1、专题四十一 空间点、直线、平面之间的位置关系【高频考点解读】1.理解空间直线、平面位置关系的定义2.了解可以作为推理依据的公理和定理3. 能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题【热点题型】题型一 平面的基本性质及应用例1、如图，已知：E，F，G，H分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB，BC，CC1，C1D1的中点，证明：EF，HG，DC三线共点 【提分秘籍】 1证明线共点问题，常用的方法是：先证其中两条直线交于一点，再证交点在第三条直线上2证明点或线共面问题，一般有以下两种途径：首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余线(或点)均在这个平面
2、内；将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证平面重合【举一反三】(2013年高考安徽卷)在下列命题中，不是公理的是()A平行于同一个平面的两个平面相互平行B过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 【热点题型】题型二 空间两直线的位置关系例2、已知a、b、c、d是空间四条直线，如果ac，bc，ad，bd，那么()Aab且cd Ba、b、c、d中任意两条可能都不平行Cab或cd Da、b、c、d中至多有一对直线互相平行 【提分秘籍】空间中两直线位置关
3、系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定，对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决【举一反三】已知空间中有三条线段AB、BC和CD，且ABCBCD，那么直线AB与CD的位置关系是()AABCD BAB与CD异面CAB与CD相交DABCD或AB与CD异面或AB与CD相交 【热点题型】题型三 异面直线所成的角例3、在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABBCAA1，ABC90，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是()A45B60 C90
4、D120【提分秘籍】 求异面直线所成的角一般用平移法，步骤如下：(1)一作：据定义作平行线，作出异面直线所成的角；(2)二证：即证明作出的角是异面直线所成的角；(3)三求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角【举一反三】在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，则异面直线CP与BA1所成的角的取值范围是()A0 B0C0 D0答案：D【热点题型】题型四 化归思想在探索与异面直线夹角为定值的直线条数问题中的应用 例4、异面直线a，b夹角为50，过空间一点P的直线l与a，b夹角都是30的直线有多少条？ 【提
5、分秘籍】一般地，异面直线a，b夹角为，过空间一点P的直线l与a，b夹角都为的直线条数问题，可考察以下四个方面然后求总数：(1)当时有2条；(2)当时有1条；(3)当时有2条；(4)当时有1条与异面直线夹角为定值的直线条数问题可借助于等角定理，利用化归思想，通过平行移动化为与两条相交直线夹角为定值的直线条数问题，同时要注意一个结论：从角顶点引一条射线与角两边夹角相等，则这条射线在角所在平面上的射影为角的平分线【举一反三】已知异面直线a、b所成的角为60，过空间一点P，与a、b所成的角均为的直线有且只有两条，则的取值范围是_【高考风向标】 1（2014安徽卷）如图15所示，四棱锥P ABCD的底面
6、是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH平面ABCD，BC平面GEFH.图15(1)证明：GHEF；(2)若EB2，求四边形GEFH的面积2（2014湖南卷）如图13所示，已知二面角MN的大小为60，菱形ABCD在面内，A，B两点在棱MN上，BAD60，E是AB的中点，DO面，垂足为O.图13(1)证明：AB平面ODE；(2)求异面直线BC与OD所成角的余弦值3（2014辽宁卷）已知m，n表示两条不同直线，表示平面下列说法正确的是()A若m，n，则mnB若m，n，则mnC若m，mn，则nD若m，mn，则n【随堂巩固】 1平行
7、六面体ABCDA1B1C1D1中，既与AB共面又与CC1共面的棱的条数为()A3B4C5 D62如图是正方体或四面体， P、Q、R、S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是()3已知异面直线a，b分别在平面，内，且c，那么直线c一定()A与a，b都相交B只能与a，b中的一条相交C至少与a，b中的一条相交D与a，b都平行4给出下列四个命题：没有公共点的两条直线平行；互相垂直的两条直线是相交直线；既不平行也不相交的直线是异面直线；不同在任一平面内的两条直线是异面直线其中正确命题的个数是()A1 B2C3 D45l1， l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()Al1l2，l2l
8、3l1l3Bl1l2，l2l3l1l3Cl2l2l3l1，l2，l3共面Dl1，l2，l3共点l1，l2，l3共面6在正四棱锥VABCD中，底面正方形ABCD的边长为1，侧棱长为2，则异面直线VA与BD所成角的大小为()A. B.C. D.角的大小为，选D.答案：D7若两条异面直线所成的角为60，则称这对异面直线为“黄金异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中，“黄金异面直线对”共有_对8已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为_9在图中，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有_(填上所有正确答案的序号)10.如图，已知在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别是BC，CD上的点，且2.求证：直线EG，FH，AC相交于一点11已知三棱锥ABCD中，ABCD，且直线AB与CD成60角，点M、N分别是BC、AD的中点，求直线AB和MN所成的角12.如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形所在平面ABCD垂直，已知BC2AD4，ABC60，BFAC.(1)求证：AC面ABF；(2)求异面直线BE与AF所成的角；(3)求该几何体的表面积