1、22椭圆22.1椭圆的标准方程1.了解椭圆的实际背景2.理解椭圆的定义3.掌握椭圆的标准方程1椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于定长(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距2椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程1(ab0)1(ab0)焦点(c，0)(0，c)a、b、c的关系c2a2b21判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)到平面内两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆()(2)椭圆标准方程只与椭圆的形状、大小有关，与位置无关()(3)椭圆的两种标准形式中，虽然焦点位置不同，但都具备a2b2c2.(
2、)答案：(1)(2)(3)2已知两焦点坐标分别为(2，0)和(2，0)，且经过点(5，0)的椭圆的标准方程为()A1B1C1 D1答案：C3椭圆1的焦点坐标是_答案：(0，12)4下列命题是真命题的是_(将所有真命题的序号都填上)已知定点F1(1，0)，F2(1，0)，则满足|PF1|PF2|的点P的轨迹为椭圆；已知定点F1(2，0)，F2(2，0)，则满足|PF1|PF2|4的点P的轨迹为线段；到定点F1(3，0)，F2(3，0)距离相等的点的轨迹为椭圆；若点P到定点F1(4，0)，F2(4，0)的距离的和等于点M(5，3)到定点F1(4，0)，F2(4，0)的距离的和，则点P的轨迹为椭圆解
3、析：因为2，所以点P的轨迹不存在；因为|F1F2|4，所以点P的轨迹是线段F1F2；到定点F1(3，0)，F2(3，0)距离相等的点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线(y轴)；因为点M(5，3)到定点F1(4，0)，F2(4，0)的距离的和为48，所以点P的轨迹为椭圆故填.答案：求椭圆的标准方程(1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是(2，0)，(2，0)，并且经过点，求它的标准方程；(2)若椭圆经过两点(2，0)和(0，1)，求椭圆的标准方程【解】(1)法一：因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为1(ab0)由椭圆的定义知2a 2，所以a.又因为c2，所以b2a2c21046.因此，所求椭圆的
4、标准方程为1.法二：设标准方程为1(ab0)依题意得解得所以所求椭圆的标准方程为1.(2)法一：当椭圆的焦点在x轴上时，设所求椭圆的方程为1(ab0)因为椭圆经过两点(2，0)，(0，1)，所以则所以所求椭圆的标准方程为y21；当椭圆的焦点在y轴上时，设所求椭圆的方程为1(ab0)因为椭圆经过两点(2，0)，(0，1)，所以则与ab矛盾，故舍去综上可知，所求椭圆的标准方程为y21.法二：设椭圆方程为mx2ny21(m0，n0，mn)因为椭圆过(2，0)和(0，1)两点，所以所以综上可知，所求椭圆的标准方程为y21.求椭圆标准方程的方法(1)定义法：根据椭圆定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置
5、写出椭圆方程(2)待定系数法：先判断焦点位置，设出标准方程形式，最后由条件确定待定系数即可即“先定位，后定量”当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应按焦点在x轴上和焦点在y轴上进行分类讨论，但要注意ab0这一条件(3)当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成mx2ny21(m0，n0，mn)的形式有两个优点：列出的方程组中分母不含字母；不用讨论焦点所在的位置，从而简化求解过程 求适合下列条件的标准方程：(1)两个焦点坐标分别是(3，0)，(3，0)，椭圆经过点(5，0)；(2)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，5)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和为26.解：(1)因为椭圆的焦点在
6、x轴上，所以设它的标准方程为1(ab0)因为2a10，2c6，所以a5，c3，所以b2a2c2523216.所以所求椭圆的标准方程为1.(2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为1(ab0)因为2a26，2c10，所以a13，c5.所以b2a2c2144.所以所求椭圆标准方程为1.椭圆定义的应用已知P为椭圆1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，F1PF260，求F1PF2的面积【解】在PF1F2中，|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60，即36|PF1|2|PF2|2|PF1|PF2|.由椭圆的定义得|PF1|PF2|4，即48|PF1|2|PF2|22|P
7、F1|PF2|.由得|PF1|PF2|4.所以S|PF1|PF2|sin 60.1若将本例中“F1PF260”变为“F1PF290”，求F1PF2的面积解：由椭圆1知|PF1|PF2|4，|F1F2|6，因为F1PF290，所以|PF1|2|PF2|2|F1F2|236，所以|PF1|PF2|6，所以S|PF1|PF2|3.2若将本例中“F1PF260”变为“PF1F290”，求F1PF2的面积解：由已知得a2，b，所以c3.从而|F1F2|2c6.在PF1F2中，由勾股定理可得|PF2|2|PF1|2|F1F2|2，即|PF2|2|PF1|236，又由椭圆定义知|PF1|PF2|224，所以
8、|PF2|4|PF1|.从而有(4|PF1|)2|PF1|236.解得|PF1|.所以PF1F2的面积S|PF1|F1F2|6，即PF1F2的面积是.椭圆定义的应用技巧(1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a.(2)椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的PF1F2称为焦点三角形解关于椭圆的焦点三角形的问题，通常要利用椭圆的定义，再结合正弦定理、余弦定理等知识求解 已知AB是过椭圆x2y21的左焦点F1的弦，且|AF2|BF2|4，其中F2为椭圆的右焦点，则|AB|_解析：由椭圆定义知
9、|AF1|AF2|2a，|BF1|BF2|2a，所以|AF1|AF2|BF1|BF2|4a6.所以|AF1|BF1|642，即|AB|2.答案：2求与椭圆有关的轨迹方程如图所示，已知动圆P过定点A(3，0)，并且在定圆B：(x3)2y264的内部与其内切，求动圆圆心P的轨迹方程【解】设动圆P和定圆B内切于点M，动圆圆心P到两定点A(3，0)和B(3，0)的距离之和恰好等于定圆半径，即|PA|PB|PM|PB|BM|8|AB|，所以动圆圆心P的轨迹是以A，B为左，右焦点的椭圆，其中c3，a4，b2a2c242327，其轨迹方程为1.利用椭圆定义求动点轨迹方程的三个步骤 已知B，C是两个定点，|B
10、C|8，且ABC的周长等于18，求这个三角形的顶点A的轨迹方程解：以过B，C两点的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy，如图所示由|BC|8，可知点B(4，0)，C(4，0)由|AB|AC|BC|18，|BC|8，得|AB|AC|10.因此，点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a10，c4，但点A不在x轴上由a5，c4，得b2a2c225169.所以点A的轨迹方程为1(y0).1利用定义求椭圆的轨迹方程是求椭圆标准方程的基本方法，首先要根据图形确定定点、动点与定点距离之和，确定出距离和为定值是解题的关键，然后根据定义求出a，c，再求b即可
11、得方程2当椭圆的焦点位置不明确(无法确定)求其标准方程时，可设方程为1(m0，n0且mn)，从而避免讨论和繁杂的计算；也可设为Ax2By21(A0，B0且AB)，这种形式在解题中较为方便求椭圆标准方程时应注意的问题确定椭圆的标准方程包括“定位”和“定量”两个方面“定位”是指确定椭圆与坐标系的相对位置，即在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；“定量”则是指确定a2、b2的具体数值，常用待定系数法1设P是椭圆1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|PF2|等于()A4B5C8 D10答案：D2椭圆1的焦点坐标是()A(4，0) B(0，4)C(3，0) D(
12、0，3)答案：D3已知椭圆的两个焦点为F1(1，0)，F2(1，0)，且2a6，则椭圆的标准方程为_答案：14如果方程x22表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是_答案：(1，)A基础达标1平面内，若点M到定点F1(0，1)，F2(0，1)的距离之和为2，则点M的轨迹为()A椭圆B直线F1F2C线段F1F2D直线F1F2的垂直平分线解析：选C由|MF1|MF2|2|F1F2|知，点M的轨迹不是椭圆，而是线段F1F2.2方程1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是()A(4，)B(4，7)C(7，10) D(4，10)解析：选C由题意可知所以7k10.3若方程1表示焦点在y轴上的椭
13、圆，则实数m的取值范围是()A9m25 B8m25C16m8解析：选B由题意知解得8mb0)，根据ABF2的周长为16得4a16，则a4，因为ac，所以c2，则b2a2c21688.故椭圆的标准方程为1.答案：19已知圆M：(x1)2y21，圆N：(x1)2y29，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.求C的方程解：由已知得圆M的圆心为M(1，0)，半径r11；圆N的圆心为N(1，0)，半径r23.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|PN|(Rr1)(r2R)r1r24.由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左，右焦点的椭圆(点x2
14、除外)，其方程为1(x2)10求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在y轴上，且经过两个点(0，2)和(1，0)；(2)经过两点(2，)，.解：(1)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设椭圆的标准方程为1(ab0)因为椭圆经过点(0，2)和(1，0)，所以解得所以所求椭圆的标准方程为x21.(2)法一：若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为1(ab0)由已知条件得解得所以所求椭圆的标准方程为1.若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为1(ab0)由已知条件得解得即a24，b28，则a2b0矛盾，舍去综上可知，所求椭圆的标准方程为1.法二：设椭圆的一般方程为Ax2By21(A0，B0，AB)分别将两点的坐标
15、(2，)，代入椭圆的一般方程，得解得所以所求椭圆的标准方程为1.B能力提升11已知椭圆1的两个焦点F1，F2，M是椭圆上一点，且|MF1|MF2|1，则MF1F2是()A钝角三角形 B直角三角形C锐角三角形 D等边三角形解析：选B由椭圆定义知|MF1|MF2|2a4，因为|MF1|MF2|1，所以|MF1|，|MF2|.又|F1F2|2c2，所以|MF1|2|MF2|2|F1F2|2，即MF2F190，所以MF1F2为直角三角形12已知椭圆C1：mx2y28与椭圆C2：9x225y2100的焦距相等，则m的值为_解析：将椭圆C1化成标准方程为1，C2化成标准方程为1.设椭圆C2的焦距为2c，则
16、c24.当椭圆C1的焦点在x轴上时，因为椭圆C1与椭圆C2的焦距相等所以8，解得m.当椭圆C1的焦点在y轴上时，因为椭圆C1与椭圆C2的焦距相等所以8，解得m9.综上可知，m9或m.答案：9或13如图所示，F1，F2分别为椭圆1(ab0)的左、右焦点，点P在椭圆上，若POF2为面积是的正三角形，试求椭圆的标准方程解：由POF2为面积是的正三角形得，|PO|PF2|OF2|2，所以c2.连接PF1，在POF1中，|PO|OF1|2，POF1120，所以|PF1|2.所以2a|PF1|PF2|22，所以a1，所以b2a2c24242.所以所求椭圆的标准方程为1.14(选做题)已知F1，F2为椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，O是坐标原点，过F2作垂直于x轴的直线MF2交椭圆于M，设|MF2|d.(1)证明：d，b，a成等比数列；(2)若M的坐标为，求椭圆C的方程解：(1)证明：由条件知M点的坐标为，其中|y0|d，所以1，db，所以，即d，b，a成等比数列(2)由条件知c，d1，所以所以所以椭圆C的方程为1.