1、考点一 最值问题(常考常新型考点多角探明)必备知识1圆锥曲线上本身存在的最值问题第二课时 最值、范围、证明问题(1)椭圆上两点间最大距离为 2a(长轴长)；(2)双曲线上两点间最小距离为 2a(实轴长)；(3)椭圆焦半径的取值范围为ac，ac，ac 与 ac 分别表示椭圆焦点到椭圆上的点的最小距离与最大距离；(4)抛物线上的点中顶点与抛物线的准线距离最近2圆锥曲线上的点到定点的距离的最值问题，常用两点间的距离公式转化为区间上的二次函数的最值问题解决，有时也用圆锥曲线的参数方程，化为三角函数的最值问题或用三角形的两边之和(或差)与第三边的不等关系求解3圆锥曲线上的点到定直线的距离的最值问题解法同
2、上或用平行切线法多角探明圆锥曲线中的最值问题一直是高考命题的热点，各种题型都有，命题角度很广，归纳起来常见的命题角度有：(1)利用三角函数有界性求最值(2)数形结合利用几何性质求最值；(3)建立目标函数求最值.角度一：利用三角函数有界性求最值1(2014福建高考)设 P，Q 分别为圆 x2(y6)22 和椭圆x210y21 上的点，则 P，Q 两点间的最大距离是()A5 2 B 46 2C7 2D6 2解析：设圆的圆心为 C，则 C(0,6)，半径为 r 2，点 C 到椭圆上的点 Q(10 cos ，sin)的 距 离|CQ|10cos 2sin 62469sin212sin 509sin 2
3、32 505 2，当且仅当 sin 23时取等号，所以|PQ|CQ|r5 2 26 2，即 P，Q 两点间的最大距离是 6 2，故选 D.答案：D角度二：数形结合利用几何性质求最值2设 P 是椭圆x225y291 上一点，M，N 分别是两圆：(x4)2y21 和(x4)2y21 上的点，则|PM|PN|的最小值、最大值分别为()A9,12 B8,11C8,12 D10,12解析：如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆定义知|PA|PB|2a10，连接 PA，PB 分别与圆相交于 M，N 两点，此时|PM|PN|最小，最小值为|PA|PB|2R8；连接 PA，PB 并延长
4、，分别与圆相交于 M，N 两点，此时|PM|PN|最大，最大值为|PA|PB|2R12，即最小值和最大值分别为 8,12.答案：C角度三：建立目标函数求最值3(2014浙江高考)已知ABP 的三个顶点在抛物线 C：x24y 上，F为抛物线 C 的焦点，点 M 为 AB的中点，PF 3FM.(1)若|PF|3，求点 M 的坐标；(2)求ABP 面积的最大值解：(1)由题意知焦点 F(0,1)，准线方程为 y1.设 P(x0，y0)，由抛物线定义知|PF|y01，得到 y02，所以 P(2 2，2)或 P(2 2，2)由PF 3FM，分别得 M2 23，23 或 M2 23，23.(2)设直线 A
5、B 的方程为 ykxm，点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)由ykxm，x24y得 x24kx4m0.于是 16k216m0，x1x24k，x1x24m，所以 AB 中点 M 的坐标为(2k,2k2m)由PF 3FM，得(x0,1y0)3(2k,2k2m1)，所以x06k，y046k23m.由 x204y0 得 k215m 415.由 0，k20，得13m43.又因为|AB|4 1k2 k2m，点 F(0,1)到直线 AB 的距离为 d|m1|1k2.所以 SABP4SABF8|m1|k2m 16153m35m2m1.记 f(m)3m35m2m113f43.所以当 m19时
6、，f(m)取到最大值256243，此时 k 5515.所以ABP 面积的最大值为256 5135.类题通法圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何方法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解考点二 范围问题(重点保分型考点师生共研)必备知识1点在圆锥曲线上(非线性约束条件)的条件下，求相关式子(目标函数)的取值范围问题，常用参数方程代入转化为三角函数的最值问题，或根据平面几何知识或引入一个参数(有几何
7、意义)化为函数进行处理2由直线(系)和圆锥曲线(系)的位置关系，求直线或圆锥曲线中某个参数(系数)的范围问题，常把所求参数作为函数，另一个元作为自变量求解典题例析(2015云南模拟)已知圆 M：(x 3a)2y216a2(a0)及定点 N(3a,0)，点 P 是圆 M 上的动点，点 G 在 MP 上，且满足|GP|GN|，G点的轨迹为曲线 C.(1)求曲线 C 的方程；(2)若点 A(1,0)关于直线 xyt0(t0)的对称点在曲线 C 上，求 a的取值范围解：(1)设 G(x，y)，|PG|GM|4a，且|PG|GN|，|GM|GN|4a2 3a，由椭圆定义得，曲线 C 的方程为 x24a2
8、y2a21.(2)设 A(1,0)关于直线 xyt0(t0)的对称点为 A(m，n)，则nm111，m12n2t0，mt，nt1，A(t，t1)，A(t，t1)在曲线 C：x24a2y2a21 上，t24(t1)24a2，化简得 5t28t44a20(t0)，此方程有正根，令 f(t)5t28t44a2，其图象的对称轴为 t450，(8)245(44a2)0，a 55 或 a 55，a0，a 的取值范围为55，.类题通法求解范围问题的常见求法1利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；2利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；3利用隐含或已知的
9、不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；4利用基本不等式求出参数的取值范围；5利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围演练冲关1(2015温州十校模拟)椭圆x2a2y2b21(ab0)上一点 A 关于原点的对称点为 B，F 为其右焦点，若 AFBF，设ABF，且 12，4，则该椭圆离心率的取值范围为 ()A22，63 B22，32C63，1D22，1解析：由题知 AFBF，根据椭圆的对称性，AFBF(其中 F是椭圆的左焦点)，因此四边形 AFBF是矩形，于是，|AB|FF|2c，|AF|2csin，|AF|2ccos，根据椭圆的定义，|AF|AF|2a，2csin 2ccos 2a，eca
10、1sin cos 12sin4，而 12，4，43，2，sin4 32，1，故 e22，63.答案：A2(2015福州质检)如图，直线 ym 与抛物线 y24x 交于点 A，与圆(x1)2y24 的实线部分交于点 B，F 为抛物线的焦点，则三角形 ABF 的周长的取值范围是()A(2,4)B(4,6)C2,4D4,6解析：设 B(xB，yB)，则 1xB3.因为可以构成三角形 ABF，所以 1xB3.因为圆的半径|BF|2，抛物线的准线方程为 x1，利用抛物线定义，|AF|等于点 A 到直线 x1 的距离 d，所以三角形 ABF 的周长 l|AF|AB|BF|AF|AB|2d|AB|2xB(1
11、)2xB3，故 4l6.故选 B.答案：B考点三 证明问题(重点保分型考点师生共研)典题例析(2014浙江高考)如图，设椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)，动直线 l 与椭圆 C 只有一个公共点 P，且点 P 在第一象限(1)已知直线 l 的斜率为 k，用 a，b，k表示点 P 的坐标；(2)若过原点 O 的直线 l1 与 l 垂直，证明：点 P 到直线 l1 的距离的最大值为 ab.解：(1)设直线 l 的方程为 ykxm(k0)，由 ykxm，x2a2y2b21消去 y 得(b2a2k2)x22a2kmxa2m2a2b20.由于 l 与 C 只有一个公共点，故 0，即 b2m2a2k2
12、0，解得点 P 的坐标为 a2kmb2a2k2，b2mb2a2k2.又点 P 在第一象限，故点 P 的坐标为 Pa2kb2a2k2，b2b2a2k2.(2)证明：由于直线 l1 过原点 O 且与 l 垂直，故直线 l1 的方程为 xky0，所以点 P 到直线 l1 的距离 da2kb2a2k2b2kb2a2k21k2，整理得 da2b2b2a2a2k2b2k2，因为 a2k2b2k22ab，所以a2b2b2a2a2k2b2k2a2b2b2a22abab，当且仅当 k2ba时等号成立所以点 P 到直线 l1 的距离的最大值为 ab.类题通法圆锥曲线中的证明问题多涉及证明定值、点在定直线上等，有时
13、也涉及一些否定性命题，证明方法一般是采用直接法或反证法演练冲关(2015皖南八校联考)如图，已知抛物线 C：y22px(p0)，焦点为 F，过点 G(p,0)作直线 l 交抛物线 C 于 A，M 两点，设 A(x1，y1)，M(x2，y2)(1)若 y1y28，求抛物线 C 的方程；(2)若直线 AF 与 x 轴不垂直，直线 AF 交抛物线 C 于另一点 B，直线 BG 交抛物线 C 于另一点 N.求证：直线AB 与直线 MN 斜率之比为定值解：(1)设直线 AM 的方程为 xmyp，代入 y22px 得 y22mpy2p20，则 y1y22p28，得 p2.抛物线 C 的方程为 y24x.(2)证明：设 B(x3，y3)，N(x4，y4)由(1)可知 y3y42p2，y1y3p2.又直线 AB 的斜率 kABy3y1x3x1 y3y1y232py212p 2py1y3，直线 MN 的斜率 kMNy4y2x4x2 y4y2y242py222p 2py2y4，kABkMNy2y4y1y32p2y1 2p2y3y1y32p2y1y3 y1y3y1y32.故直线 AB 与直线 MN 斜率之比为定值 “课后演练提能”见“课时跟踪检测(五十九)”(单击进入电子文档)谢 谢 观 看
