1、吉林省辽源市田家炳高级中学校2020-2021学年高二数学上学期期中试题 理一、 选择题 （本大题共12小题，每小题5分，共60分）1p：点P在直线y2x3上，q：点P在抛物线yx2上，下面使“pq”为真命题的一个点P(x，y)是()A(0，3)B(1,2) C(1，1) D(1,1)2已知F1(8,3)，F2(2,3)，动点P满足|PF1|PF2|10，则P点的轨迹是()A双曲线B双曲线的一支 C直线 D一条射线3.命题“xR，nN*，使得nx2”的否定形式是()AxR，nN*，使得nx2 BxR，nN*，使得nx2CxR，nN*，使得nx2 DxR，nN*，使得nx24若点P到直线x1的距
2、离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为()A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线5已知m，nR，则“mn0”是“方程1表示双曲线”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件6已知椭圆1的一个焦点为(2,0)，则椭圆的方程是()A.1 B.1 Cx21 D.17与椭圆y21共焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是()A.y21 B.y21 C.1 Dx218已知ABC的顶点B，C在椭圆y21上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则ABC的周长是()A2 B6 C4 D129.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为()
3、A. B. C. D.10已知点P(8，a)在抛物线y24px上，且点P到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为()A2B4 C8 D1611已知双曲线1(a0，b0)的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2xy0垂直，则双曲线的方程为()A.y21 Bx21 C.1 D.112已知过抛物线y26x焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是()A.或 B.或 C.或 D.二、 填空题（本大题共4小题，每小题5分 ，共20分）13已知椭圆1的焦点在y轴上，若焦距为4，则m等于_14若双曲线1的右焦点与抛物线y212x的焦点重合，则m_.15已知动圆M过定点A(3,0)，并且内切于定圆B：(x3)
4、2y264，则动圆圆心M的轨迹方程16.已知抛物线y22x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，则|PA|PF|的最小值为三、 解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）17.(本小题满分12分)求椭圆4x29y236的长轴长、短轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率18.(本小题满分12分)求双曲线9y24x236的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程19.(本小题满分12分)求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)过点M(6,6)；(2)焦点F在直线l：3x2y60上20(本小题满分12分)已知双曲线C：1(a0，b0)的
5、离心率为，且.(1)求双曲线C的方程；(2)已知直线xym0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2y25上，求m的值21(本小题满分12分)已知椭圆1(ab0)的离心率e，过点A(0，b)和B(a,0)的直线与原点的距离为.(1)求椭圆的方程(2)已知定点E(1,0)，若直线ykx2(k0)与椭圆交于C，D两点，问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点，请说明理由22.(本小题满分10分)已知椭圆C：1(ab0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为.直线yk(x1)与椭圆C交于不同的两点M，N.(1)求椭圆C的方程；(2)当AMN的面积为时，求k的值1p：点P在直线y2x3
6、上，q：点P在抛物线yx2上，下面使“pq”为真命题的一个点P(x，y)是( )A(0，3) B(1,2) C(1，1) D(1,1)解析：选C 使“pq”为真命题的点即为直线y2x3与抛物线yx2的交点2已知F1(8,3)，F2(2,3)，动点P满足|PF1|PF2|10，则P点的轨迹是( )A双曲线 B双曲线的一支 C直线 D一条射线解析：选D F1，F2是定点，且|F1F2|10，所以满足条件|PF1|PF2|10的点P的轨迹应为一条射线3 (浙江高考)命题“xR，nN*，使得nx2”的否定形式是( )AxR，nN*，使得nx2 BxR，nN*，使得nx2CxR，nN*，使得nx2 Dx
7、R，nN*，使得nx2解析 由于特称命题的否定形式是全称命题，全称命题的否定形式是特称命题，所以“xR，nN*，使得nx2”的否定形式为“xR，nN*，使得nx2”答案 D4若点P到直线x1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为( )A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线解析：选D 由题意得点P到直线x2的距离与它到点(2,0)的距离相等，因此点P的轨迹是抛物线5已知m，nR，则“mn0”是“方程m(x2)n(y2)1表示双曲线”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选C 若方程m(x2)n(y2)1表示双曲线，则必有mn0；当mn0时，方程m(x
8、2)n(y2)1表示双曲线所以“mn0”是“方程m(x2)n(y2)1表示双曲线”的充要条件6已知椭圆a2(x2)2(y2)1的一个焦点为(2,0)，则椭圆的方程是( )A.4(x2)2(y2)1 B.3(x2)2(y2)1 Cx22(y2)1 D.6(x2)2(y2)1解析：选D 由题意知，椭圆焦点在x轴上，且c2，a2246，因此椭圆方程为6(x2)2(y2)1，故选D.7与椭圆4(x2)y21共焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是( )A.4(x2)y21 B.2(x2)y21 C.3(x2)3(y2)1 Dx22(y2)1解析：选B 法一：椭圆4(x2)y21的焦点坐标是(，0)设双曲
9、线方程为a2(x2)b2(y2)1(a0，b0)，因为双曲线过点P(2,1)，所以a2(4)b2(1)1，又a2b23，解得a22，b21，所以所求双曲线方程是2(x2)y21.法二：设所求双曲线方程为4(x2)1(y2)1(1b0)，且焦点分别是A(3,0)，B(3,0)，且2a8，a4，c3，b2a2c21697.所求动圆圆心M的轨迹方程是16(x2)7(y2)1.16. 已知抛物线y22x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，则|PA|PF|的最小值为解 如图，作PNl于N(l为准线)，作ABl于B，则|PA|PF|PA|PN|AB|，当且仅当P为AB与抛物线的交点时，取
10、等号(|PA|PF|)min|AB|32(1)2(7).此时yP2，代入抛物线得xP2，P点坐标为(2,2)17. (本小题满分12分)求椭圆4x29y236的长轴长、短轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率解 椭圆方程变形为9(x2)4(y2)1，a3，b2，c .椭圆的长轴长和焦距分别为2a6,2c2，焦点坐标为F1(，0)，F2(，0)，顶点坐标为A1(3,0)，A2(3,0)，B1(0，2)，B2(0,2)，离心率ea(c)3(5).18.(本小题满分12分)求双曲线9y24x236的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程解 双曲线的方程化为标准形式是9(x2)4(y2
11、)1，a29，b24，a3，b2，c.又双曲线的焦点在x轴上，顶点坐标为(3,0)，(3,0)，焦点坐标为(，0)，(，0)，实轴长2a6，虚轴长2b4，离心率ea(c)3(13)，渐近线方程为y3(2)x.19.(本小题满分12分)求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)过点M(6,6)；(2)焦点F在直线l：3x2y60上解 (1)由于点M(6,6)在第二象限，过M的抛物线开口向左或开口向上若抛物线开口向左，焦点在x轴上，设其方程为y22px(p0)，将点M(6,6)代入，可得362p(6)，p3.抛物线的方程为y26x.若抛物线开口向上，焦点在y轴上，设其方程为x22py(p0)，将点M
12、(6,6)代入可得，362p6，p3，抛物线的方程为x26y.综上所述，抛物线的标准方程为y26x或x26y.(2)直线l与x轴的交点为(2,0)，抛物线的焦点是F(2,0)，2(p)2，p4，抛物线的标准方程是y28x.直线l与y轴的交点为(0，3)，即抛物线的焦点是F(0，3)，2(p)3，p6，抛物线的标准方程是x212y.综上所述，所求抛物线的标准方程是y28x或x212y.20(本小题满分12分)已知双曲线C：a2(x2)b2(y2)1(a0，b0)的离心率为，且c(a2)3(3).(1)求双曲线C的方程；(2)已知直线xym0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2
13、y25上，求m的值解：(1)由题意得，(c)解得.(a1，)所以b2c2a22.所以双曲线C的方程为x22(y2)1.(2)设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)由1，(y2)得x22mxm220(判别式0)所以x02(x1x2)m，y0x0m2m.因为点M(x0，y0)在圆x2y25上，所以m2(2m)25.故m1.21(本小题满分12分)已知椭圆a2(x2)b2(y2)1(ab0)的离心率e3(6)，过点A(0，b)和B(a,0)的直线与原点的距离为2(3).(1)求椭圆的方程(2)已知定点E(1,0)，若直线ykx2(k0)与椭圆交于C，
14、D两点，问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点，请说明理由解：(1)直线AB方程为：bxayab0.依题意3解得b1.(3，)椭圆方程为3(x2)y21.(2)假若存在这样的k值，由x23y230，(ykx2，)得(13k2)x212kx90.(12k)236(13k2)0.设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则.(9)而y1y2(kx12)(kx22)k2x1x22k(x1x2)4.要使以CD为直径的圆过点E(1,0)，当且仅当CEDE时，则x11(y1)x21(y2)1，即y1y2(x11)(x21)0.(k21)x1x2(2k1)(x1x2)50.将式代入整理解得k6(7).经验
15、证k6(7)使成立综上可知，存在k6(7)，使以CD为直径的圆过点E.22.(本小题满分10分)已知椭圆C：a2(x2)b2(y2)1(ab0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为2(2).直线yk(x1)与椭圆C交于不同的两点M，N.(1)求椭圆C的方程；(2)当AMN的面积为3(10)时，求k的值 解题流程 6椭圆m(x2)4(y2)1的焦距是2，则m的值是_解析：当椭圆的焦点在x轴上时，a2m，b24，c2m4，又2c2，c1.m41，m5.当椭圆的焦点在y轴上时，a24，b2m，c24m1，m3.答案：3或5椭圆a2(x2)b2(y2)1(ab0)的离心率为2(3)，且椭圆与直线x2y8
16、0相交于P，Q，且|PQ|，求椭圆的方程解：e2(3)，b24(1)a2.椭圆的方程为x24y2a2.与x2y80联立消去y，得2x216x64a20，由0，得a232，由弦长公式得104(5)642(64a2)a236，b29.椭圆的方程为36(x2)9(y2)1.例3 已知点P(4,2)是直线l被椭圆36(x2)9(y2)1所截得的线段的中点，求直线l的方程解 法一：由题意可设直线l的方程为y2k(x4)，而椭圆的方程可以化为x24y2360.将直线方程代入椭圆的方程有(4k21)x28k(4k2)x4(4k2)2360.x1x24k21(8k(4k2)8，k2(1).直线l的方程为y22
17、(1)(x4)，即x2y80.法二：设直线l与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，360.(2)两式相减，有(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0.又x1x28，y1y24，x1x2(y1y2)2(1)，即k2(1).直线l的方程为x2y80.例3 已知P为椭圆12(x2)3(y2)1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，F1PF260，求F1PF2的面积解 在PF1F2中，|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60，即36|PF1|2|PF2|2|PF1|PF2|.由椭圆的定义得|PF1|PF2|4，即48|PF1|2|PF2|22|PF1|P
18、F2|.由得|PF1|PF2|4.S2(1)|PF1|PF2|sin 60.例3 在抛物线y22x上求一点P，使P到直线xy30的距离最短，并求出距离的最小值解 法一：设P(x0，y0)是y22x上任一点，则点P到直线l的距离d2(|x0y03|)2(|(y01)25|)，当y01时，dmin4(2)，P，1(1).法二：设与抛物线相切且与直线xy30平行的直线方程为xym0，由y22x，(xym0，)得y22y2m0，(2)242m0，m2(1).平行直线的方程为xy2(1)0，此时点到直线的最短距离转化为两平行线之间的距离，则dmin4(2)，此时点P的坐标为，1(1).2直线yx1被椭圆4(x2)2(y2)1所截得的弦的中点坐标是( )A.3(5) B.3(7) C.3(1) D.2(17)解析：选C 设A(x1，y1)，B(x2，y2)为直线与椭圆的交点，中点M(x0，y0)，由1，(y2)得3x24x20.x02(x1x2)2(1)3(4)3(2)，y0x013(1)，中点坐标为3(1).