1、专题八 函数与方程【高频考点解读】1. 结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解【热点题型】题型一 函数的零点例1函数f(x)xcos x2在区间0,4上的零点个数为()A4B5C 6D7【提分秘籍】 1.若函数yf(x)在闭区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，则函数yf(x)一定有零点2由函数yf(x)在闭区间a，b上有零点不一定能推出f(a)f(b)0，如图所以f(a)f(b)0是yf(x)在闭区间a，b上有零点的充分不必要条件事实上，只有当函数图象通过零点(不
2、是偶次零点)时，函数值变号，即相邻两个零点之间的函数值同号3若函数f(x)在a，b上单调，则f(a)f(b)0函数f(x)在a，b上只有一个零点4. 判断函数零点个数的方法(1)解方程法：令f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质；(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点【举一反三】函
3、数f(x)exx2的零点所在的一个区间是()A(2，1) B(1,0) C(0,1) D(1,2) 【热点题型】题型二 由函数零点存在情况求参数问题 例2已知定义在R上的函数yf(x)满足f(x2)f(x)，当1x1时，f (x)x3，若函数g(x)f(x)loga|x|至少有5个零点，则a的取值范围是()A(1,5) B.5，)C.5，) D.(1,5【提分秘籍】 已知函数有零点(方程有根)求参数值常用的方法和思路(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标
4、系中，画出函数的图象，然后观察求解【举一反三】已知函数f(x)若函数g(x)f(x)m有3个零点，则实数m的取值范围是_【热点题型】题型三 二次方程实数根的分布问题例3关于x的一元二次方程x22axa20，当a为何实数时：(1)方程有两个不同正根；(2)方程在(1,3)内有两个不同实数根；(3)方程有一根大于2，另一根小于2.【提分秘籍】 二次方程实数根的分布问题主要是构造二次函数之后，数形结合从判别式，对称轴与区间关系及区间端点值符号三个方面得出条件，解决时要注意逐一方面进行验证【举一反三】若函数f(x)(m2)x2mx(2m1)的两个零点分别在区间(1,0)和区间(1,2)内，则m的取值范
5、围是()A.B.C. D.【热点题型】题型四 判断函数零点(方程根)所在的区间例4、在下列区间中，函数f(x)ex4x3的零点所在的区间为()A.B.C. D.【提分秘籍】 判断函数在某个区间上是否存在零点的方法(1)解方程，当对应方程易解时，可通过解方程，看方程是否有根落在给定区间上；(2)利用零点存在性定理进行判断；(3)画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断【举一反三】函数f(x)log2x的零点所在的区间为()A. B.C(1,2) D(2,3)【高考风向标】 1（2014湖南卷）已知函数f(x)x2ex(x0)与g(x)x2ln(xa)的图像上存在关于y轴对称的
6、点，则a的取值范围是()A(，) B(，)C. D. 2（2014天津卷）已知函数f(x)|x23x|，xR.若方程f(x)a|x1|0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为_ 3（2014浙江卷）已知函数f(x)x3ax2bxc，且0f(1)f(2)f(3)3，则()Ac3 B3c6 C69 4（2013新课标全国卷 已知函数f(x)若|f(x)|ax，则a的取值范围是()A(，0 B(，1C2，1 D2，0 5（2013安徽卷）若函数f(x)x3ax2bxc有极值点x1，x2，且f(x1)x1，则关于x的方程3(f(x)22af(x)b0的不同实根个数是()A3 B4 C5 D6 6（
7、2013安徽卷）函数yf(x)的图像如图12所示，在区间a，b上可找到n(n2)个不同的数x1，x2，xn，使得，则n的取值范围是()图12A3，4 B2，3，4C3，4，5 D2，3 7（2013湖南卷）函数f(x)2ln x的图像与函数g(x)x24x5的图像的交点个数为()A3 B2 C1 D0【答案】B 8（2013山东卷）设函数f(x)c(e2.718 28是自然对数的底数，cR)(1)求f(x)的单调区间、最大值；(2)讨论关于x的方程|ln x|f(x)根的个数 ()当x(0，1)时，由(1)知g(x)lnxxe2xclnxe1clnx1c，要使g(x)0，只需lnx1c0，即x
8、(0，e1c)； 9（2013四川卷）已知函数f(x)其中a是实数设A(x1，f(x1)，B(x2，f(x2)为该函数图像上的两点，且x1x2.(1)指出函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)的图像在点A，B处的切线互相垂直，且x20，求x2x1的最小值；(3)若函数f(x)的图像在点A，B处的切线重合，求a的取值范围两切线重合的充要条件是 10（2013天津卷）函数f(x)2x|log0.5x|1的零点个数为()A1 B2 C3 D4【随堂巩固】 1“a2”是“函数f(x)ax3在区间1,2上存在零点x0”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 2
9、已知x0是函数f(x)ln x的一个零点，若x1(1，x0)，x2(x0，)，则()Af(x1)0，f(x2)0，f(x2)0Cf(x1)0，f(x2)0Df(x1)0 3若函数f(x)x2mx1有两个不同的零点，则实数m的取值范围是 ()A(1,1) B(2,2)C(，2)(2，) D(，1)(1，) 4函数f(x)cos x在0，)内()A没有零点 B有且仅有一个零点C有且仅有两个零点 D有无穷多个零点 5函数yf(x)在区间(2,2)上的图象是连续的，且方程f(x)0在(2,2)上仅有一个实根0，则f(1)f(1)的值()A大于0 B小于0C等于0 D无法确定【解析】由题意，知f(x)在
10、(1,1)上有零点0，该零点可能是变号零点，也可能是不变号零点，f(1)f(1)符号不定，如f(x)x2，f(x)x.【答案】D6已知定义在R上的函数f(x)(x23x2)g(x)3x4，其中函数yg(x)的图象是一条连续曲线，则方程f(x)0在下面哪个范围内必有实数根()A(0,1) B(1,2)C(2,3) D(3,4) 7已知函数f(x)若函数g(x)f(x)m有3个零点，则实数m的取值范围是_ 8若x0是方程()xx的解，则x0属于区间_(，1)，(，)；(，)；(0，)【解析】令f(x)()xx，则f()0，f()()()0)(1)若g(x)m有零点，求m的取值范围；(2)确定m的取值范围，使得g(x)f(x)0有两个相异实根则只需m2e.法三：由g(x)m得x2mxe20.此方程有大于零的根，故等价于，故m2e.