1、31数系的扩充与复数的引入31.1实数系31.2复数的引入第1课时复数系1.了解数系的扩充过程2.理解复数的基本概念和复数相等的充要条件3能用复数的相关概念和复数相等的充要条件解题1数系的扩充脉络及集合表示 N ZQRC2复数系(1)复数的概念设a，bR，形如abi的数叫做复数，表示为zabi(a，bR)(代数形式)其中a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部，i叫做虚数单位(2)复数的分类(3)复数相等的充要条件设a、b、c、d都是实数，那么abicdiac且bd；abi0ab01判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)若a，b为实数，则zabi为虚数()(2)复数z14i，z23i，则z1z2.
2、()(3)复数zbi是纯虚数()(4)实数集与复数集的交集是实数集()答案：(1)(2)(3)(4)2以3i的虚部为实部，以3i的实部为虚部的复数是()A33iB3iCiDi答案：A3若(x2y)i2x13i，则实数x，y的值分别为_答案：，复数的有关概念下列命题：若aR，则(a1)i是纯虚数；若a，bR，且ab，则aibi；若(x24)(x23x2)i是纯虚数，则实数x2；实数集是复数集的真子集其中正确的是()ABC D【解析】对于复数abi(a，bR)，当a0且b0时，为纯虚数对于，若a1，则(a1)i不是纯虚数，即错误两个虚数不能比较大小，则错误对于，若x2，则x240，x23x20，此
3、时(x24)(x23x2)i0，不是纯虚数，则错误显然，正确故选D【答案】D(1)一个数的平方为非负数在实数范围内是真命题，在复数范围内是假命题，所以在判定数的性质和结论时，一定要关注在哪个数集上 (2)对于复数实部、虚部的确定不但要把复数化为abi的形式，更要注意这里a，b均为实数时，才能确定复数的实、虚部下列命题：两个复数不能比较大小；若zabi，则当a0，b0时，z为纯虚数；xyi1ixy1；若实数a与虚数ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应其中错误命题的个数是()A1 B2C3 D4解析：选D因为实数也是复数，而两个实数是可以比较大小的，故错；中没有注意到zabi中未对a，b加以限制，
4、故错；中在x，yR时可推出xy1，而此题未限制x，yR，故错；中忽视了当a0时，ai0，即0在虚数集中没有对应，故错，因此选D 复数的分类当实数m为何值时，复数z(m22m)i为(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？【解】(1)当，即m2时，复数z是实数(2)当m22m0，且m0，即m0且m2时，复数z是虚数(3)当，即m3时，复数z是纯虚数复数的分类问题的解决方法(1)对于复数zabi(a，bR)的分类问题，要理清其分类的充要条件：复数z是实数b0；复数z为虚数b0；复数z为纯虚数a0，且b0. (2)利用复数代数形式进行分类时，主要依据虚部和实部满足的条件，求参数时可由此列出方程(组)，但
5、必须要全面考虑所有条件，不能遗漏1.若复数(a23a2)(a1)i是纯虚数，则实数a的值为()A1B2C1或2 D1解析：选B根据复数的分类知，需满足解得即a2.2已知复数zm23m(m25m6)i(mR)，若z0，则m_解析：因为mR，且z0，所以zR，所以解得m2.答案：23当实数m为何值时，复数lg(m22m7)(m25m6)i是(1)纯虚数；(2)实数解：(1)复数lg(m22m7)(m25m6)i是纯虚数，则解得m4.(2)复数lg(m22m7)(m25m6)i是实数，则解得m2或m3.复数相等的应用(1)设x，yR，且(2x3y7)(xy)i(3x2y)ixy.求x，y.(2)已知
6、A1，2，a23a1(a25a6)i，B1，3，AB3，求实数a的值【解】(1)因为x，yR，由复数相等的条件得解得(2)由题意知，a23a1(a25a6)i3(aR)，所以即所以a1.复数相等的充要条件(1)在两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a，b，c，dR，即当a，b，c，dR时，abicdiac且bd.若忽略前提条件，则结论不能成立(2)利用该条件把复数的实部和虚部分离出来，达到“化虚为实”的目的，从而将复数问题转化为实数问题来求解 关于x的方程3x2x1(10x2x2)i有实根，求实数a的值解：设方程的实数根为xm，则原方程可变为3m2m1(10m2m2)i，所以，解得a11或
7、a.1掌握复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系；对于复数abi(a，bR)，当且仅当b0时，复数abi(a，bR)是实数a；当b0时，复数zabi是虚数；当a0且b0时，zbi是纯虚数；当且仅当ab0时，z就是实数0.2复数相等的充要条件：若a，b，c，dR，则abicdiac，bd(i为虚数单位)利用该条件把复数的实部和虚部分离出来，达到“化虚为实”的目的，从而将复数问题转化为实数问题来求解1一般地，两个复数只能相等或不相等，不能比较大小2复数zabi(a，bR)为纯虚数时，应a0且b0，一定不要漏b0这个条件1复数abi(a，bR)为纯虚数是a0的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条
8、件 D既不充分又不必要条件解析：选A若abi为纯虚数，则必有a0，故为充分条件；但若a0，且b0时，abi0为实数，故不是必要条件2若实数x，y满足(1i)x(1i)y2，则x、y的值分别为()A1，1 B1，2C2，1 D2，1解析：选A由(1i)x(1i)y2有(xy)(xy)i2，依复数相等的充要条件有所以xy1，故选A3以2i的虚部为实部，以i2i2的实部为虚部的新复数是_解析：2i的虚部是2，i2i2i2的实部是2，由题意知新复数是22i.答案：22i4复数1i的虚部的平方是_解析：1i的虚部是1，故(1)21.答案：1A基础达标12，i，0，85i，(1)i，0.618这几个数中，
9、纯虚数的个数为()A0B1C2 D3解析：选Ci，(1)i是纯虚数，2，0，0.618是实数，85i是虚数2若复数2bi(bR)的实部与虚部互为相反数，则b的值为()A2 BC D2解析：选D复数2bi的实部为2，虚部为b，由题意知2(b)，所以b2.3设A实数，B纯虚数，全集U复数，那么下面结论正确的是()AABU BUABCA(UB) DB(UB)U解析：选D由复数的分类可知选项D正确4复数za2b2(a|a|)i(a，bR)为实数的充要条件是()A|a|b| Ba0且ab Da0解析：选D复数z为实数的充要条件是a|a|0，即|a|a，得a0，故应选D5下列命题：若zabi，则仅当a0，
10、b0时z为纯虚数；若zz0，则z1z20；若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集可建立一一对应关系其中正确命题的个数是()A0 B1C2 D3解析：选A在中未对zabi中a，b的取值加以限制，故错误；在中将虚数的平方与实数的平方等同，如若z11，z2i，则zz110，但z1z20，故错误；在中忽视0i0，故也是错误的故选A6如果x1yi与i3x为相等复数，x、y为实数，则x_，y_解析：由复数相等可知所以答案：17已知复数zm2(1i)m(mi)(mR)，若z是实数，则m的值为_解析：zm2m2im2mi(m2m)i，所以m2m0，所以m0或1.答案：0或18若复数z(sin cos 1)(s
11、in cos )i是纯虚数则sin2 017cos2 017_.解析：由题意得由得sin cos 1，又sin2cos21.所以或所以sin2 017cos2 017(1)2 01702 0171.答案：19已知关于实数x，y的方程组有实数解，求实数a，b的值解：对，根据复数相等的充要条件，得解得把代入，得54a(6b)i98i，且a，bR，所以解得10已知mR，复数z(m22m3)i，当m为何值时，(1)zR；(2)z是虚数；(3)z是纯虚数解：(1)当zR时，则有解得m3，所以当m3时，zR.(2)当z是虚数时，则有解得m3且m1，所以当m3且m1时，z是虚数(3)当z是纯虚数时，则有解得
12、m0或m2，所以当m0或m2时，z是纯虚数B能力提升11“a2”是“复数z(a24)(a1)i(aR)为纯虚数”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选A当a2时，复数z(a24)(a1)ii，为纯虚数；当复数z(a24)(a1)i为纯虚数时，有解得a2，故选A12已知z14a1(2a23a)i，z22a(a2a)i，其中aR，z1z2，则a的值为_解析：由z1z2，得即解得a0.答案：013已知M1，(m22m)(m2m2)i，P1，1，4i，若MPP，求实数m的值解：因为MPP，所以MP，即(m22m)(m2m2)i1或(m22m)(m2m2)i4i.由(m22m)(m2m2)i1，得解得m1；由(m22m)(m2m2)i4i，得解得m2.综上可知m1或m2.14(选做题)已知关于x的方程x2(k2i)x2ki0有实根x0，求x0以及实数k的值解：xx0是方程的实根，代入方程并整理，得(xkx02)(2x0k)i0.由复数相等的充要条件，得解得或所以方程的实根为x0或x0.相应的k值为k2或k2.