1、2015年江苏省大联考高考数学五模试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.把答案填在答题卷中的横线上.1已知复数z=（1+i）（2i）（i为虚数单位），则=2集合M=x|0x3，N=xN|0x11，则MN=3某算法流程图如图所示，则输出k的值是4用反证法证明命题“若正整数a，b，c满足b22ac=0，则a，b，c中至少有一个是偶数”时，反设应为5已知i是虚数单位，则|=6如图茎叶图表示的是甲，乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为7某商品在5家商场的售价x（元）和销售量y（件）之间的一组数据如下表所示：价格x（元）99.
2、51010.511销售量y（件）11a865由散点图可知，销售量y与价格x之间有较好的线性相关关系，且回归直线方程是=3.2x+4a，则a=8关于x，y的不等式组所构成的区域面积为9某高校在某年的自主招生考试成绩中随机抽取50名学生的笔试成绩，绘制成频率分布直方图如图所示，若要从成绩在85，90），90，95），95，100三组内的学生中，用分层抽样的方法抽取12人参加面试，则成绩在90，100内的学生应抽取的人数为10在ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若acosB+bcosA=2，则c=11已知抛物线y2=2px（p0）的焦点为F，A是抛物线上一点，直线OA的斜率为（O为坐标
3、原点），且A到F的距离为3，则p=12已知Sn是数列an的前n项和，向量=13已知2a=3b=6c，kZ，不等式k恒成立，则整数k的最大值为14设Sn为等差数列an的前n项和，S8=4a3，a7=2，将此等差数列的各项排成如图所示三角形数阵：若此数阵中第i行从左到右的第j个数是588，则i+j=二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15城市公交车的数量若太多则容易造成资的浪费；若太少又难以满足乘客需求南充市公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间作为样本分成5组，如下表所示（单位：分钟）：）组别候车时间人数一0，5）2二5，10
4、）6三10，15）4四15，20）2五20，251（1）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；（2）若从上表第三、四组的6人中任选2人作进一步的调查，求抽到的两人恰好自不同组的概率16设a，b，c均为正实数（1）若a+b+c=1，求证：a2+b2+c2；（2）求证：17某城市随机抽取一年（365天）内100天的空气质量指数API的监测数据，统计结果如下：API0，50（50，100（100，150（150，200（200，250（250，300300空气质量优良轻微污染轻度污染中度污染中度重污染重度污染天数413183091115（1）若某企业每天由空气污染造成的经济损失S（单位：元）
5、与空气质量指数API（记为）的关系式为：S=试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元的概率；（2）若以上表统计的频率作为概率，求该城市某三天中恰有一天空气质量为轻度污染的概率（假定这三天中空气质量互不影响）18如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，AC=BC=CC1=2，M，N分别为AC，B1C1的中点（）求线段MN的长；（）求证：MN平面ABB1A1；（）线段CC1上是否存在点Q，使A1B平面MNQ？说明理由19已知点P（4，4），圆C：（xm）2+y2=5（m3）与椭圆E： +=1（ab0）有一个公共点A（3，1），F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，直
6、线PF1与圆C相切（）求m的值与椭圆E的方程；（）设Q为椭圆E上的一个动点，求的取值范围20定义函数fk（x）=为f（x）的k阶函数（1）求f（x）的一阶函数f1（x）的单调区间；（2）讨论方程f2（x）=1的解的个数2015年江苏省大联考高考数学五模试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.把答案填在答题卷中的横线上.1已知复数z=（1+i）（2i）（i为虚数单位），则=3i【考点】复数的代数表示法及其几何意义【专题】数系的扩充和复数【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出【解答】解：由z=（1+i）（2i）=3+i，=3i故答案为：3i【点
7、评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了计算能力，属于基础题2集合M=x|0x3，N=xN|0x11，则MN=1，2【考点】交集及其运算【专题】集合【分析】求出N中不等式解集的自然数解确定出N，找出M与N的交集即可【解答】解：M=x|0x3，N=xN|0x11=xN|1x2=1，2，MN=1，2故答案为：1，2【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键3某算法流程图如图所示，则输出k的值是5【考点】程序框图【专题】计算题；算法和程序框图【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出该程序运行后输出的结果【解答】解：模拟程序框图的运行过程，得；k=1，S=1
8、01=9；k=2，S=92=7；k=3，S=73=4；k=4，S=44=0；S0，输出k=4+1=5故答案为：5【点评】本题考查了循环结构的程序框图应用问题，解题时应模拟程序的运行过程，是基础题目4用反证法证明命题“若正整数a，b，c满足b22ac=0，则a，b，c中至少有一个是偶数”时，反设应为假设a，b，c都是奇数【考点】反证法与放缩法【专题】证明题；推理和证明【分析】利用反证法证明的步骤，从问题的结论的反面出发否定即可【解答】解：假设a，b，c都是奇数“至少有一个偶数”的否定为“都不是偶数”，即反设应为“假设a，b，c都是奇数”故答案为：假设a，b，c都是奇数【点评】此题主要考查了反证法
9、，反证法的一般步骤是：假设命题的结论不成立；从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确5已知i是虚数单位，则|=【考点】复数代数形式的乘除运算；复数求模【专题】数系的扩充和复数【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简，则答案可求【解答】解：由=，则|=故答案为：【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题6如图茎叶图表示的是甲，乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为【考点】茎叶图；众数、中位数、平均数【专题】概率与统计【分析】由已知的茎叶图，求出甲乙两人的平均成绩，然后求出
10、乙的平均成绩不小于甲的平均成绩的概率，得到答案【解答】解：由已知中的茎叶图可得甲的5次综合测评中的成绩分别为88，89，90，91，92，则甲的平均成绩：（88+89+90+91+92）=90设污损数字为x则乙的5次综合测评中的成绩分别为83，83，87，99，90+X则乙的平均成绩：（83+83+87+99+90+x）=88.4+，当x=9，甲的平均数乙的平均数，即乙的平均成绩超过甲的平均成绩的概率为，当x=8，甲的平均数=乙的平均数，即乙的平均成绩不小于均甲的平均成绩的概率为，甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为1=故答案为：【点评】本题考查的知识点是平均数，茎叶图，古典概型概率计算公式，
11、要求会读图，并且掌握茎叶图的特点：个位数从主干向外越来越大属简单题7某商品在5家商场的售价x（元）和销售量y（件）之间的一组数据如下表所示：价格x（元）99.51010.511销售量y（件）11a865由散点图可知，销售量y与价格x之间有较好的线性相关关系，且回归直线方程是=3.2x+4a，则a=10【考点】两个变量的线性相关【专题】计算题；概率与统计【分析】根据回归直线过样本中心点（，），求出平均数，代入回归直线方程求出a的值即可【解答】解：根据题意得，=10，=+6，因为回归直线过样本中心点（，），所以+6=3.2+4a，解得a=10故答案为：10【点评】本题考查了平均数的计算问题，也考查
12、了回归直线过样本中心点的应用问题，是基础题目8关于x，y的不等式组所构成的区域面积为9【考点】二元一次不等式（组）与平面区域【专题】不等式的解法及应用【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据图象的形状进行求解即可【解答】解：根据约束条件画出可行域，如图所示则A（1，1），B（4，1），C（4，5），D（1，3），则直角梯形ABCD的面积为3（2+4）=9故答案为：9【点评】本题主要考查平面区域面积的计算，作出不等式组对应的平面区域是解决本题的关键9某高校在某年的自主招生考试成绩中随机抽取50名学生的笔试成绩，绘制成频率分布直方图如图所示，若要从成绩在85，90），90，95），95，100三组
13、内的学生中，用分层抽样的方法抽取12人参加面试，则成绩在90，100内的学生应抽取的人数为6【考点】频率分布直方图【专题】概率与统计【分析】由频率分布直方图，先求出a=0.040再求出第3组、第4组和第5组的人数，由此能求出利用分层抽样在30名学生中抽取12名学生，成绩在90，100内的学生应抽取的人数【解答】解：由频率分布直方图，得：（0.016+0.064+0.06+a+0.02）5=1，解得a=0.040第3组的人数为0.060550=15，第4组的人数为0.040550=10，第5组的人数为0.020550=5，所以利用分层抽样在30名学生中抽取12名学生，第4组应抽取12=4人，第5
14、组应抽取12=2人则成绩在90，100内的学生应抽取的人数为6故答案为：6【点评】本题考查分层抽样方法的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的合理运用10在ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若acosB+bcosA=2，则c=2【考点】余弦定理【专题】计算题；解三角形【分析】直接利用余弦定理，代入化简，即可求出c【解答】解：由acosB+bcosA=2得a+b=2，所以c=2故答案为：2【点评】本题考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，比较基础11已知抛物线y2=2px（p0）的焦点为F，A是抛物线上一点，直线OA的斜率为（O为坐标原点），且A到F的距离为3，则
15、p=2【考点】抛物线的简单性质【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】设A（a，b），则有=，即b=a，代入抛物线方程可得p=a，又由A到F的距离为3，得a+=3，即可解得答案【解答】解：设A（a，b），则有=，即b=a，（ a）2=2pa，可得p=a，又a+=3，p=2故答案为：2【点评】本题考查的知识点是抛物线的简单性质，其中根据已知A到F的距离为3，得到a+=3是解答的关键12已知Sn是数列an的前n项和，向量=【考点】等差数列的性质；数量积判断两个平面向量的垂直关系【专题】计算题【分析】由已知中向量，且，结合两向量垂直数量积为0，我们易得到4（an1）2Sn=0，利用数列的性
16、质我们易判断数列an是一个等比数列，代入数列前n项和公式，即可得到效果【解答】解：向量，且4（an1）2Sn=0an=2an1即数列an是以2为公比的等比数列则=故答案为：【点评】本题考查的知识点是等比数列的性质，数量积判断两个向量的垂直关系，其中利用两向量垂直数量积为0，得到4（an1）2Sn=0，是解答本题的关键13已知2a=3b=6c，kZ，不等式k恒成立，则整数k的最大值为4【考点】函数恒成立问题【专题】函数的性质及应用【分析】根据指数幂和对数的运算性质，结合基本不等式即可得到结论【解答】解：设2a=3b=6c=t，（t0），则a=log2t，b=log3t，c=log6t，法1： =
17、2+，lg20.310，lg30.477，则2+2+1.54+0.65=4.19不等式k恒成立，k4，整数k的最大值为4，法2： =2+2，不等式k恒成立，k4，故答案为：4【点评】本题主要考查与对数有关的恒成立问题，利用对数的运算法则结合基本不等式的性质是解决本题的关键14设Sn为等差数列an的前n项和，S8=4a3，a7=2，将此等差数列的各项排成如图所示三角形数阵：若此数阵中第i行从左到右的第j个数是588，则i+j=29【考点】归纳推理【专题】计算题；推理和证明【分析】设等差数列an的公差为d，代入已知可解得a1和d，可得通项公式，确定第i行的第一个数，利用数阵中第i行从左到右的第j个
18、数是588，可得答案【解答】解：设等差数列an的公差为d，S8=4a3，a7=2，8a1+28d=4（a1+2d），a7=a1+6d=2，解得a1=10，d=2，an=10+（n1）（2）=2n+12，设第i行的第一个数为bi，则b2b1=d，b3b2=3d，bnbn1=（2n3）d，bnb1=d+3d+（2n3）d=d=2（n1）2，bn=2（n1）2+10，n=18，b18=568，588=568+（111）（2），i+j=18+11=29，故答案为：29【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，考查归纳推理，属基础题二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或
19、演算步骤.15城市公交车的数量若太多则容易造成资的浪费；若太少又难以满足乘客需求南充市公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间作为样本分成5组，如下表所示（单位：分钟）：）组别候车时间人数一0，5）2二5，10）6三10，15）4四15，20）2五20，251（1）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；（2）若从上表第三、四组的6人中任选2人作进一步的调查，求抽到的两人恰好自不同组的概率【考点】古典概型及其概率计算公式【专题】概率与统计【分析】（1）候车时间少于10分钟的人数所占的比例为，用60乘以此比例，即得所求（2）从这6人中选2人作进一步的问卷调查，用列
20、举法列出上述所有可能情况共有15种，用列举法求得抽到的两人恰好自不同组的情况共计8种，由此求得抽到的两人恰好自不同组的概率【解答】解：（1）候车时间少于10分钟的概率为，所以候车时间少于10分钟的人数为人6分（2）将第三组乘客编号为a1，a2，a3，a4，第四组乘客编号为b1，b2从6人中任选两人包含一下基本事件：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，a4），（a2，b1），（a2，b2），（a3，a4），（a3，b1），（a3，b2），（a4，b1），（a4，b2），（b1，b2）其中恰好自不同组包含8个基本事件，所以，所求概
21、率为12分【点评】本题考查的知识点是频率分布直方表，古典概型概率公式，是统计与概率的简单综合应用，难度不大，属于基础题16设a，b，c均为正实数（1）若a+b+c=1，求证：a2+b2+c2；（2）求证：【考点】不等式的证明【专题】推理和证明【分析】（1）利用（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=1，利用重要不等式，通过放缩证明即可（2）利用分析法由，得到条件（ab）2+（bc）2+（ca）20，推出结论【解答】证明：（1）a+b+c=1，（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=1，2aba2+b2，2bcc2+b2，2aca2+c2，a2+b2+c2
22、+2ab+2bc+2ac=13（a2+b2+c2），a2+b2+c2（2）由已知得a+b+c0，欲证，只需证，只需证3（a2+b2+c2）（a+b+c）2，只需证2a2+2b2+2c22ab2bc2ac0，即证（ab）2+（bc）2+（ca）20，上述不等式显然成立，故原不等式成立【点评】本题考查不等式的证明，考查分析法以及综合法的应用，考查逻辑推理能力17某城市随机抽取一年（365天）内100天的空气质量指数API的监测数据，统计结果如下：API0，50（50，100（100，150（150，200（200，250（250，300300空气质量优良轻微污染轻度污染中度污染中度重污染重度污染天
23、数413183091115（1）若某企业每天由空气污染造成的经济损失S（单位：元）与空气质量指数API（记为）的关系式为：S=试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元的概率；（2）若以上表统计的频率作为概率，求该城市某三天中恰有一天空气质量为轻度污染的概率（假定这三天中空气质量互不影响）【考点】相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式【专题】概率与统计【分析】（1）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元”为事件A，由已知条件求出频数，由此能求出该天经济损失S大于200元且不超过600元的概率（2）记空气质量轻度污染为事件B
24、，由已知条件求出P（B）=，由此能求出三天中恰有一天空气质量为轻度污染的概率【解答】解：（1）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元”为事件A，由200S600，得150250，频数为39，P（A）=（2）记空气质量轻度污染为事件B，由（1）知P（B）=，则P（）=，记三天中恰有一天空气质量轻度污染为事件C，则P（C）=+=0.441故三天中恰有一天空气质量为轻度污染的概率为0.441【点评】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用18如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，AC=BC=CC1=2，M，N分别为A
25、C，B1C1的中点（）求线段MN的长；（）求证：MN平面ABB1A1；（）线段CC1上是否存在点Q，使A1B平面MNQ？说明理由【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定【专题】空间位置关系与距离【分析】（）连接CN，易证AC平面BCC1B1由勾股定理可得CN的值，进而可得MN的长；（）取AB中点D，连接DM，DB1，可得四边形MDB1N为平行四边形，可得MNDB1，由线面平行的判定定理可得MN平面ABB1A1；（）当Q为CC1中点时，有A1B平面MNQ 连接BC1，易证QNBC1可得A1BQN，A1BMQ，由线面垂直的判定可得【解答】解：（）连接CN，因为ABCA1B1C1是直三棱柱
26、，所以CC1平面ABC，所以ACCC1，因为ACBC，所以AC平面BCC1B1 因为MC=1，CN=，所以MN= （）证明：取AB中点D，连接DM，DB1 在ABC中，因为M为AC中点，所以DMBC，DM=BC在矩形B1BCC1中，因为N为B1C1中点，所以B1NBC，B1N=BC所以DMB1N，DM=B1N所以四边形MDB1N为平行四边形，所以MNDB1 因为MN平面ABB1A1，DB1平面ABB1A1所以MN平面ABB1A1 （）解：线段CC1上存在点Q，且Q为CC1中点时，有A1B平面MNQ 证明如下：连接BC1，在正方形BB1C1C中易证QNBC1又A1C1平面BB1C1C，所以A1C
27、1QN，从而NQ平面A1BC1所以A1BQN 同理可得A1BMQ，所以A1B平面MNQ故线段CC1上存在点Q，使得A1B平面MNQ 【点评】本题考查直线与平面平行于垂直的判定，熟练掌握判定定理是解决问题的关键，属中档题19已知点P（4，4），圆C：（xm）2+y2=5（m3）与椭圆E： +=1（ab0）有一个公共点A（3，1），F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF1与圆C相切（）求m的值与椭圆E的方程；（）设Q为椭圆E上的一个动点，求的取值范围【考点】圆与圆锥曲线的综合【专题】计算题；压轴题【分析】（1）先利用点A在圆上求出m，再利用直线PF1与圆C相切求出直线PF1与的方程以及c，再利
28、用点A在椭圆上求出2a，即可求出椭圆E的方程；（2）先把用点Q的坐标表示出来，再利用Q为椭圆E上的一个动点以及基本不等式即可求出的取值范围【解答】解：（1）点A代入圆C方程，得（3m）2+1=5m3，m=1设直线PF1的斜率为k，则PF1：y=k（x4）+4，即kxy4k+4=0直线PF1与圆C相切，圆C：（x1）2+y2=5，解得当k=时，直线PF1与x轴的交点横坐标为，不合题意，舍去当k=时，直线PF1与x轴的交点横坐标为4，c=4F1（4，0），F2（4，0）故2a=AF1+AF2=，a2=18，b2=2椭圆E的方程为：（2），设Q（x，y），即x2+（3y）2=18，而x2+（3y）2
29、2|x|3y|，186xy18则（x+3y）2=x2+（3y）2+6xy=18+6xy的取值范围是0，36x+3y的取值范围是6，6x+3y6的范围只：12，0即的取值范围是12，0【点评】本题是对圆与椭圆知识的综合考查当直线与圆相切时，可以利用圆心到直线的距离等于半径求解，也可以把直线与圆的方程联立让对应方程的判别式为0求解20定义函数fk（x）=为f（x）的k阶函数（1）求f（x）的一阶函数f1（x）的单调区间；（2）讨论方程f2（x）=1的解的个数【考点】利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断【专题】导数的综合应用【分析】（1）求出函数的导数f1（x），令f1（x）=0，讨论
30、当当a=0时，当a0时，当a0时，f1（x）的单增区间，单减区间（2）由方程f2（x）=1，当a=0时，方程无解；当a0时， =构造函数g（x）=（x0），求出对数g（x），利用函数的极值点，单调性，讨论出当0，即a2e时，方程有两个不同解当，即0a2e时，方程有0个解当=或0即a=2e或a0时，方程有唯一解【解答】解：（1）f1（x）=（x0），f1（x）=（x0），令f1（x）=0，当a0时，x=e当a=0时，f1（x）无单调区间；当a0时，f1（x）的单增区间为（0，e），单减区间为（e，+）；当a0时，f1（x）的单增区间为（e，+），单减区间为（0，e）（2）由=1，当a=0时，方程无解；当a0时， =令g（x）=（x0），则g（x）=由g（x）=0得x=，从而g（x）在（0，）上单调递增，在（，+）上单调递减g（x）max=g（）=当x0时，g（x），当x+时，g（x）0当0，即a2e时，方程有两个不同解当，即0a2e时，方程有0个解当=或0即a=2e或a0时，方程有唯一解综上，当a2e时，方程有两个不同解；当0a2e时，方程有0个解；当a=2e或a0时，方程有唯一解【点评】本题考查函数的导数的应用，构造法以及函数的极值，函数的零点个数的讨论，考查分类讨论以及转化思想的应用