1、静海区20202021学年度第一学期12月份四校阶段性检测高三数学试卷本试卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分.试卷满分150分.考试时间120分钟.第卷 选择题一、选择题1. 设全集，集合，则（ ）A. B. C. D. D分析：先解出集合，然后按照集合间的运算法则计算即可.解答：集合，则，又所以.故选：D.2. 设，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件A分析：首先解出不等式和，然后再根据充分必要条件的定义即可求出结果.解答：由，得；由，得或；所以“”是“”的充分不必要条件，故选A.点拨：本题主要考查充分条件和必要条件的
2、判断，比较基础3. 函数的图象大致为（ ）A. B. C. D. D分析：根据解析式判断函数的奇偶性，结合函数值的符号是否对应，利用排除法进行判断即可.解答：函数的定义域为，则函数为偶函数，图象关于轴对称，排除，当时，排除，当时，排除，故选：D.点拨：思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.4. 为普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取部分学生参加环保知识测试，这些学生的成绩（分）的频率分布直
3、方图如图所示，数据（分数）的分组依次为，若分数在区间的频数为5，则大于等于60分的人数为（ ）A. 15B. 20C. 35D. 45C分析：根据分数在区间的频数，求出样本容量，再根据大于等于60分频率，即可得出对应的人数.解答：因为分数在区间的频数为5，由频率分布直方图可知，区间对应的频率为，因此样本容量为，所以，大于等于60分的人数为.故选：C.点拨：本题主要考查频率分布直方图的简单应用，属于基础题型.5. 若一个正四面体的棱长为1，四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为（ ）A. B. C. D. A分析：正四面体底面的中心为点，连接连接，根据正四面体的特点可知，外接球球心一定位于上，
4、连接，设，则有，求解出半径即可得到外救球的表面积.解答：如图所示，设正四面体的棱长为，设底面的中心为点，连接，则此四面体的外接球球心位于上，连接，连接并延长交于点，则点为的中点.因为，所以，,则，设，则,解得：，所以此球的表面积为：.故选：A. 点拨：本题考查正棱锥的外接球问题，一般地正棱锥的外接球半径满足，其中为正棱锥的高，为底面外接圆的半径.6. 已知，则的大小关系为（）A. B. C. D. D分析：现判断函数是奇函数，同时又是增函数，结合指数幂和对数的性质判断，三个变量的大小，结合单调性进行判定，即可得到答案.解答：函数是奇函数，当时，为增函数，又由，则，所以，故选D.点拨：本题主要考
5、查了函数值的比较大小问题，其中解答中熟练应用函数的奇偶性和函数的单调性，合理得到的取值范围是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.7. 若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为，则抛物线的标准方程为（ ）A. B. C. D. A分析：先求出抛物线的焦点和双曲线的渐近线方程，根据点到直线的距离及题意求出的值，可得抛物线的方程详解：由题意得抛物线的焦点为又双曲线方程为，故其渐近线方程为，即由题意得，解得抛物线的标准方程为故选A点睛：本题考查抛物线的标准方程和双曲线渐近线方程的求法，属容易题，解题的关键是熟记相关的结论和方法8. 已知函数图象的两条相邻的对称轴之间的距离为2，将
6、的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列是函数的单调递增区间的为（）A. B. C. D. B分析：由函数图象的两条相邻的对称轴之间的距离为2，求得，所以，将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数，利用三角函数的性质，即可求解.解答：函数图象的两条相邻的对称轴之间的距离为2，所以函数的最小正周期为4，则，解得，所以，将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数，令，解得，当时，函数的单调单调递增区间为，故选：B.点拨：本题主要考查了函数的图象变换的应用，以及正弦型函数的图象与性质的应用，其中解答中根据三角函数的图象变换得到函数的解析式，再根据三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了
7、推理与运算能力，属于基础题.9. 已知定义在上的函数满足，若关于的方程恰有5个不同的实数根，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. B分析：根据题意可得函数为奇函数，数形结合可得函数的对称性，根据图像可知，所以即可求得的范围.解答：由题意，所以函数为奇函数，作出函数的图像，因为关于的方程恰有5个不同的实数根，所以由图像可知，设，由函数的对称性可知，由图像可知，故.故选：B.点拨：已知函数零点求参数常用的方法有：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成函数的值域问题解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一个平
8、面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解.第卷非选择题二、填空题10. 若复数满足，其中为虚数单位，则在复平面内所对应的点位于第_象限第三象限分析：先针对原式进行变形，求解出复数z，然后判断其所对应的点在第几象限.解答：由得，则复数在复平面内所对应的点位于第三象限.故答案为：第三象限.点拨：判断复数所对应的点在复平面内在第几象限，只需判断点所确定的点位于第几象限即可.11. 在的二项展开式中，的系数为_分析：先写出二项式的通项公式为，然后求解的值，代入计算的系数.解答：的通项公式为，令，则，所以的系数为.故答案为：.12. 已知直线为圆的切线，则_分析：由于直线与圆相切，利用圆心到直线
9、的距离公式求出圆到直线的距离等于半径，即可求出结果.解答：因为直线为圆的切线，所以圆心到直线的距离为，又，所以，故填.点拨：本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式的运用，属于基础题13. 某合资企业招聘大学生时加试英语听力，待测试的小组中有男、女生共10人（其中女生人数多于男生人数），若从中随机选2人，其中恰为一男一女的概率为.求该小组中女生的人数为_；若该小组中每个女生通过测试的概率均为，每个男生通过测试的概率均为.现对该小组中男生甲、男生乙和女生丙3人进行测试.记这3人中通过测试的人数为随机变量，则数学期望为_ (1). (2). 分析：设这人中女生有人，则男生有人，利用解得的
10、值即可得出女生的人数；对该小组中男生甲、男生乙和女生丙3人进行测试，记这3人中通过测试的人数为随机变量，则的可能值有，分别计算当取时的概率，利用求出期望.解答：设这人中女生有人，则男生有人，若从中选两人，则为一男一女的概率，解得，即女生共有人；记这3人中通过测试的人数为随机变量，则的可能值有，当时，.当时，；当时，;当时，,故.故答案为：；.点拨：计算离散型随机变量的数学期望时，首先要搞清楚的含义及的所有可能取值，然后分别计算取每一个值时的概率，列出的分布列，运用数学期望的计算公式求出数学期望即可.14. 已知，若，则的最小值为_分析：利用换元法，和对数的运算法则化简表达式，然后利用基本不等式
11、求解最小值即可解答：令，则，所以，所以，当且仅当时取等号，故的最小值为3.点拨：本题考查对数值的最小值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意均值不等式和对数性质的合理运用15. 在梯形中，分别为线段和上的动点，且，则的最大值为_.分析：根据平面向量的线性运算与数量积运算，求的解析式，根据题意求出的取值范围，再根据对勾函数的性质求最大值解答：解：梯形中，则，解得；设，则在上单调递增；时取得最大值，故答案为：点拨：本题主要考查了平面向量的线性运算以及平面向量的数量积的运算问题，同时也考查了函数的最值问题，其中解答中根据向量的线性运算和数量积的运算，求得的解析式是解答的关键，着重考查了分析问题和解
12、答问题的能力，属于中档题.三、解答题16. 在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsinA=3csinB，a=6，cosB=（）求b；（）求cos（2B+）（I） ； （II）.分析：（I）利用正弦定理,余弦定理即可得出（II）利用倍角公式,和差公式即可得出解答：（）中，可得，又由，可得，又因，故由，则 ，可得 （）由，可得，进而得，所以点拨：本题考查了正弦定理余弦定理、三角函数求值、倍角公式和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题17. 如图，已知梯形中，四边形为矩形，平面平面（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成二面角的正弦值；（3）若点在线段上，且直线与平面所成
13、角的正弦值为，求线段的长（1）证明见解析；（2）；（3）分析：（1）由四边形为矩形，可得，由面面垂直的性质可得平面取为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，证明，再由线面平行的判定可得平面；（2）求出平面的法向量，求出，可得，则平面与平面所成二面角的正弦值可求；（3）点在线段上，设，可得，由直线与平面所成角的正弦值列式求得，得到，则的长可求解答：（1）证明：四边形为矩形，又平面平面，平面平面，平面取为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，则，0，2，2，0，2，设平面的法向量，由，取，得，又，则，又平面，平面；（2）解：设平面的法向量，由，取
14、，可得，即平面与平面所成二面角的正弦值为；（3）解：点在线段上，设，0，2，又平面的法向量，设直线与平面所成角为，即，则，的长为点拨：本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题18. 已知正项数列的前项和为，且和满足：（1）求通项公式；（2）设，求的前项和；（3）在（2）的条件下，对任意，都成立，求整数的最大值（1）；（2）；（3）7分析：（1）由所给等式根据的关系证明数列为等差数列，确定数列的首项与公差即可写出通项公式；（2）利用裂项相消法求和；（3）作差证明数列是递增数列，根据题意，解不等式即可.解答：（1），-得，化简，是以1为首项，
15、2为公差的等差数列（2）(3)由(2)知，数列是递增数列，则，解得，整数的最大值是7点拨：裂项相消求和法适用于通项公式是分式形式的数列求和，求和时把每一项拆成一个或多个分式的差的形式，然后在累加时抵消中间项.常见的拆项公式：（1） ；（2）；（3）；（4）.19. 如图，已知椭圆：的离心率为，的左顶点为，上顶点为，点在椭圆上，且的周长为.（）求椭圆的方程；（）设是椭圆上两不同点，直线与轴，轴分别交于两点，且，求的取值范围.（）；（）.试题分析：(1)利用题意求得，所以椭圆的方程为；(2)利用题意求得解析式，结合m的取值范围可得的取值范围是.试题解析：（）由题意得：，所以椭圆的方程为；（）又，所
16、以.由，可直线的方程为.由已知得，设.由，得：.，所以，由得.所以即，同理.所以 .由所以.点睛： (1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形20. 已知函数，其中，为自然对数的底数.设是的导函数.（）若时，函数在处切线经过点，求的值；（）求函数在区间上的单调区间；（）若，函数在区间内有零点，求的取值范围.（）1；（）答案见解析；（）.分析：（I）时，利用导数的几何意义，求得切线斜率，切点坐标 ，即可求解切
17、线的方程，进而求解得值；（II）求得函数的导数，根据在单调递增，转化为，分类讨论，即可求解函数的单调区间；（）由得：，得，由已知，设为在区间内的一个零点，则由可知在区间上至少有三个单调区间，得到在区间内存在零点，在区间内也存在零点.则在区间内至少有两个零点，由（II）可知，列出不等式组，即可求解.解答：（I）时， 切线斜率，切点坐标 切线方程 切线经过点， ；（II） . 在单调递增， ，即时，所以单调递增区间为当，即时，所以单调递减区间为 当时，令，得，令，得，令，得，函数单调递减区间为，单调递增区间为 综上可得：当时，单调递增区间为；当时，单调递减区间，单调递增区间为；当时，单调递减区间为
18、. （）由得：，由已知，设为在区间内的一个零点，则由可知，在区间上至少有三个单调区间在区间内存在零点，在区间内也存在零点.在区间内至少有两个零点由（II）可知，当时，在上单调递增，故在内至多有一个零点，不合题意.当时，在上单调递减，故在内至多有一个零点，不合题意， 此时在区间上单调递减，在区间上单调递增 ， 令， ， 令 ，令得；令得；在单调递增，在单调递减.在恒成立.即在时恒成立. 由得， ，的取值范围是点拨：本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及函数的零点问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于函数的零点问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的不等式问题，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题