1、2020年高考模拟检测数学试题一、单项选择题：本题共8小题、每小题5分、共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.若全集，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】分别求出集合A和B，再求出，即可得解.【详解】由题，.故选：C【点睛】此题考查集合补集和并集的运算，关键在于准确求解已知集合的值域和定义域，根据集合的运算法则求解.2.任意复数（，i为虚数单位）都可以的形式，其中，该形式为复数的三角形式，其中称为复数的辐角主值.若复数，则z的辐角主值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先将复数，利用复数的除法运算化简为，再化为三角形式求
2、解.【详解】因为，所以，所以z的辐角主值为.故选：D【点睛】本题主要考查复数的代数形式与三角形式的转化，还考查了运算求解的能力，属于基础题.3.“”是“直线与直线垂直”的（ ）A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】首先根据两直线垂直系数之间的关系求出值，再利用充分条件、必要条件的定义即可得出答案.【详解】充分性：若，则，即两直线垂直，充分性满足；必要性：直线与直线垂直，则，解得，必要性满足；即“”是“直线与直线垂直”的充要条件.故选：A【点睛】本题考查了充分条件、必要条件的定义，考查了两直线垂直系数之间的关系，属于基础题.4.已
3、知函数，且，则（ ）A. B. 2C. 3D. 【答案】A【解析】【分析】根据分段函数的定义计算【详解】，所以，解得故选：A【点睛】本题考查分段函数，根据自变量的不同取值范围选择不同的表达式计算是解题关键本题考查了三角函数的计算，对数的概念属于中档题5.在连续5次模拟考试中，统计甲、乙两名同学的数学成绩得到如图所示的茎叶图.已知甲同学5次成绩的平均数为111，乙同学5次成绩的中位数为103，则的值为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】A【解析】【分析】利用平均数和中位数，求得的值，进而求得的值.【详解】依题意，解得.乙的中位数为，所以.所以.故选：A【点睛】本小题主要考查茎叶图中的平
4、均数和中位数的计算，属于基础题.6.已知函数的最小正周期为，则函数的一个对称中心可以是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】对函数进行三角恒等变换，根据最小正周期求得函数解析式，即可求出对称中心.【详解】由题可得，最小正周期为，即所以，令，所以其对称中心为，结合选项可得，B选项符合题意.故选：B【点睛】此题考查根据函数最小正周期求参数的取值，根据函数解析式求对称中心，关键在于熟练掌握三角恒等变换和对称中心的求解方法.7.已知非零实数a，x，y满足，则下列关系式恒成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用特殊值排除错误选项，利用分析法证明正确选项.【详
5、解】依题意非零实数a，x，y满足，则，所以.不妨设，则，所以A选项错误；，所以B选项错误；由于，根据指数函数的性质可知：，所以C选项错误.依题意，要证明，只需证明，即证，即证，构造函数，由于，所以，所以在区间上恒成立，所以区间上递增，所以，所以.故D选项正确.故选：D【点睛】本小题主要考查不等关系的判断，属于中档题.8.已知图象连续不断的函数的定义域为R，是周期为2的奇函数，在区间上恰有5个零点，则在区间上的零点个数为（ ）A. 5050B. 4041C. 4040D. 2020【答案】B【解析】【分析】根据函数的奇偶性，得出且在区间内有4个零点，再结合函数的周期性，即可求解.【详解】由函数的
6、定义域为R上的奇函数，可得，又由在区间上恰有5个零点，可得函数在区间和内各有2个零点， 因为是周期为2，所以区间内有两个零点，且，即函数在区间内有4个零点，所以在区间上的零点个数为个零点.故选：B.【点睛】本题主要考查了抽象函数的零点个数的判定，以及函数的奇偶性的应用，着重考查了分析维内托和解答问题的能力.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.已知曲线方程为，则下列结论正确的是（ ）A. 当时，曲线为椭圆，其焦距为B. 当时，曲线为双曲线，其离心率为C. 存在实数使得曲线为焦点在
7、轴上的双曲线D. 当时，曲线为双曲线，其渐近线与圆相切【答案】B【解析】【分析】根据的取值和椭圆、双曲线的几何性质可确定的正误；根据方程表示双曲线可构造不等式，确定的正误；根据直线与圆位置关系的判定可知的正误.【详解】对于，当时，曲线的方程为，轨迹为椭圆，焦距，错误；对于，当时，曲线的方程为，轨迹为双曲线，则，离心率，正确；对于，若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则，解集为空集，不存在实数使得曲线为焦点在轴上的双曲线，错误；对于，当时，曲线的方程为，其渐近线方程为，则圆的圆心到渐近线的距离，双曲线渐近线与圆不相切，错误.故选：.【点睛】本题考查椭圆、双曲线几何性质的应用，涉及到椭圆和双曲线焦距和离
8、心率的求解、根据方程表示双曲线求解参数、直线与圆位置关系的判定等知识，是对解析几何部分基础知识的综合考查.10.已知的面积为3，在所在的平面内有两点P，Q，满足，记的面积为S，则下列说法正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】BD【解析】【分析】利用向量的共线定义可判断A；利用向量加法的三角形法则以及向量减法的几何意义即可判断B；利用向量数量积的定义可判断C；利用三角形的面积公式即可判断D.【详解】由，可知点P为的三等分点，点Q 为延长线的点，且为的中点，如图所示：对于A，点P为的三等分点，点为的中点，所以与不平行，故A错误； 对于B，,故B正确；对于C，故C错误；对于D，设的高为，即，
9、则的面积，故D正确；故选：BD【点睛】本题考查了平面向量的共线定理、共线向量、向量的加法与减法、向量的数量积，属于基础题11.如图，正方形的边长为1，E，F分别是，的中点，交EF于点D，现沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使，三点重合，重合后的点记为G，则在四面体中必有（ ）A. 平面EFGB. 设线段SF的中点为H，则平面SGEC. 四面体的体积为D. 四面体的外接球的表面积为【答案】ABD【解析】【分析】对选项折成四面体后，由此能证明平面；对选项,证明SE，即得证；对选项,求出四面体的体积为，即得解；对选项,求出三棱锥的外接球的半径为，即得解.【详解】对选项，在折前正方形中，折
10、成四面体后，又， 平面，平面所以选项正确.对选项,对选项,连接因为,所以,因为平面,平面,所以平面SGE.所以选项正确.对选项,前面已经证明平面,所以是三棱锥的高，且.由题得，所以.所以，所以四面体的体积为.所以选项错误.对选项,由于,所以可以把三棱锥放到长方体模型之中，长方体的三条棱为,所以三棱锥的外接球的直径.所以选项正确.故选：ABD.【点睛】本题主要考查空间直线平面位置关系的证明，考查空间几何体体积的计算和外接球问题的求解，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.12.某同学在研究函数的性质时，受两点间距离公式的启发，将变形为，则下列关于函数的描述正确的是（ ）A. 函数在区间上单调递增
11、B. 函数的图象是中心对称图形C. 函数的值域是D. 方程无实数解【答案】ACD【解析】【分析】设，函数表示轴上点到两点的距离之和，让在轴上移动，可观察出函数的变化情况，从而判断各选项的正确性【详解】设，表示轴上点到两点的距离之和，设，以为焦点，为短轴上一个端点，作椭圆，轴与此椭圆相切于点，当从向右移动时，逐渐增大，即函数在区间上单调递增，A正确；当与重合时，最小，最小值为，因此的值域是，C正确；函数图象关于直线对称，不是中心对称是，B错误；当或时，由于，因此和都无解，D正确故选：ACD【点睛】本题考查函数的性质，解题关键是把函数转化为轴上点到两点的距离之和，这样通过点的移动直观地得出函数的性
12、质三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.13.抛物线过圆的圆心，为抛物线上一点，则A到抛物线焦点F的距离为_.【答案】5【解析】【分析】求得圆心的坐标，由此求得抛物线的方程，进而求得抛物线的准线方程，结合抛物线的定义，求得到抛物线焦点的距离.【详解】圆的圆心为，即，代入抛物线方程得，所以抛物线方程为，其准线方程为，则A到抛物线焦点F的距离等于到抛物线准线的距离，即距离为.故答案为：【点睛】本小题主要考查圆的方程，考查抛物线的定义，属于基础题.14.已知，则_.【答案】【解析】【分析】根据两角差的正弦公式展开得，结合齐次式求解.【详解】由题.故答案为：【点睛】此题考查三角恒等变换化简
13、求值，根据正切值求三角函数值，关键在于熟练掌握两角差的正弦公式，结合齐次式求解.15.已知函数（为自然对数的底数）的图象恒过定点，（1）则点的坐标为_；（2）若在点处的切线方程，则_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】令可得定点；利用切线斜率可构造方程求得.【详解】当时，点的坐标为；，解得：.故答案为：；.【点睛】本题考查函数过定点、根据在某点处的切线求解参数值的问题，属于基础题.16.已知，设；数列的前n项和为，当时，n的最小整数值为_.【答案】11【解析】【分析】首先利用赋值法求得，之后应用等比数列求和公式求得，代入求解即可.【详解】因为，令，得，所以，所以，所以即为，所以，故
14、答案为：11.【点睛】该题考查的是有关二项展开式的问题，涉及到的知识点有赋值法求系数和，等比数列求和公式，属于简单题目.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.如图，在平面四边形ABCD中，.（1）若，求四边形ABCD的面积；（2）若，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由勾股定理求得，由余弦定理求得，得角，计算两个三角形面积后可得四边形面积；（2）由正弦定理求得，得，在直角三角形中求出角，由两角和正弦公式可得【详解】解：（1）连接BD，在中，由勾股定理得：，所以，在中，由余弦定理知：，因为，所以，所以，所以ABCD的面积.（2）在中，由正弦
15、定理知：，所以.因为，所以，.在中，所以，所以.【点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理，还考查三角形面积公式，两角和与差的正弦公式等等，运用较多，需确定选用公式的顺序本题属于中档题18.试在，三个条件中选两个条件补充在下面的横线处，使得面ABCD成立，请说明理由，并在此条件下进一步解答该题：如图，在四棱锥中，底ABCD为菱形，若_，且，异面直线PB与CD所成的角为，求二面角的余弦值.【答案】详见解析；余弦值为【解析】【分析】先分析出只能选择，再进行证明和计算.【详解】若选：由平面ABCD知，又，所以面PAC，所以，所以，这与底面ABCD为菱形矛盾，所以必不选，故选.下面证明：平面ABCD，因为
16、四边形ABCD为菱形，所以.因为，所以平面APC.又因为平面APC，所以.因为，O为AC中点，所以.又，所以平面ABCD，因为面ABCD，以O为坐标原点，以，的方向分别作为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图空间直角坐标系，因为，所以为异面直线PB与CD所成的角，所以.在菱形ABCD中，设，因为，所以，设，则，.在中，由余弦定理得：，所以，解得，所以，.设为平面ABP的法向量，由可得：，令得.设为平面CBP的法向量，由可得：，令得：.设二面角平面角为，所以，所以二面角的余弦值为.【点睛】此题考查补齐题目条件并进行求解二面角的大小，关键在于准确判定需要补齐的条件，根据立体几何常见的解题方法求解二面
17、角的大小.19.已知数列的各项均为正数，其前n项和为，.（1）证明：当时，；（2）若是与的等比中项，求数列的前n项和.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）由，得到时，两式相减，化简整理得，即可得到当时，；（2）由（1）和题设条件，得到数列是以1为首项，1为公差的等差数列，求得，进而得到，利用乘公比错位相减法，即可求解.【详解】（1）因，可得当时，两式相减得：，所以，即.因为数列的各项均为正数，所以当时，.（2）由（1）得：，因为是与等比中项，所以，即，解得，又，所以，所以，从而对恒成立，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以，所以，所以两式相减得：，所以.【点睛】本题
18、主要考查等差、等比数列的通项公式及求和公式、以及“错位相减法”求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查考生的逻辑思维能力及基本计算能力等.20.已知为坐标原点，椭圆的离心率为，双曲线的渐近线与椭圆的交点到原点的距离均为.（1）求椭圆的标准方程；（2）若点为椭圆上的动点，三点共线，直线的斜率分别为.（i）证明：；（ii）若，设直线过点，直线过点，证明：为定值.【答案】（1）（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析；【解析】【分析】（1）设渐近线与椭圆交点为，根据到原点的距离和在椭圆上
19、可得到关于的方程，结合离心率即可求得，进而得到椭圆方程；（2）由关于原点对称可假设坐标；（i）利用在椭圆上，满足椭圆方程，代入中化简整理可得结论；（ii）求得后，将直线方程与椭圆方程联立得到韦达定理的形式，利用可得到所求定值.【详解】（1）设椭圆的半焦距为，由题意知：，双曲线的渐近线方程为，可设双曲线的渐近线与椭圆在第一象限的交点为，解得：.在椭圆上，即：，由解得：，椭圆标准方程为：.（2）由题意知：关于原点对称，则可设，.（i）点在椭圆上，.（ii）不妨设，直线过点，直线过点，直线，由得：，由得：，即，为定值.【点睛】本题考查直线与椭圆的综合应用问题，涉及到椭圆标准方程的求解、定值问题的求解
20、与证明等知识；本题中定值问题的求解关键是能够灵活应用韦达定理的结论，将韦达定理代入已知等式中，化简整理得到定值.21.已知函数.（1）若，证明：当时，；（2）若是的极大值点，求正实数a的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）对函数求导，则，再令，则，得出导函数的正负，可得出函数的单调性，继而判断导函数的正负，从而可得出函数的单调性，可得证；（2）分两种情况和，分别讨论得出函数的单调性，由已知可得出正实数a的取值范围.【详解】（1）由题知，令，则，若，当时，所以在上单调递增，所以，所以在上单调递增；所以.（2）若，由（1）知：在上单调递增；因此不可能是的极大值点.若，令
21、，因为当时，所以即在上单调递增.又因为，因此存在满足：，所以当时，所以在上单调递减，所以当时，；当时，；所以在上单调递增；在上单调递减；综上，当是的极大值点时，.【点睛】本题考查运用导函数研究函数的单调性、极值、最值等问题，关键在于构造合适的函数，由其导函数的正负得出原函数的单调性，及其图象趋势，从而可得出所研究的函数的极值、最值、零点等相关的问题，属于难度题.22.中国女排，曾经十度成为世界冠军，铸就了响彻中华的女排精神.女排精神的具体表现为：扎扎实实，勤学苦练，无所畏惧，顽强拼搏，同甘共苦，团结战斗，刻苦钻研，勇攀高峰.女排精神对各行各业的劳动者起到了激励、感召和促进作用，给予全国人民巨大
22、的鼓舞.（1）看过中国女排的纪录片后，某大学掀起“学习女排精神，塑造健康体魄”的年度主题活动，一段时间后，学生的身体素质明显提高，将该大学近5个月体重超重的人数进行统计，得到如下表格：月份x12345体重超重的人数y640540420300200若该大学体重超重人数y与月份变量x（月份变量x依次为1，2，3，4，5）具有线性相关关系，请预测从第几月份开始该大学体重超重的人数降至10人以下？（2）在某次排球训练课上，球恰由A队员控制，此后排球仅在A队员、B队员和C队员三人中传递，已知每当球由A队员控制时，传给B队员的概率为，传给C队员的概率为；每当球由B队员控制时，传给A队员的概率为，传给C队员
23、的概率为；每当球由C队员控制时，传给A队员的概率为，传给B队员的概率为.记，为经过n次传球后球分别恰由A队员、B队员、C队员控制的概率.（i）若，B队员控制球的次数为X，求；（ii）若，证明：为等比数列，并判断经过200次传球后A队员控制球的概率与的大小.附1：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：；.附2：参考数据：，.【答案】（1）可以预测从第7月份开始该大学体重超重的人数降至10人以下；（2）（i）（ii）证明见解析；.【解析】【分析】（1）利用回归直线方程计算公式，计算出回归直线方程，并由此进行预测.（i）利用相互独立事件概率计算公式，计算出分布列，进而计算出.（ii）证明部分
24、：法一：通过证明证得为等比数列；法二：通过证明证得为等比数列.求得数列的通项公式，由此判断出.【详解】（1）由已知可得：，又因为，所以，所以，所以，当时，所以，可以预测从第7月份开始该大学体重超重的人数降至10人以下.（2）（i）由题知X的可能取值为：0，1，2；的分布列为：所以.（ii）（法一）由，两式相加得：.因为，所以，代入等式得，即所以，因为，所以，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，即，因此经过200次传球后A队员控制球的概率.（法二）由题知：，所以，所以，又因为，所以，所以，所以，所以，又因为，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，即，因此经过200次传球后A队员控制球的概率.【点睛】本小题主要考查回归直线方程的计算，考查利用回归直线方程进行预测，考查根据递推关系证明等比数列，考查随机变量期望值的计算，属于难题.