1、1.3.2球的体积和表面积知识导图学法指导1.球心和球的半径是球的灵魂，抓住了球心就抓住了球的位置，知道了球的半径就可求出球的体积和表面积2在许多有关球的问题中，要画出实际空间图形比较困难，但我们可以通过构造多面体或取球的截面，把球的问题转化为多面体或平面图形的问题来解决高考导航高考考查球的题型有：(1)计算球的表面积或体积；(2)求球与其他简单几何体的组合体的表面积或体积常以选择题或填空题的形式出现，难度较低，分值5分.知识点球的表面积与体积公式1.一个关键掌握好球的表面积公式S球4R2，球的体积公式V球R3是计算球的表面积和体积的关键，半径与球心是确定球的条件掌握好公式，球的体积与表面积计
2、算的相关题目也就迎刃而解了2两个结论(1)两个球的体积之比等于这两个球的半径之比的立方(2)两个球的表面积之比等于这两个球的半径之比的平方小试身手1判断下列命题是否正确. (正确的打“”，错误的打“”)(1)两个球的半径之比为1：3，则其表面积之比为1：9.()(2)经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径()答案：(1)(2)2如果两个球的体积之比为8：27，那么两个球的表面积之比为()A8：27 B2：3C4：9 D2：9解析：8：27，r：R2：3，S1：S24：9.答案：C3一条直线被一个半径为13的球截得的线段长为24，则球心到直线的距离为()A13 B12C5 D24解析：如图所示
3、，d5.答案：C4一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为_解析：长方体外接球直径长等于长方体对角线长，即2R，所以球的表面积S4R214.答案：14类型一球的体积与表面积例1(1)球的体积是，则此球的表面积是()A12 B16 C. D.(2)圆柱形玻璃容器内盛有高度为12 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是_cm.【解析】(1)设球的半径为R，则由已知得R3，解得R2.故球的表面积S表4R216.(2)设球半径为r cm，则由3V球V水V圆柱可得3r3r21
4、2r26r，解得r6.故球的半径是6 cm.【答案】(1)B(2)6,利用球的体积公式先求半径R，再利用球的表面积公式求解方法归纳计算球的表面积和体积的关键都是确定球的半径，注意把握表面积公式S球4R2中系数的特征及半径的平方必要时需逆用表面积公式得到球的半径关于表面积的关系式同时还应注意体积公式V球R3中系数的特征及半径的立方注意：计算与球有关的组合体的表面积与体积时要恰当地分割与拼接，避免重叠,跟踪训练1(1)把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大为原来的()A2倍B2倍C.倍D3倍(2)一个半球的表面积为1，则相对应的此球的半径应为()A. B. C. D.解析：(1)设改变前、后球
5、的半径分别是r，r，则由条件可知4r224r2.rr，V2.(2)S表r22r21，r.答案：(1)B(2)C先根据球的表面积的关系，得出半径之比，再求出体积之比类型二球的截面问题例2(1)一平面截一球得到直径为2 cm的圆面，球心到这个圆面的距离是2 cm，则该球的体积是()A12 cm3B36 cm3C64 cm3D108 cm3(2)已知球的两平行截面的面积分别为5和8，它们位于球心的同一侧，且距离为1，则这个球的表面积为_【解析】(1)设球心为O，截面圆的圆心为O1，如图所示，连接OO1，则OO1垂直于截面圆O1.在RtOO1A中，O1A cm，OO12 cm，球的半径ROA3 (cm
6、)，球的体积V3336 (cm3)(2)如图所示，设以r1为半径，O1为圆心的截面圆的面积为5，以r2为半径，O2为圆心的截面圆的面积为8，球的半径为R，OO2x，则O1O21.在RtOO2A中，OAR，OO2x，O2Ar2，则rR2x2，r(R2x2)8，即R2x28.在RtOO1B中，OBR，OO1x1，O1Br1，则rR2(x1)2，rR2(x1)25，即R2(x1)25.由得x1，R3.球的表面积为S4R243236.【答案】(1)B(2)36(1)作经过球心和截面圆圆心的轴截面；(2)作截面图时，注意两个截面在圆心的同一侧，构成两个直角三角形，再求解方法归纳球的截面问题的解题方法对于
7、球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将空间几何问题转化为平面中圆的有关问题解决球的半径R，球心到截面的距离d，截面圆的半径r恰好构成直角三角形，利用三个量之间的关系d2R2r2，可知二求一跟踪训练2球面上有三个点A，B，C，其中AB18，BC24，AC30，且球心到平面ABC的距离为球半径的一半，那么这个球的半径为()A20 B30 C10 D15解析：平面ABC截球所得的截面是一个圆面，A，B，C三点在这个圆面的圆上，AB18，BC24，AC30，AC2AB2BC2，AC为这个圆的直径设AC的中点为M，球心为O，球的半径为R，则M为截面圆的圆心，MA为其半径，在RtOMA中，OMA90，OM
8、R，MAAC3015，OAR，由勾股定理得(R)2152R2，解得R10.答案：C先证明三角形ABC是直角三角形，AC是斜边，设AC的中点为M，则M为截面圆的圆心，MA为其半径，求出MA，找到OM与球半径的关系，利用勾股定理求出球半径即可,类型三内切球与外接球问题例3已知A，B是球O的球面上两点，AOB90，C为该球面上的动点若三棱锥OABC体积的最大值为36，则球O的表面积为()A36B64C144D256【解析】如图，设球的半径为R，因为AOB90，所以SAOBR2.因为VOABCVCAOB，而AOB面积为定值，所以当点C到平面AOB的距离最大时，VOABC最大，所以当C为与球的大圆面AO
9、B垂直的直径的端点时，体积VOABC最大为R2R36，所以R6.所以球O的表面积S4R2462144.故选C.【答案】C解题时要认真分析图形，明确切点、接点的位置，作出合适的辅助图形，确定有关元素间的位置和数量关系方法归纳(1)处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时，要注意球心的位置与几何体的关系一般情况下，由于球的对称性，球心总在几何体的特殊位置，比如中心、对角线的中点等(2)解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径，关键是根据“切点”或“接点”作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算跟踪训练3已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱
10、的体积为()A B. C. D.解析：如图所示，由题可知球心在圆柱的中心处，球的半径R1，圆柱的高h1，则圆柱上、下底面圆的半径r，则圆柱的体积Vr2h.故选B.答案：B先确定圆柱上、下底面圆的半径，然后再求该圆柱的体积.1.3.2基础巩固(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1已知两个球的半径之比为1：3，那么这两个球的表面积之比为()A1：9B1：27C1：3 D1：1解析：设两球的半径分别为r1，r2，表面积分别为S1，S2，r1：r21：3，S1：S24r：4rr：r1：9.故选A.答案：A22019安徽省合肥市检测平面截球O所得截面圆的半径为1，球心O到平面的距离为，
11、则此球的体积为()A. B4C4 D6解析：球的半径R，所以球的体积V()34.答案：B3两球的体积之和是12，它们的大圆周长之和是6，则大球与小球的半径之差是()A1 B2C3 D4解析：设大球半径为R，小球半径为r，所以得，所以Rr211.答案：A4已知一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是()A8 B6C4 D解析：设该正方体的棱长为a，内切球的半径为r，则a38，a2，正方体的内切球直径为2，r1，内切球的表面积S4r24.答案：C5半径为的球的体积与一个长、宽分别为6,4的长方体的体积相等，则长方体的表面积为()A44 B54C88 D108解析：由题意知，球的半径R，
12、故球的体积为R348，则长方体的高为48642，故长方体的表面积为2(644262)88.答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)6已知三棱锥PABC中，PA底面ABC，PA3，底面ABC是边长为2的正三角形，三棱锥PABC的体积为_解析：依题意有，三棱锥PABC的体积VSABC|PA|223.答案：7把直径分别为6 cm,8 cm,10 cm的三个铁球熔成一个大铁球，则这个大铁球的半径为_ cm.解析：设大铁球的半径为R cm，由R3333，得R3216，得R6.答案：68湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个直径为6 cm，深为1 cm的空穴，则该球半径是_ cm，表面
13、积是_ cm2.解析：设球心为O，OC是与冰面垂直的一条球半径，冰面截球得到的小圆圆心为D，AB为小圆D的一条直径，设球的半径为R，则OD(R1) cm，则(R1)232R2，解之得R5 cm，所以该球表面积为S4R2452100(cm2)答案：5100三、解答题(每小题10分，共20分)9若三个球的表面积之比为1：4：9，求这三个球的体积之比解析：设三个球的半径分别为R1，R2，R3，三个球的表面积之比为1：4：9，4R：4R：4R1：4：9，即R：R：R1：4：9，R1：R2：R31：2：3，V1：V2：V3R：R：RR：R：R1：8：27.10已知球心O到过球面上三点A，B，C的截面的距
14、离等于球半径的一半，且ABBCCA3 cm，求球的体积解析：如图所示，设过A，B，C三点的截面为圆O，连接OO，AO，AO，因为ABBCCA3 cm，所以O为正三角形ABC的中心，且AOAB cm.设球的半径为R，则OOR.由球的截面性质，知OOA为直角三角形，所以AOR，所以R2 cm.所以V球R3 (cm3)能力提升(20分钟，40分)11已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为()A B.C. D.解析：设圆柱的底面半径为r，球的半径为R，且R1，由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知，r，R及圆柱的高的一半构成直角三角形r.圆柱的体积为Vr
15、2h1.故选B.答案：B12长方体的共顶点的三个侧面面积分别为、，则它的外接球的表面积为_解析：设长方体的有公共顶点的三条棱的长分别为x、y、z，则由已知得解得所以球的半径R.所以S球4R29.答案：913有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体各条棱都相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比解析：设正方体棱长为a，三个球的半径依次为R1，R2，R3，则有2R1a，R1，a2R2，R2a，a2R3，R3a，所以R1：R2：R31：.所以S1：S2：S3R：R：R1：2：3.即这三个球的表面积之比为1：2：3.14一个高为16的圆锥内接于一个体积为972的球，在圆锥内又有一个内切球求：(1)圆锥的侧面积；(2)圆锥内切球的体积解析：(1)如图所示，作出轴截面，则等腰三角形SAB内接于圆O，而圆O1内切于SAB.设圆O的半径为R，则有R3972，所以R3729，R9，所以SE18.又因为SD16，所以ED2.连接AE，因为SE是直径，所以SAAE，SA2SDSE1618288，所以SA12.因为ABSD，所以AD2SDDE16232，AD4.所以S圆锥侧41296.(2)设内切球O1的半径为r，因为SAB的周长为2(124)32，所以SSABr32816，所以r4.所以内切球O1的体积V球r3.