1、23双曲线23.1双曲线的标准方程1.了解双曲线的定义、几何图形2.理解两种双曲线标准方程的推导思想3.掌握双曲线的标准方程1双曲线的定义平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于定值2a(大于0且小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距2双曲线的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)焦点(c，0)(0，c)焦距|F1F2|2c，c2a2b21判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)在双曲线标准方程中，a，b，c之间的关系与椭圆中a，b，c之间的关系相同()(2)点A(1，0)，B(1，0)，若|AC
2、|BC|2，则点C的轨迹是双曲线()(3)在双曲线标准方程1中，a0，b0且ab.()答案：(1)(2)(3)2已知双曲线1，则双曲线的焦点坐标为()A(，0)，(，0)B(5，0)，(5，0)C(0，5)，(0，5) D(0，)，(0，)答案：B3设双曲线1的右支上一点P到左焦点F1的距离是15，则P到右焦点F2的距离是_答案：7求双曲线的标准方程根据下列条件，求双曲线的标准方程(1)与双曲线1有相同焦点，且经过点(3，2)(2)过点P，Q，且焦点在坐标轴上【解】(1)因为1的焦点为(2，0)，(2，0)，所以c2.所以设双曲线为1，所以，解得.所以双曲线标准方程为1.(2)设双曲线方程为m
3、x2ny21(mn0，b0)由题意知，a2，且点A(2，5)在双曲线上，所以解得a220，b216.故所求双曲线的标准方程为1.(2)椭圆1的两个焦点为F1(0，3)，F2(0，3)，双曲线与椭圆的一个交点为(，4)或(，4)设双曲线的标准方程为1(a0，b0)，则解得故所求双曲线的标准方程为1.与双曲线有关的轨迹问题已知动圆M与圆C1：(x4)2 y22外切，与圆C2：(x4)2y22内切，求动圆圆心M的轨迹方程【解】设动圆M的半径为r，则由已知|MC1|r，|MC2|r，所以|MC1|MC2|2.又C1(4，0)，C2(4，0)，所以|C1C2|8，所以2|C1C2|.根据双曲线定义知，点
4、M的轨迹是以C1(4，0)、C2(4，0)为焦点的双曲线的一支则有a，c4，所以b2c2a214，所以点M的轨迹方程是1(x)定义法求双曲线方程的注意点(1)注意条件中是到定点距离之差，还是差的绝对值(2)当差的绝对值为常数时要注意常数与两定点间距离的大小问题(3)求出方程后要注意表示满足方程的解的坐标的点是否都在所给的曲线上 如图，在ABC中，已知|AB|4，且三个内角A，B，C满足2sin Asin C2sin B，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程解：以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示，则A(2，0)，B(2，0)由正弦定理得sin A，sin
5、 B，sin C(R为ABC的外接圆半径)因为2sin Asin C2sin B，所以2|BC|AB|2|AC|，从而有|AC|BC|AB|2|AB|.由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支(除去与x轴的交点)因为a，c2，所以b2c2a26，即所求轨迹方程为1(x)双曲线定义的综合应用设P为双曲线x21上的一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|PF2|32，求PF1F2的面积【解】由已知得2a2，又由双曲线的定义得|PF1|PF2|2，因为|PF1|PF2|32，所以|PF1|6，|PF2|4.又|F1F2|2c2，由余弦定理，得cosF1PF20，所以F1PF2为直角三角形
6、S6412.1若将“|PF1|PF2|32”改为“|PF1|PF2|24”，求PF1F2的面积解：由双曲线方程为x21，可知a1，b2，c.因为|PF1|PF2|24，则cosF1PF20，所以PF1F2为直角三角形所以S|PF1|PF2|12.2本例中将条件“|PF1|PF2|32”改为“F1PF2120”，求PF1F2的面积解：由已知得2a2，c，又由双曲线定义得|PF1|PF2|2，在PF1F2中，由余弦定理可得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cosF1PF2|F1F2|2(2c)2(2)252，由可得|PF1|PF2|16.所以S|PF1|PF2|sinF1PF2164.求
7、双曲线中焦点三角形面积的方法(1)方法一：根据双曲线的定义求出|PF1|PF2|2a；利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式；通过配方，利用整体的思想求出|PF1|PF2|的值；利用公式S|PF1|PF2|sinF1PF2求得面积(2)方法二：利用公式S|F1F2|yP|(yP为P点的纵坐标)求得面积 设双曲线x21的左、右焦点分别为F1、F2.若点P在双曲线上，且F1PF2为锐角三角形，则|PF1|PF2|的取值范围是_解析：由题意不妨设点P在双曲线的右支上，F1PF2(090)，在F1PF2中，由余弦定理得cos ，整理得，|PF1|PF2|，所以|PF1|
8、PF2|，现考虑两种极端情况：当PF2x轴时，cos ，|PF1|PF2|有最大值8；当F1PF2为直角时，|PF1|PF2|有最小值2.因为F1PF2为锐角三角形，所以|PF1|PF2|的取值范围为(2，8)答案：(2，8)1遇到动点到两定点距离之差问题，要联想应用双曲线定义解题，点P在双曲线上，有|PF1|PF2|2a，充分利用这一条件，是解决问题的重要技巧2求双曲线的标准方程题型主要有：一是没有给出坐标系，必须建立坐标系，根据双曲线的定义确定出方程；二是给出标准形式，要先判断出焦点的位置，如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx2ny21(mn5，则c2mm59，所以m
9、7；当焦点在y轴上时，有m0，则c2m5m9，所以m2，综上所述，m7或m2.10焦点在x轴上的双曲线过点P(4，3)，且点Q(0，5)与两焦点的连线互相垂直，求此双曲线的标准方程解：因为双曲线焦点在x轴上，所以设双曲线的标准方程为1(a0，b0)，F1(c，0)，F2(c，0)因为双曲线过点P(4，3)，所以1.又因为点Q(0，5)与两焦点的连线互相垂直，所以0，即c2250.解得c225.又c2a2b2，所以由可解得a216或a250(舍去)所以b29，所以所求的双曲线的标准方程是1.B能力提升11已知椭圆1和双曲线y21的公共焦点为F1，F2，P是两曲线的一个交点，那么cosF1PF2的
10、值是()A BC D解析：选A不妨设点P在第一象限，F1，F2分别为左、右焦点，因为P在椭圆上，所以|PF1|PF2|2.又P在双曲线上，所以|PF1|PF2|2，两式联立，得|PF1|，|PF2|.又|F1F2|4，根据余弦定理可以求得cosF1PF2.12已知双曲线的一个焦点为F1(，0)，点P在双曲线上，且线段PF1的中点坐标为(0，2)，则此双曲线的标准方程是()Ay21 Bx21C1 D1解析：选B由双曲线的焦点可知c，线段PF1的中点坐标为(0，2)，所以P(，4)设右焦点为F2，则有|PF2|4，且PF2x轴，点P在双曲线右支上所以|PF1|6，所以|PF1|PF2|6422a，
11、所以a1，b2c2a24，所以双曲线的方程为x21，选B13已知双曲线1，F1、F2是其两个焦点，点M在双曲线上若F1MF290，求F1MF2的面积解：由双曲线方程知a2，b3，c，不妨设|MF1|r1，|MF2|r2(r1r2)由双曲线定义得r1r22a4.两边平方得rr2r1r216，即|F1F2|24 S16，即4 S5216，所以S9.14(选做题)如图，若F1，F2是双曲线1的两个焦点(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；(2)若P是双曲线左支上的点，且|PF1|PF2|32，试求F1PF2的面积解：(1)由双曲线的定义得|MF1|MF2|2a6，又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，假设点M到另一个焦点的距离等于x，则|16x|6，解得x10或x22.由于ca532，102，222，故点M到另一个焦点的距离为10或22.(2)将|PF2|PF1|2a6两边平方得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|36，所以|PF1|2|PF2|2362|PF1|PF2|36232100.在F1PF2中，由余弦定理得cosF1PF20，所以F1PF290，所以S|PF1|PF2|3216.
