1、规范答题示例8函数的单调性、极值与最值问题典例8(12分)已知函数f(x)ln xa(1x)(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a2时，求a的取值范围审题路线图.规 范 解 答分 步 得 分 构 建 答 题 模 板解(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)a(x0).若a0，则f(x)0，所以f(x)在(0，)上单调递增.若a0，则当x时，f(x)0；当x时，f(x)0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减.6分(2)由(1)知，当a0时，f(x)在(0，)上无最大值，不合题意；当a0时，f(x)在x处取得最大值，最大值为flnaln aa1.因此f2a2等价
2、于ln aa10.9分令g(a)ln aa1，则g(a)在(0，)上单调递增，g(1)0.于是，当0a1时，g(a)1时，g(a)0.因此，a的取值范围是(0,1).12分第一步求导数：写出函数的定义域，求函数的导数.第二步定符号：通过讨论确定f(x)的符号.第三步写区间：利用f(x)的符号确定函数的单调性.第四步求最值：根据函数单调性求出函数最值.评分细则(1)函数求导正确给1分；(2)分类讨论，每种情况给2分，结论1分；(3)求出最大值给2分；(4)构造函数g(a)ln aa1给2分；(5)通过分类讨论得出a的范围，给2分跟踪演练8(2018全国)已知函数f(x)x3a(x2x1)(1)若a3，求f(x)的单调区间；(2)证明：f(x)只有一个零点(1)解当a3时，f(x)x33x23x3，f(x)x26x3.令f(x)0，解得x32或x32.当x(，32)(32，)时，f(x)0；当x(32，32)时，f(x)0在R上恒成立，所以f(x)0等价于3a0.设g(x)3a，则g(x)0在R上恒成立，当且仅当x0时g(x)0，所以g(x)在(，)上单调递增故g(x)至多有一个零点，从而f(x)至多有一个零点又f(3a1)6a22a620，故f(x)有一个零点综上，f(x)只有一个零点
