等差数列an中，前n项和Sn满足S8S345，则a6的值是（ ）A. 3B. 5C. 7D. 9【答案】D【解析】【分析】由已知结合等差数列的性质即可求解.【详解】因为S8S3a4+a5+a6+a7+a845，由等差数列的性质可得，5a645，则a69.故选：D.【点睛】本题主要考查了等差数列的性质的简单应用，属于基础试题.4.在中，则在方向上的投影是（ ）A. 4B. 3C. -4D. -3【答案】D【解析】分析：根据平面向量的数量积可得，再结合图
3、形求出与方向上的投影即可.详解：如图所示：，又，在方向上的投影是：，故选D.点睛：本题考查了平面向量的数量积以及投影的应用问题，也考查了数形结合思想的应用问题.5.设，满足约束条件，则的最大值是( )A. 0B. 3C. 4D. 5【答案】D【解析】【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数对应的直线进行平移，可得最优解，然后求解即可【详解】解：作出，满足约束条件表示的平面区域得到如图阴影部分及其内部，其中，1 ，为坐标原点设，将直线进行平移，当经过点时，目标函数达到最大值 2，故选：【点睛】本题考查通过几何法求目标函数的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规
4、划等知识，属于基础题6.命题p：曲线yx2的焦点为；命题q：曲线的渐近线方程为y2x；下列为真命题的是（ ）A. pqB. pqC. p（q）D. （p）（q）【答案】B【解析】【分析】求出抛物线的焦点坐标，双曲线的渐近线方程，判断两个命题的真假，即可得到选项.【详解】曲线yx2的焦点为（0，），所以P是假命题；是真命题，曲线的渐近线方程为y2x，q是真命题，所以是真命题.故选：B.【点睛】本题考查命题的真假的判断与应用，抛物线以及双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查.7.某企业引进现代化管理体制，生产效益明显提高.2018年全年总收入与2017年全年总收入相比增长了一倍，实现翻番.同时该
5、企业的各项运营成本也随着收入的变化发生了相应变化.下图给出了该企业这两年不同运营成本占全年总收入的比例，下列说法正确的是（ ）A. 该企业2018年原材料费用是2017年工资金额与研发费用的和B. 该企业2018年研发费用是2017年工资金额、原材料费用、其它费用三项的和C. 该企业2018年其它费用是2017年工资金额的D. 该企业2018年设备费用是2017年原材料的费用的两倍【答案】B【解析】【分析】先对折线图信息的理解及处理，再结合数据进行简单的合情推理逐一检验即可得解【详解】解：由折线图可知：不妨设2017年全年的收入为t，则2018年全年的收入为2t.对于选项A，该企业2018年原
6、材料费用为0.32t0.6t，2017年工资金额与研发费用的和为0.2t+0.1t0.3t，故A错误；对于选项B，该企业2018年研发费用为0.252t0.5t，2017年工资金额、原材料费用、其它费用三项的和为0.2t+0.15t+0.15t0.5t，故B正确；对于选项C，该企业2018年其它费用是0.052t0.1t，2017年工资金额是0.2t，故C错误；对于选项D，该企业2018年设备费用是0.22t0.4t，2017年原材料的费用是0.15t，故D错误.故选：.【点睛】本题考查了对折线图信息的理解及进行简单的合情推理，属于基础题8.函数（其中为自然对数的底数）的图象大致为（ ）A.
7、B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先根据函数的奇偶性排除A、C,再由时,的趋向性判断选项即可【详解】由题,的定义域为,因为,所以是偶函数,图象关于轴对称,故排除A、C；又因为,则当时,所以,故选：D【点睛】本题考查函数奇偶性的应用,考查函数图象9.已知的取值如下表：从散点图可以看出与线性相关，且回归方程为，则A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：点在回归直线上，计算得回归方程过点（2，4.5）代入得4.5=0.952+a，a=2.6；考点：回归方程10.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的表面积为（ ）A. B. C
8、. D. 【答案】B【解析】【分析】三棱锥的外接球即为长方体的外接球，求出长方体的外接球表面积，即可得到本题的答案.【详解】在长为1，宽为1，高为2的长方体画出该三棱锥的直观图，如图中三棱锥A-BCD.该三棱锥的外接球即为长方体的外接球，故球的半径，所以外接球的表面积.故选：B【点睛】本题主要考查由三视图还原几何体，以及几何体外接球的表面积计算，难度适中.11.已知a2log32，b21.5，c20.5，则（ ）A. abcB. cabC. bcaD. bac【答案】C【解析】【分析】利用指数与对数函数的单调性即可得出.【详解】，故选：C.【点睛】本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能
9、力与计算能力，属于基础题.12.在正三棱锥PABC中，PA，PB，PC两两垂直，点E在线段AB上，且AE2EB，过点E作该正三棱锥外接球的截面，则所得截面圆面积的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】构造以PA，PB，PC为棱长的正方体PADBCFGH，且该正方体棱长为，以B为原点，BP为x轴，BD为y轴，BH为z轴，建立空间直角坐标系，则该正三棱锥外接球球心为AH中点O，半径为R，求出EO，当所得截面圆面积取最小值时截面圆的圆心为E，从而当所得截面圆面积取最小值时截面圆的半径为r，由此能求出所得截面圆面积的最小值.【详解】在正三棱锥PABC中，PA，PB，PC两两垂
10、直，构造以PA，PB，PC为棱长的正方体PADBCFGH，且该正方体棱长为，以B为原点，BP为x轴，BD为y轴，BH为z轴，建立空间直角坐标系，则该正三棱锥外接球球心为AH中点O，半径为R，点E在线段AB上，且AE2EB，E（，0），O（），EO，过点E作该正三棱锥外接球的截面，当所得截面圆面积取最小值时截面圆的圆心为E，当所得截面圆面积取最小值时截面圆的半径为：r，过点E作该正三棱锥外接球的截面，则所得截面圆面积的最小值为Sr2.故选：A.【点睛】本题考查截面圆面积的最小值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5
11、分，共20分.13.九章算术中“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半问何日相逢，各穿几何？题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半”，如果墙厚，_天后两只老鼠打穿城墙【答案】6【解析】大老鼠每天打洞的距离是首项为1，公比为2的等比数列，小老鼠每天打洞的距离是首项为1，公比为的等比数列所以距离之和所以这两只老鼠相逢所需天数为6天.14.曲线在点（1，2）处的切线方程为_【答案】【解析】设，则，所以，所以曲线在点处的切线方程为，即点睛:求曲线的切线方程是导数的
12、重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以为切点的切线方程是若曲线在点处的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为15.已知为锐角，则sin_.【答案】【解析】【分析】先利用为锐角，求得，又sin，再利用两角差的正弦公式即可求出结果.【详解】为锐角，sin，故答案为：.【点睛】本题考查的知识点是两角和与差的正弦公式，诱导公式，难度不大，属于基础题.16.已知点是双曲线左支上一点，是双曲线的左右焦点，且双曲线的一条渐近线恰是线段的中垂线，则该双曲线的离心率是_ .【答案】【解析】【分析】根据题意得，通过斜率以及直角三角形关系建立等量关系，结
13、合双曲线的定义求解离心率.【详解】由题：双曲线的一条渐近线恰是线段的中垂线，O是的中点，所以渐近线与平行，所以，所以，又所以，所以，离心率.故答案为：【点睛】此题考查求双曲线的离心率，关键在于根据题意找出等量关系，结合几何特征求解.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知在ABC中，角A、B、C对应的边分别为a、b、c，.（1）求A；（2）若b4，c6，求sinB的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用，结合范围0A，0B即可解得A的值.（2）由余弦定理可得a的值，由正弦定理可求sinB的值.【详解】（1）由asinB及正弦定理可
14、得，因为A+B+C，所以，又，所以，因为0A，0B，所以，所以，因此，即.（2）由余弦定理可得，所以，由正弦定理得，得.【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.18.某快递公司为了解本公司快递业务情况，随机调查了100个营业网点，得到了这些营业网点2019年全年快递单数增长率x的频数分布表：（1）分别估计该快递公司快递单数增长率不低于40%的营业网点比例和快递单数负增长的营业网点比例；（2）求2019年该快递公司快递单数增长率的平均数和标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）.（精确到0.01）
15、参考数据：【答案】（1）快递单数增长率不低于40%的营业网点比例为21%；快递单数负增长的营业网点比例为2%（2）平均数的估计值为30%，标准差的估计值为17%【解析】【分析】（1）根据频数分布表得，所调查100个营业网点中，快递单数增长率不低于的营业网点的频率为0.21，快递单数负增长的营业网点的频率为0.02，由此能求出结果.（2）求出0.0296，S2，由此能求出2019年该快递公司快递单数增长率的平均数的估计值和标准差的估计值.【详解】（1）根据频数分布表得，所调查100个营业网点中，快递单数增长率不低于的营业网点的频率为，快递单数负增长的营业网点的频率为，用样本频率分布估计总体分布得
16、该快递公司快递单数增长率不低于40%的营业网点比例为21%，快递单数负增长的营业网点比例为2%.（2），S2（0.100.3）2（0.100.3）2（0.300.3）2（0.500.3）2（0.700.3）2，2019年该快递公司快递单数增长率的平均数的估计值为30%，标准差的估计值为17%.【点睛】本题考查频率、平均数、标准差的求法，考查频数分布表的性质等基础知识，考查数据分析能力、运算求解能力，是基础题.19.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面ABB1A1是边长为2的菱形，且CACB1.（1）证明：面CBA1面CB1A；（2）若BAA160，A1CBCBA1，求点C到平面A1BC1的
17、距离.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）设A1BAB1O，连接CO.证明A1BAB1，COAB1，得到AB1面CA1B，然后证明面CBA1面CB1A.（2）说明线段CH的长就是点C到平面A1BC1的距离.然后转化求解即可.【详解】（1）证明：设A1BAB1O，连接CO.因为侧面ABB1A1是菱形，所以A1BAB1，又因为CACB1，所以COAB1，又A1BCOO，所以AB1面CA1B，又AB1面CAB1，所以面CBA1面CB1A.（2）在菱形ABB1A1中，因BAA160，所以ABA1是等边三角形，可得A1B2，所以BC2BB1，所以侧面BB1C1C是菱形，故CB1C1B，
18、（*）在等边三角形CA1B中，A1BCO，又A1BAB1，且COAB1O，所以A1B面CAB1，又CB1面CAB1，所以CB1A1B，结合（*）以及A1BC1BB得CB1面A1C1B，设CB1C1BH，则线段CH的长就是点C到平面A1BC1的距离.经计算得，所以，即点C到平面A1BC1的距离为.【点睛】本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，空间点线面距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力.20.已知点F1为椭圆1（ab0）的左焦点，在椭圆上，PF1x轴.（1）求椭圆的方程；（2）已知直线l：ykx+m与椭圆交于（1，2），B两点，O为坐标原点，且OAOB，O到直线l的距离是否为定值？若是，
19、求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）（2）是定值，定值为【解析】【分析】（1）由PF1x轴可得c1，即可得椭圆的左右焦点的坐标，由椭圆的定义求出a的值，由a，b，c的关系求出a，b的值，进而求出椭圆的方程；（2）将直线l与椭圆的方程联立求出两根之积，由OAOB，可得0，可得k，m的关系，求出原点到直线的距离的表达式，可得为定值.【详解】（1）令焦距为2，依题意可得F1（1，0），右焦点F2（1，0），所以，所以椭圆方程为； （2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由整理可得（2k2+1）x2+4kmx+2m220，.所以y1y2（kx1+m）（kx2+m）k2x1x2+km（x1
20、+x2）+m2k2kmm2，由，得3m22（k2+1），所以原点O到直线l的距离为，为定值.【点睛】本题主要考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，属于中档题.21.设函数.（1）求f（x）的单调区间；（2）当x0时，exax2xa0成立，求正实数a取值范围.【答案】（1）单调增区间为，减区间为（2）【解析】【分析】（1），令 ，得x1或，a0，即可得出单调性；（2）由exax2xa0，可得.对a分类讨论，利用（1）的结论即可得出a的取值范围.【详解】（1）令，得x1或，因为a0，所以当或x1时，f（x）0；当时，f（x）0，所以f（x）的单调增区间为，减区间为，.（2）由exax2xa0可得.由
21、（1）可知，当，即0a1时，f（x）在（0，1）单调递增，在（1，+）上单调递减，依题意有，即；当a1时，与题意矛盾.所以a的取值范围是【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy中，曲线C的方程为.在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，P的极坐标为，直线l过点P.（1）若直线l与OP垂直，求直线l的直角标方程：（2）若直线l与曲
22、线C交于A，B两点，且，求直线l的倾斜角.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换求出结果.（2）利用一元二次方程根和系数关系式应用和三角函数关系式的恒等变换和正弦函数的值的应用求出结果.【详解】（1）P的极坐标为，转换为直角坐标为（），所以直线OP的斜率为，直线l的斜率为，所以直线l的方程为，整理得，（2）把直线的方程转换为参数方程为（t为参数），代入曲线C的方程为的方程为.所以，则：cos2+2sin22，由于cos2+sin21，所以sin1（负值舍去），所以，故直线的倾斜角为.【点睛】本题考查的知识要点：参数方程、极坐标
23、方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.选修4-5：不等式选讲23.设函数f（x）|xa|+|x+b|，ab0.（1）当a1，b1时，求不等式f（x）3解集；（2）若f（x）的最小值为2，求的最小值.【答案】（1）x|（2）【解析】【分析】（1）原不等式等价于|x1|+|x+1|3，然后对x分类去绝对值，化为关于x的一元一次不等式求解，取并集得答案；（2）f（x）|xa|+|x+b|b+a|，当且仅当（xa）（x+b）0时等号成立.可得f（x）的最小值为|b+a|2.结合ab0，得|b+a|a|+|b|2，则，展开后利用基本不等式求最值.【详解】（1）原不等式等价于|x1|+|x+1|3，当x1时，可得x1+x+13，解得1x；当1x1时，可得x+1+x+13，得23成立；当x1时，可得x+1x13，解得x1.综上所述，原不等式的解集为x|；（2）f（x）|xa|+|x+b|b+a|，当且仅当（xa）（x+b）0时等号成立.f（x）的最小值为|b+a|，即|b+a|2.又ab0，|b+a|a|+|b|2，.当且仅当时，等号成立，的最小值为.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，训练了利用基本不等式求最值，考查数学转化思想方法，是中档题.