1、2020年高考数学一模试卷一、选择题1已知集合A2，3，4，4，5，Bx|x1|，则AB（）A2，3，4B2，4，5C1，2，3，4，0，1，2，3，4，5D2，42i是虚数单位，复数Z满足条件2Z+|Z|2i，则复数Z在复平面的坐标为（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3双曲线x2a2-y25=1（a0）的一条渐进线与直线y=5x垂直，则a的值为（）A5B25C5D14已知平面、，直线l，直线m不在平面上，下列说法正确的是（）A若，m，则lmB若，m，则lmC若1m，则mD若lm，m，则5对于非零向量a、b，“2a=b”是“a，b共线”的（）A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件
2、D既不充分也不必要条件6已知函数f（x）为定义在3，3的奇函数，且f（2）f（1）f（3）0，则下列各式一定正确的是（）Af（1）f（log218）f（0）f（log139）Bf（log139）+f（1）f（log218）+f（0）Cf（log139）+f（1）f（1）f（log28）Df（log13 9）+f（1）f（log218）+f（0）7三角形ABC中，A，B，C对应的边分别为a，b，c，A=23，b3，三角形ABC的面积为1534，则边a的值为（）A19B912C7D498已知实数a、b，ab0，则aba2+b2+a2b2+4的最大值为（）A16B14C17D69已知函数f（x）si
3、n（4x+3）（x0，1324），函数g（x）f（x）+a有三个零点x1，x2，x3，则x1+x2+x3的取值范围是（）A103，72B712，58C0，58）D712，58）二、填空题10在（x-y2）5的展开式中，xy3的系数是 11已知抛物线的焦点为F（0，-12），点P（1，t）在抛物线上，则点P到F的距离 12已知圆O过点A（0，0）、B（0，4）、C（1，1），点D（3，4）到圆O上的点最小距离为 13正四棱锥的高与底面边长相等且体积为83，以底面中心为球心，经过四棱锥四条侧棱中点的球的表面积为 14已知圆O内接正三角形ABC边长为2，圆心为O，则OBOC= ，若线段BC上一点D，
4、BD=12DC，OCAD= 15函数f（x）x，g（x）x2x+3，若存在x1，x2，xn0，92，使得f（x1）+f（x2）+f（xn1）+g（xn）g（x1）+g（x2）+g（xn1）+f（xn），nN*，则n的最大值为 三、解答题16已知递增等差数列an，等比数列bn，数列cn，a1c11，c49，a1、a2、a5成等比数列，bnan+cn，nN*（1）求数列an、bn的通项公式；（2）求数列cn的前n项和Sn17“海河英才”行动计划政策实施1年半以来，截止2019年11月30日，累计引进各类人才落户23.5万人具体比例如图，新引进两院院士，长江学者，杰出青年，科学基金获得者等顶尖领军人
5、才112人，记者李军计划从人才库中随机抽取一部分进行调查（1）李军抽取了8人其中学历型人才4人，技能型人才3人，资格型人才1人，周二和周五随即进行采访，每天4人（4人任意顺序），周五采访学历型人才不超过2人的概率：（2）李军抽取不同类型的人才有不同的采访补助，学历型人才500元/人，技能型人才400元/人，资格型人才600元/人，则创业急需型人才最少需要多少元/人使每名人才平均采访补贴费用大于等于500元/人？18如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，正方形ABCD边长为2，E是PA的中点（1）求证：PC平面BDE；（2）求证：直线BE与平面PCD所成角的正弦值为1010，求PA的长度
6、；（3）若PA2，线段PC上是否存在一点F，使AF平面BDE，若存在，求PF的长度，若不存在，请说明理由19已知椭圆x2a2+y2b2=1（ab0）的右焦点为F（c，0），左右顶点分别为A，B，上顶点为C，BFC120（1）求椭圆离心率；（2）点F到直线BC的距离为217，求椭圆方程；（3）在（2）的条件下，点P在椭圆上且异于A，B两点，直线AP与直线x2交于点D，说明P运动时以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并证明20已知函数f（x）x2x+klnx，k0（1）函数f（x）在点（1，f（1）处的切线的斜率为2，求k的值；（2）讨论函数f（x）的单调性；（3）若函数f（x）有两个不同极值点
7、为x1、x2，证明|f（x1）f（x2）|14-2k参考答案一.选择题1已知集合A2，3，4，4，5，Bx|x1|，则AB（）A2，3，4B2，4，5C1，2，3，4，0，1，2，3，4，5D2，4【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可解：集合A2，3，4，4，5，Bx|x1|（+1，+1）AB2，4，故选：D2i是虚数单位，复数Z满足条件2Z+|Z|2i，则复数Z在复平面的坐标为（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】设Zx+yi，（x，yR）由2Z+|Z|2i，可得2（x+yi）+x2+y2=2i，可得：2x+x2+y2=0，2y2，解出即可得出解：设Zx+
8、yi，（x，yR）2Z+|Z|2i，2（x+yi）+x2+y2=2i，可得：2x+x2+y2=0，2y2，解得y1，x=-33复数Z在复平面的坐标为（-33，1）在第二象限故选：B3双曲线x2a2-y25=1（a0）的一条渐进线与直线y=5x垂直，则a的值为（）A5B25C5D1【分析】首先根据题意，由双曲线的方程判断出a0，进而可得其渐近线的方程；再求得直线y=5x的斜率，根据直线垂直关系列出方程，求解即可解：根据题意，双曲线x2a2-y25=1（a0）的一条渐进线为y5ax；直线y=5x的斜率为5，双曲线x2a2-y25=1（a0）的一条渐进线与直线y=5x垂直，必有双曲线的一条渐近线的斜
9、率为-55；即 a5，故选：A4已知平面、，直线l，直线m不在平面上，下列说法正确的是（）A若，m，则lmB若，m，则lmC若1m，则mD若lm，m，则【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一分析四个选项得答案解：对于A，若，m，则lm或l与m异面，故A错误；对于B，若，m，则m，又l，则lm，故B正确；对于C，若1m，则m或m，故C错误；对于D，若lm，m，则或与相交，故D错误故选：B5对于非零向量a、b，“2a=b”是“a，b共线”的（）A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】对于非零向量a、b，“2a=b”“a，b共线”，反之不一定成
10、立，可举例说明解：对于非零向量a、b，“2a=b”“a，b共线”，反之不一定成立，可能：a=2b等“2a=b”是“a，b共线”的充分不必要条件故选：B6已知函数f（x）为定义在3，3的奇函数，且f（2）f（1）f（3）0，则下列各式一定正确的是（）Af（1）f（log218）f（0）f（log139）Bf（log139）+f（1）f（log218）+f（0）Cf（log139）+f（1）f（1）f（log28）Df（log13 9）+f（1）f（log218）+f（0）【分析】根据题意，由奇函数的性质可得f（0）0，据此结合不等式的性质依次分析选项，综合即可得答案解：根据题意，函数f（x）为定
11、义在3，3的奇函数，则有f（0）0，据此分析选项：对于A，f（1）f（log218）f（0）f（log139），即f（1）f（3）f（0）f（2），变形可得f（1）+f（3）f（2），不一定正确；对于B，f（log139）+f（1）f（log218）+f（0），即f（2）+f（1）f（3）+f（0），变形可得f（2）+f（1）f（3），不正确；对于C，f（log139）+f（1）f（1）f（log28），即f（2）+f（1）f（1）f（3），变形可得f（2）2f（1）+f（3）0，不一定正确；对于D，f（log13 9）+f（1）f（log218）+f（0），即f（2）+f（1）f（3），变形
12、可得f（2）+f（1）f（3），又由f（2）f（1）f（3）0，则必有f（2）+f（1）f（3），故D一定正确；故选：D7三角形ABC中，A，B，C对应的边分别为a，b，c，A=23，b3，三角形ABC的面积为1534，则边a的值为（）A19B912C7D49【分析】由已知利用三角形的面积公式可求c的值，进而根据余弦定理可求a的值解：A=23，b3，三角形ABC的面积为1534=12bcsinA=123c32，解得：c5，由余弦定理可得：a=b2+c2-2bccosA=9+25-235(-12)=7故选：C8已知实数a、b，ab0，则aba2+b2+a2b2+4的最大值为（）A16B14C17
13、D6【分析】直接利用关系式的恒等变换的应用和基本不等式的应用求出结果解：由于a2+b22ab0，所以aba2+b2+a2b2+4ab2ab+a2b2+4，故：ab2ab+a2b2+4=12+ab+4ab12+2ab4ab=16，（当且仅当ab时，等号成立）故选：A9已知函数f（x）sin（4x+3）（x0，1324），函数g（x）f（x）+a有三个零点x1，x2，x3，则x1+x2+x3的取值范围是（）A103，72B712，58C0，58）D712，58）【分析】根据题意画出函数f（x）的图象，函数g（x）f（x）+a有三个零点，等价于函数yf（x）与函数ya有三个交点，利用数形结合法即可求
14、出x1+x2+x3的取值范围解：根据题意画出函数f（x）的图象，如图所示：，函数g（x）f（x）+a有三个零点，等价于函数yf（x）与函数ya有三个交点，当直线l位于直线l1与直线l2之间时，符合题意，由图象可知：x1+x2=224=12，1224x31324，所以712x1+x2+x358，故选：D二、填空题10在（x-y2）5的展开式中，xy3的系数是-54【分析】写出二项展开式的通项，得到r值，则答案可求解：（x-y2）5的展开式的通项为Tr+1=C5r(x)5-r(-y2)r=(-12)rC5rx5-r2yr取r3，可得（x-y2）5的展开式xy3的系数为(-12)3C53=-54故答
15、案为：-5411已知抛物线的焦点为F（0，-12），点P（1，t）在抛物线上，则点P到F的距离1【分析】先通过焦点坐标，求出p和抛物线的方程，再把点P的坐标代入，可求得t，然后利用抛物线的定义即可得解解：设抛物线的方程为x22py（p0），抛物线的焦点为F（0，-12），p1，抛物线的方程为x22y，把点P（1，t）代入x22y，得12t，t=-12，由抛物线的定义可知，点P到F的距离为|t|+p2=12+12=1故答案为：112已知圆O过点A（0，0）、B（0，4）、C（1，1），点D（3，4）到圆O上的点最小距离为5【分析】由题意利用用待定系数法求出圆的方程，再根据点和圆的位置关系，得出结
16、论解：设圆O的方程为x2+y2+dx+ey+f0，圆O过点A（0，0）、B（0，4）、C（1，1），f=00+16+0+4e+f=01+1+d+e+f=0，求得d=2e=-4f=0，故圆的方程为 x2+y2+2x4y0，即 （x+1）2+（y2）25，表示圆心为（1，2）、半径为5的圆|DO|=(3+1)2+(4-2)2=25，故点D（3，4）到圆O上的点最小距离为25-5=5，故答案为：513正四棱锥的高与底面边长相等且体积为83，以底面中心为球心，经过四棱锥四条侧棱中点的球的表面积为6【分析】先利用正四棱锥的体积求出底面边长，根据题意，四棱锥四条侧棱中点围成一个边长为1的正方形EFGH，而
17、球O是以正方形EFGH为底面，点O为中心的长方体的外接球，从而利用长方体的外接球即可求出球O的半径，进而求出球O的表面积解：设正四棱锥的底面边长为a，则高也是a，所以正四棱锥的体积为：13a2a=83，解得：a2，设底面中心为点O，则O为球心，易知四棱锥四条侧棱中点围成一个边长为1的正方形EFGH，如图所示：，因为球O经过四棱锥四条侧棱中点，所以球O是以正方形EFGH为底面，点O为中心的长方体的外接球，显然长方体的高为2，所以球O的半径R=1212+12+22=62，所以球O的表面积为：4R2464=6，故答案为：614已知圆O内接正三角形ABC边长为2，圆心为O，则OBOC=-23，若线段B
18、C上一点D，BD=12DC，OCAD=23【分析】先根据正弦定理求得半径R，进而求得第一个空，再结合向量的三角形法则求得第二个空解：因为ABC是半径为R的O的内接正三角形所以asinA=2R，解得R=233显然OBC是等腰三角形，且OBOCR，BOC120OBOC=R2cos120=-23，线段BC上一点D，BD=12DC，OCAD=-13（CA+CB）（AC+23CB）=-13（CA+CB）（-CA+23CB）=-13（-CA2-13CACB+23CB2）=-13（22-1322cos60+2322）=23；故答案为：-23，2315函数f（x）x，g（x）x2x+3，若存在x1，x2，xn
19、0，92，使得f（x1）+f（x2）+f（xn1）+g（xn）g（x1）+g（x2）+g（xn1）+f（xn），nN*，则n的最大值为8【分析】因为f（x1）+f（x2）+f（xn1）+g（xn）g（x1）+g（x2）+g（xn1）+f（xn）等价于（x11）2+2+（x21）2+2+（xn11）2+2（xn1）2+2有解，又左边的最小值为2（n1），右边的最大值为574，所以2（n1）574且n为正整数，从而可得n的最大值为8解：因为f（x1）+f（x2）+f（xn1）+g（xn）g（x1）+g（x2）+g（xn1）+f（xn）等价于（x11）2+2+（x21）2+2+（xn11）2+2（x
20、n1）2+2有解，x1，x2，xn0，92，（x11）2+2+（x21）2+2+（xn11）2+22（n1），（xn1）2+2574，根据题意得2（n1）574且n为正整数，n658，n的最大值为8，故答案为：8三、解答题16已知递增等差数列an，等比数列bn，数列cn，a1c11，c49，a1、a2、a5成等比数列，bnan+cn，nN*（1）求数列an、bn的通项公式；（2）求数列cn的前n项和Sn【分析】（1）设等差数列的公差为d，d0，由等比数列的中项性质，解方程可得公差，进而得到an；再由b1a1+c1，可得bn的首项，结合等比数列的通项公式求得公比，进而得到bn；（2）求得cnbn
21、an2n（2n1），再由数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，可得所求和解：（1）递增等差数列an的公差设为d，d0，a1、a2、a5成等比数列，可得a22a1a5，即（a1+d）2a1（a1+4d），即为（1+d）21+4d，解得d2（0舍去），则an2n1，nN*；等比数列bn的公比设为q，b1a1+c12，bn2qn1，b4a4+c416，即有q3=162=8，解得q2，则bn2n，nN*；（2）cnbnan2n（2n1），前n项和Snc1+c2+cn（2+22+2n）1+3+（2n1）=2(1-2n)1-2-12（1+2n1）n2n+12n217“海河英才”行动计划政策实施
22、1年半以来，截止2019年11月30日，累计引进各类人才落户23.5万人具体比例如图，新引进两院院士，长江学者，杰出青年，科学基金获得者等顶尖领军人才112人，记者李军计划从人才库中随机抽取一部分进行调查（1）李军抽取了8人其中学历型人才4人，技能型人才3人，资格型人才1人，周二和周五随即进行采访，每天4人（4人任意顺序），周五采访学历型人才不超过2人的概率：（2）李军抽取不同类型的人才有不同的采访补助，学历型人才500元/人，技能型人才400元/人，资格型人才600元/人，则创业急需型人才最少需要多少元/人使每名人才平均采访补贴费用大于等于500元/人？【分析】（1）设事件A表示“周五采访学
23、历型人才不超过2人”，利用古典概型概率计算公式能求出周五采访学历型人才不超过2人的概率（2）设创业急需型人才最少需要x元/人使每名人才平均采访补贴费用大于等于500元/人，各类人才的补贴数额为随机变量，取值分别为400，500，600，x，分别求出相应的概率，进而求出E（）484.6+0.018x，由484.6+0.018x500，能求出结果解：（1）设事件A表示“周五采访学历型人才不超过2人”，则周五采访学历型人才不超过2人的概率为：P（A）=C44+C41C42+C42C42C84=5370（2）设创业急需型人才最少需要x元/人使每名人才平均采访补贴费用大于等于500元/人，各类人才的补贴
24、数额为随机变量，取值分别为400，500，600，x，P（400）25.5%0.255，P（500）53.6%0.536，P（600）19.1%0.191，P（x）1.8%0.018，E（）4000.255+5000.536+6000.191+0.018x484.6+0.018x，484.6+0.018x500，解得x77009855.56，创业急需型人才最少需要855.56元/人使每名人才平均采访补贴费用大于等于500元/人18如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，正方形ABCD边长为2，E是PA的中点（1）求证：PC平面BDE；（2）求证：直线BE与平面PCD所成角的正弦值为101
25、0，求PA的长度；（3）若PA2，线段PC上是否存在一点F，使AF平面BDE，若存在，求PF的长度，若不存在，请说明理由【分析】（1）由题意，以D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系Dxyz设PAa（a0），求出平面BDE的一个法向量为n1=(x1，y1，z1)与PC的坐标，利用PCn1=0，结合PC平面BDE，可得PC平面BDE；（2）设平面PCD的法向量为n2=(x2，y2，z2)，求出n2=(2，-a，0)及BE=(a2，0，-2)，由已知线面角的正弦值结合两向量所成角的余弦值列式求得a值，可得PA的长度是2或4；（3）由PA2，得P（2，2，0），设线段PC上存在一点F，使AF平面B
26、DE，且PF=PC，得到F（22，22，2），再由n1与AF共线求得，得到PF的坐标，则|PF|可求【解答】（1）证明：PA平面ABCD，ABCD为正方形，以D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系Dxyz设PAa（a0）则A（0，2，0），B（0，2，2），C（0，0，2），D（0，0，0），P（a，2，0），E（a2，2，0）PC=(-a，-2，2)，设平面BDE的一个法向量为n1=(x1，y1，z1)DB=(0，2，2)，DE=(a2，2，0)，由nDB=2y1+2z1=0nDE=a2x1+2y1=0，取y11，得n1=(-4a，1，-1)PCn1=4-2-2=0，又PC平面BDE，PC
27、平面BDE；（2）证明：设平面PCD的法向量为n2=(x2，y2，z2)，DC=(0，0，2)，DP=(a，2，0)，由n2DC=2z2=0n2DP=ax2+2y2=0，令x22，得n2=(2，-a，0)BE=(a2，0，-2)，由题意，|cosBE，n2|BEn2|BE|n2|=a4+a244+a2=1010，解得a2或4，PA的长度是2或4；（3）解：PA2，P（2，2，0），设线段PC上存在一点F，使AF平面BDE，且PF=PC，由PF=PC，得F（22，22，2），又n1=(-2，1，-1)，AF=(2-2，-2，2)，由2-2-2=-21，解得=13|PF|PF|=(-23)2+(-
28、23)2+(23)2=23319已知椭圆x2a2+y2b2=1（ab0）的右焦点为F（c，0），左右顶点分别为A，B，上顶点为C，BFC120（1）求椭圆离心率；（2）点F到直线BC的距离为217，求椭圆方程；（3）在（2）的条件下，点P在椭圆上且异于A，B两点，直线AP与直线x2交于点D，说明P运动时以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并证明【分析】（1）根据BFC120可知，OFC60，再结合锐角三角函数即可求得离心率；（2）由（1）的结论，先导出b与c的关系，确定B和C的坐标后，写出直线BC的方程，利用点到直线的距离公式可建立a与c的等量关系，再结合a2c，即可求得a、b、c的值，于是
29、得解；（3）直线AP的斜率一定存在，设其方程为yk（x+2）（k0），点P的坐标为（xP，yP），将其与椭圆的方程联立，利用两根之积可表示出点P的坐标；把x2代入直线AP方程可求出点D的坐标，从而得到以BD为直径的圆的圆心E的坐标；然后分PFx轴和PF不垂直x轴两个类别讨论圆E与直线PF的位置关系即可解：（1）BFC120，OFC60，即ca=cos60=12故椭圆的离心率为12（2）由（1）可知，a2c，b=3c，B（a，0），C（0，b），直线BC的方程为y=-ba(x-a)=-32(x-a)，点F到直线BC的距离d=|32(a-c)|1+(-32)2=3(a-c)7=217，即ac1，a
30、2，c1，b=3，故椭圆的方程为x24+y23=1（3）以BD为直径的圆与直线PF相切证明如下：直线AP的斜率一定存在，设其方程为yk（x+2）（k0），点P的坐标为（xP，yP），联立y=k(x+2)x24+y23=12得，（4k2+3）x2+16k2x+16k2120，-2xP=16k2-124k2+3即xP=6-8k24k2+3，yP=k(xP+2)=12k4k2+3，把x2代入yk（x+2）得，y4k，点D（2，4k），以BD为直径的圆的圆心E的坐标为（2，2k），当PFx轴，即k=12时，点P（1，32），直线PF方程为x1，圆心E（2，1），半径为1，圆E与直线PF相切；当PF不垂
31、直x轴，即k12时，kPF=yPxP-1=4k1-4k2，直线PF方程为y=4k1-4k2(x-1)，点E到直线PF的距离d=|4k1-4k2-2k|1+(4k1-4k2)2=|2k|，为圆E的半径，圆E与直线PF相切综上所述，当点P运动时，以BD为直径的圆与直线PF相切20已知函数f（x）x2x+klnx，k0（1）函数f（x）在点（1，f（1）处的切线的斜率为2，求k的值；（2）讨论函数f（x）的单调性；（3）若函数f（x）有两个不同极值点为x1、x2，证明|f（x1）f（x2）|14-2k【分析】（1）直接令x1处的导数值为2即可；（2）讨论导数的零点存在情况及大小情况，确定导数的在每个
32、区间上的符号，从而确定原函数的单调性；（3）利用极值点满足的韦达定理，将f（x1）f（x2）转化为关于的函数，然后再结合要解决的问题，最终化归为一个不等式恒成立，求函数的最值的问题解：（1）f(x)=2x-1+kx(x0)，f（1）1+k2，k1（2）令f（x）0得：2x2x+k0，18k当k18时，0，f（x）0，f（x）在（0，+）上递增；当0k18时，0，x1x2=k20，x1+x2=120，故x1，x20x1=1+1-8k4，x2=1-1-8k4，x1x2，可知：f（x）在(0，1-1-8k4)，(1+1-8k4，+)上递增；在(1-1-8k4，1+1-8k4)上递减（3）证明：由（2）知，0k18，f（x2）f（x1）所以f（x1）f（x2）=x12-x22-(x1-x2)+klnx1x2=（x1x2）（x1+x21）+klnx1x2=-4+kln1+1-=-4+kln(1+)-ln(1-)，令t=(0，1)则14-2k=14=14t2，只需证明t4+kln(1-t)-ln(1+t)t24即证：g（t）=t24-t4-kln(1-t)-ln(1+t)0又g(t)=t2-14-k(-11-t-11+t)=t2-14+2k1-t2，且1t21（18k）8k，g(t)=t20，g（t）在（0，1）上递增，所以g（t）g（0）0，得证