1、专题15 导数的综合应用-【高频考点解读】1.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)2.会利用导数解决某些实际问题【热点题型】题型一 函数的最值与导数例1、已知aR，函数f(x)ln x1.(1)当a1时，求曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)求f(x)在区间(0，e上的最小值 【提分秘籍】 1.极值只能在定义域内部取得，而最值却可以在区间的端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值2. 求给定区间上的函数的最值关键是判断函数在此区间上的单调性，但要注意极值点不一定是最值点，还要与端点值比较，对于含
2、参数的函数最值，要注意分类讨论【举一反三】已知函数f(x)ax3ln x，其中a为常数(1)当函数f(x)的图象在点处的切线的斜率为1时，求函数f(x)在上的最小值；(2)若函数f(x)在区间(0，)上既有极大值又有极小值，求a的取值范围； 【热点题型】题型二 生活中的优化问题例2、某商场根据调查，估计家电商品从年初(1月)开始的x个月内累计的需求量p(x)(单位：百件)满足p(x)(39x2x241)(1x12且xN*)(1)求第x个月的需求量f(x)的表达式；(2)若第x个月的销售量满足g(x) (单位：百件)，每件利润q(x)100ex6元，求该商场销售该商品，第几个月的月利润达到最大值
3、，最大是多少？(e6取值为403)【提分秘籍】 利用导数解决生活中优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系yf(x)，根据实际意义确定定义域；(2)求函数yf(x)的导数f(x)，解方程f(x)0得出定义域内的实根，确定极值点；(3)比较函数在区间端点和极值点处的函数值大小，获得所求的最大(小)值；(4)还原到原实际问题中作答【举一反三】某玩具厂生产一种儿童智力玩具，每个玩具的材料成本为20元，加工费为t元(t为常数，且2t5)，出厂价为x元(25x40)根据市场调查知，日销售量q(单位：个)与ex成反比，且当每个玩具的出厂
4、价为30元时，日销售量为100个(1)求该玩具厂的日利润y元与每个玩具的出厂价x元之间的函数关系式；(2)若t5，则每个玩具的出厂价x为多少元时，该工厂的日利润y最大？并求最大值【热点题型】题型三 不等式的证明问题例3、已知函数f(x)ln xmx2(mR)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若m0，A(a，f(a)、B(b，f(b)是函数f(x)图象上不同的两点，且ab0，f(x)为f(x)的导函数，求 证：ff(b)； 【提分秘籍】 1要证明f(x) g(x)，x(a，b)，可以构造函数F(x)f(x)g(x)，如果F(x)0，则F(x)在(a，b)上是减函数，同时若F(a)0，由减函数
5、的定义，可知对任意的x(a，b)，有F(x)0，即证明了f(x)0)(1)当x0时，求证：f(x)1a；(2)在区间(1，e)上f(x)x恒成立，求实数a的范围；(3)当a时，求证：f(2)f(3)f(n1)2(n1)(nN*)【热点题型】题型四 由不等式恒成立求参数范围例4、设函数f(x)ln xax2bx.(1)当ab时，求函数f(x)的最大值；(2)令F(x)f(x)ax2bx(00，若对任意的x10，)总存在x20，使得g(x1)f(x2)成立，求m的取值范围【提分秘籍】 1对于任意x1D1存在x2D2使得g(x1)f(x2)成立其解决方法是：(1)求出g(x)在D1的最大值(2)求出
6、f(x)在D2的最小值(3)转化g(x)大f(x)小，求出参数范围2若存在成立的不等式中参数可得如MF(x)，则只需求出F(x)的最小值可解决问题【举一反三】已知函数f(x)xln x，g(x)x3x2x1.(1)如果存在x1，x20,2，使得g(x1)g(x2)M，求满足该不等式的最大整数M；(2)如果对任意的s，t，都有f(s)g(t)成立，求实数a的取值范围【高考风向标】1（2014四川卷）已知函数f(x)exax2bx1，其中a，bR，e2.718 28为自然对数的底数(1)设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间0，1上的最小值；(2)若f(1)0，函数f(x)在区间(
7、0，1)内有零点，证明：e2a1. 2（2014安徽卷）若直线l与曲线C满足下列两个条件：(i)直线l在点P(x0，y0)处与曲线C相切；(ii)曲线C在点P附近位于直线l的两侧则称直线l在点P处“切过”曲线C.下列命题正确的是_(写出所有正确命题的编号)直线l：y0在点P(0，0)处“切过”曲线C：yx3；直线l：x1在点P(1，0)处“切过”曲线C：y(x1)2；直线l：yx在点P(0，0)处“切过”曲线C：ysin x；直线l：yx在点P(0，0)处“切过”曲线C：ytan x；直线l：yx1在点P(1，0)处“切过”曲线C：yln x.3（2014安徽卷）设函数f(x)1(1a)xx2
8、x3，其中a0.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；(2)当x0，1时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值4（2014北京卷）已知函数f(x)2x33x.(1)求f(x)在区间2，1上的最大值；(2)若过点P(1，t)存在3条直线与曲线yf(x)相切，求t的取值范围；(3)问过点A(1，2)，B(2，10)，C(0，2)分别存在几条直线与曲线yf(x)相切？(只需写出结论)5（2014福建卷）已知函数f(x)exax(a为常数)的图像与y轴交于点A，曲线yf(x)在点A处的切线斜率为1.(1)求a的值及函数f(x)的极值；(2)证明：当x0时，x2ex；(3)证明：对任意给定的正数c，
9、总存在x0，使得当x(x0，)时，恒有xcex. 6（2014湖北卷）为圆周率，e2.718 28为自然对数的底数(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求e3，3e，e，e，3，3这6个数中的最大数与最小数7（2014湖南卷）若0x1x21，则()Aex2ex1ln x2ln x1Bex2ex1ln x2ln x1Cx2ex1x1ex2Dx2ex1x1ex28（2014湖南卷）已知函数f(x)xcos xsin x1(x0)(1)求f(x)的单调区间；(2)记xi为f(x)的从小到大的第i(iN*)个零点，证明：对一切nN*，有.9（2014江西卷）若曲线yxln x上点P处的切线平行于直线2
10、xy10，则点P的坐标是_10（2014江西卷）将连续正整数1，2，n(nN*)从小到大排列构成一个数123n，F(n)为这个数的位数(如n12时，此数为123456789101112，共有15个数字，F(12)15)，现从这个数中随机取一个数字，p(n)为恰好取到0的概率(1)求p(100)；(2)当n2014时，求F(n)的表达式；(3)令g(n)为这个数中数字0的个数，f(n)为这个数中数字9的个数，h(n)f(n)g(n)，Sn|h(n)1，n100，nN*，求当nS时p(n)的最大值11（2014辽宁卷）当x2，1时，不等式ax3x24x30恒成立，则实数a的取值范围是()A5，3
11、B.C6，2 D4，312（2014新课标全国卷 若函数f(x)kxln x在区间(1，)单调递增，则k的取值范围是()A(，2 B(，1C2，) D1，)13（2014新课标全国卷 已知函数f(x)x33x2ax2，曲线yf(x)在点(0，2)处的切线与x轴交点的横坐标为2.(1)求a；(2)证明：当k1时，曲线yf(x)与直线ykx2只有一个交点14（2014全国新课标卷）已知函数f(x)ax33x21，若f(x)存在唯一的零点x0，且x00，则a的取值范围是()A(2，) B(1，)C(，2) D(，1)15（2014全国新课标卷）设函数f(x)aln xx2bx(a1)，曲线yf(x)
12、在点(1，f(1)处的切线斜率为0.(1)求b；(2)若存在x01，使得f(x0)，求a的取值范围16（2014山东卷）设函数f(x)aln x，其中a为常数(1)若a0，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)讨论函数f(x)的单调性17（2014陕西卷）设函数f(x)ln x，mR.(1)当me(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值；(2)讨论函数g(x)f(x)零点的个数；(3)若对任意ba0，1恒成立，求m的取值范围18（2014天津卷）已知函数f(x)x2ax3(a0)，xR.(1)求f(x)的单调区间和极值；(2)若对于任意的x1(2，)，都存在x2(1，)，使
13、得f(x1)f(x2)1，求a的取值范围19（2014浙江卷）已知函数f(x)x33|xa|(a0)若f(x)在1，1上的最小值记为g(a)(1)求g(a)；(2)证明：当x1，1时，恒有f(x)g(a)4.19（2014重庆卷）已知函数f(x)ln x，其中aR，且曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线yx.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值【随堂巩固】 1已知函数f(x)ax2c，且f(1)2，则a的值为()A. B1 C1 D0【答案】B【解析】 因为f(x)2ax，所以f(1)2a2，所以a1.故选B.2曲线yx32x1在点(1，0)处的切线方程为()Ay
14、x1 Byx1Cy2x2 Dy2x23若函数f(x)的定义域为a，b，且ba0，则函数g(x)f(x)f(x)的定义域为()Aa，b Bb，aCb，b Da，a4过点(0，1)且与曲线y在点(3，2)处的切线垂直的直线的方程为()A2xy10 B2xy10Cx2y20 Dx2y205设函数f(x)g(x)x2f(x1)，则函数g(x)的递减区间是()A(0，1) B(1，)C(，0) D(0，)6定义域为R的函数f(x)满足f(1)1，且f(x)的导函数f(x)，则满足2f(x)x1的x的集合为()Ax|1x1 Bx|x1Cx|x1 Dx|x17设f(x)x(ax2bxc)(a0)在x1和x1
15、处有极值，则下列点中一定在x轴上的是()A(a，b) B (a，c)C(b，c) D(ab，c)8设曲线yxn1(nN*)在点(1，1)处的切线与x轴的交点横坐标为xn，则log2 012x1log2 012x2log2 012x2011的值为()Alog2 0122 011 B1 C1log2 0122 011 D19函数f(x)x3ax(xR)在x1处有极值，则曲线yf(x)在原点处的切线方程是_10曲线yx(3lnx1)在点(1，1)处的切线方程为_11设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x0且g(3)0，则不等式f(x)g(x)0，讨论f(x)的单调性；(2)设a1，证明：对任意x1，x20，1，都有|f(x1)f(x2)|1时，判断方程f(x)0实根的个数