1、第9讲圆锥曲线的综合问题1直线与圆锥曲线的位置关系的判定(1)代数法：把圆锥曲线方程C1与直线方程l联立消去y，整理得到关于x的方程ax2bxc0.方程ax2bxc0的解l与C1的交点a0b0无解(含l是双曲线的渐近线)无公共点b0有一解(含l与抛物线的对称轴平行(重合)或与双曲线的渐近线平行)一个交点a00两个不相等的解两个交点0两个相等的解一个交点0无实数解无交点(2)几何法：在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线，利用图象和性质可判定直线与圆锥曲线的位置关系2直线与圆锥曲线的相交弦长问题设斜率为k(k0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x
2、1x2|y1y2|.做一做1已知直线xy10与抛物线yax2相切，则a等于()A.B.C. D4解析：选C.由消去y得ax2x10，所以解得a.2双曲线C：1(a0，b0)的右焦点为F，直线l过焦点F，且斜率为k，则直线l与双曲线C的左，右两支都相交的充要条件是()Ak BkCk或k Dk解析：选D.由双曲线渐近线的几何意义知k.1辨明两个易误点(1)直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点(2)直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行或重合时也相交于一点2“点差法”求解弦中点问题的步骤做
3、一做3过点(0，1)作直线，使它与抛物线y24x仅有一个公共点，这样的直线有()A1条B2条C3条 D4条解析：选C.结合图形分析可知(图略)，满足题意的直线共有3条：直线x0，过点(0，1)且平行于x轴的直线以及过点(0，1)且与抛物线相切的直线(非直线x0)4椭圆y21的弦被点(，)平分，则这条弦所在的直线方程是_解析：设弦的两个端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x21，y1y21.A，B在椭圆上，y1，y1.(y1y2)(y1y2)0，即，即直线AB的斜率为.直线AB的方程为y(x)，即2x4y30.答案：2x4y30第1课时直线与圆锥曲线的位置关系_直线与圆锥曲线的位置关
4、系_在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：1(ab0)的左焦点为F1(1，0)，且点P(0，1)在C1上(1)求椭圆C1的方程；(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y24x相切，求直线l的方程解(1)因为椭圆C1的左焦点为F1(1，0)，所以c1.将点P(0，1)代入椭圆方程1，得1，即b1，所以a2b2c22.所以椭圆C1的方程为y21.(2)由题意可知，直线l的斜率显然存在且不等于0，设直线l的方程为ykxm，由消去y并整理得(12k2)x24kmx2m220.因为直线l与椭圆C1相切，所以116k2m24(12k2)(2m22)0.整理得2k2m210.由消去y并整理得k2x2(
5、2km4)xm20.因为直线l与抛物线C2相切，所以2(2km4)24k2m20，整理得km1.综合，解得或所以直线l的方程为yx或yx.规律方法直线与圆锥曲线位置关系的判断方法：用直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组的解的个数，可以研究直线与圆锥曲线的位置关系，即用代数法研究几何问题，这是解析几何的重要思想方法直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点问题，实际上是研究方程组解的个数问题1.已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，其中一个顶点是抛物线x24y的焦点(1)求椭圆C的标准方程；(2)若过点P(2，1)的直线l与椭圆C在第一象限相切于点M，求直线l的方程和点M的坐标解：(1)设椭
6、圆C的方程为1(ab0)，由题意，得b.又，解得a2，c1，故椭圆C的方程为1.(2)因为过点P(2，1)的直线l与椭圆C在第一象限相切，所以l的斜率存在，故可设直线l的方程为yk(x2)1.由得(34k2)x28k(2k1)x16k216k80.因为直线l与椭圆相切，所以8k(2k1)24(34k2)(16k216k8)0.整理，得32(6k3)0，解得k.所以直线l的方程为y(x2)1x2.将k代入式，可以解得M点的横坐标为1，故切点M的坐标为._弦长问题_(2014高考辽宁卷)圆x2y24的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P(如图) (1)求点P的
7、坐标；(2)焦点在x轴上的椭圆C过点P，且与直线l：yx交于A，B两点若PAB的面积为2，求C的标准方程解(1)设切点为P(x0，y0)(x00，y00)，则切线斜率为，切线方程为yy0(xx0)，即x0xy0y4，此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为S.由xy42x0y0知当且仅当x0y0时，x0y0有最大值，即S有最小值，因此点P的坐标为(，)(2)设C的标准方程为1(ab0)，点A(x1，y1)，B(x2，y2)由点P在C上知1，并由得b2x24x62b20.又x1，x2是方程的根，因此由y1x1，y2x2，得|AB|x1x2|由点P到直线l的距离为及SPAB|AB|2，得b
8、49b2180，解得b26或3.因此b26，a23(舍去)或b23，a26.从而所求C的方程为1.规律方法弦长的计算方法求弦长时可利用弦长公式，根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式，然后进行整体代入弦长公式求解注意注意两种特殊情况：(1)直线与圆锥曲线的对称轴平行或垂直；(2)直线过圆锥曲线的焦点2.设F1，F2分别是椭圆E：x21(0b1)的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列(1)求|AB|；(2)若直线l的斜率为1，求b的值解：(1)由椭圆定义知|AF2|AB|BF
9、2|4，又2|AB|AF2|BF2|，得|AB|.(2)设直线l的方程为yxc，其中c.A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标满足方程组化简得(1b2)x22cx12b20.则x1x2，x1x2.因为直线AB的斜率为1，所以|AB|x2x1|，即|x2x1|.则(x1x2)24x1x2，因为0b1.所以b._中点弦问题_(2014高考江西卷)过点M(1，1)作斜率为的直线与椭圆C：1(ab0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于_解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则0，.，x1x22，y1y22，a22b2.又b2a2c2，a22(a2c2)，a2
10、2c2，.答案本例条件变为：过点M(1，1)的直线l与椭圆C：1(ab0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，求直线l的方程解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则0，.x1x22，y1y22，直线l的方程为：y1(x1)，即x2y30.规律方法处理中点弦问题常用的求解方法：1点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1x2，y1y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率2根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解注意中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端：根与系数的关系在
11、解题过程中易产生漏解，需关注直线的斜率问题；点差法在确定范围方面略显不足3.(2015广东肇庆模拟)已知双曲线C的两个焦点坐标分别为F1(2，0)，F2(2，0)，双曲线C上一点P到F1，F2距离差的绝对值等于2.(1)求双曲线C的标准方程；(2)经过点M(2，1)作直线l交双曲线C的右支于A，B两点，且M为AB的中点，求直线l的方程解：(1)依题意，得双曲线C的实半轴长为a1，焦半距为c2，所以其虚半轴长b.又其焦点在x轴上，所以双曲线C的标准方程为x21.(2)设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则两式相减，得3(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0.因为M(2
12、，1)为AB的中点，所以所以12(x1x2)2(y1y2)0，即kAB6.故AB所在直线l的方程为y16(x2)，即6xy110.1(2015河南郑州市质量预测)过抛物线y28x的焦点F作倾斜角为135的直线交抛物线于A，B两点，则弦AB的长为()A4B8C12 D16解析：选D.抛物线y28x的焦点F的坐标为(2，0)，直线AB的倾斜角为135，故直线AB的方程为yx2，代入抛物线方程y28x，得x212x40.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦AB的长|AB|x1x2412416.2已知双曲线1与直线y2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为()A(1，) B(1，C(，) D，)解
13、析：选C.双曲线的一条渐近线方程为yx，则由题意得2，e.3(2015昆阳市调研)已知斜率为2的直线l与双曲线C：1(a0，b0)交于A、B两点，若点P(2，1)是AB的中点，则C的离心率等于()A2 B2C. .解析：选D.设A(x1，y1)、B(x2，y2)，代入双曲线方程得1，1，两式相减得，2，ab.故双曲线是等轴双曲线，则离心率为.4经过椭圆y21的一个焦点作倾斜角为45的直线l，交椭圆于A，B两点设O为坐标原点，则等于()A3 BC或3 D解析：选B.依题意，当直线l经过椭圆的右焦点(1，0)时，其方程为y0tan 45(x1)，即yx1，代入椭圆方程y21并整理得3x24x0，解
14、得x0或x，所以两个交点坐标分别为(0，1)，(，)，同理，直线l经过椭圆的左焦点时，也可得.5过抛物线y22px(p0)的焦点F，斜率为的直线交抛物线于A，B两点，若(1)，则的值为()A5 B4C. D.解析：选B.根据题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由，得(x1，y1)(x2，y2)，故y1y2，即.设直线AB的方程为y(x)，联立直线与抛物线方程，消元得y2pyp20.故y1y2p，y1y2p2，2，即2.又1，故4.6(2015东北三省联考)已知椭圆C：1(ab0)，F(，0)为其右焦点，过F且垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2.则椭圆C的方程为_解析：由题意得解得椭
15、圆C的方程为1.答案：17过点M(2，2p)作抛物线x22py(p0)的两条切线，切点分别为A，B，若线段AB的中点的纵坐标为6，则p的值是_解析：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，依题意得，y，切线MA的方程是yy1(xx1)，即yx.又点M(2，2p)位于直线MA上，于是有2p2，即x4x14p20；同理有x4x24p20，因此x1，x2是方程x24x4p20的两根，则x1x24，x1x24p2.由线段AB的中点的纵坐标是6，得y1y212，即12，12，解得p1或p2.答案：1或28(2015郑州模拟)已知双曲线x21上存在两点M，N关于直线yxm对称，且MN的中点在抛物线y218
16、x上，则实数m的值为_解析：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点P(x0，y0)，则由得(x2x1)(x2x1)(y2y1)(y2y1)，显然x1x2.3，即kMN3，M，N关于直线yxm对称，kMN1，y03x0，又y0x0m，P(，)，代入抛物线方程得m218()，解得m0或8，经检验都符合答案：0或89设抛物线C：y24x，F为C的焦点，过F的直线L与C相交于A，B两点(1)设L的斜率为1，求|AB|的大小；(2)求的值解：(1)F(1，0)，直线L的方程为yx1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x26x10，x1x26，x1x21.|AB|8.(2)设直线L的方程
17、为xky1，由，得y24ky40，y1y24k，y1y24，(x1，y1)，(x2，y2)x1x2y1y2(ky11)(ky21)y1y2k2y1y2k(y1y2)1y1y24k24k2143.10(2015衡水中学调研)已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F1和F2，且|F1F2|2，点(1，)在该椭圆上(1)求椭圆C的方程；(2)过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若AF2B的面积为.求以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程解：(1)由题意知c1，2a4，a2，故椭圆C的方程为1.(2)当直线lx轴时，可取A(1，)，B(1，)，AF2B的面积为3，不符合题意当直
18、线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为yk(x1)，代入椭圆方程得：(34k2)x28k2x4k2120，显然0成立，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.可得|AB|，又圆F2的半径r，AF2B的面积为|AB|r，化简得：17k4k2180，得k1，r，圆的方程为(x1)2y22.1(2015昆明三中、玉溪一中联考)已知椭圆1(ab0)的离心率为，右焦点到直线xy0的距离为2.(1)求椭圆的方程；(2)过点M(0，1)作直线l交椭圆于A，B两点，交x轴于N点，满足，求直线l的方程解：(1)设右焦点为(c，0)，则2，c2，c或c3(舍去)又离心率，即，解得a2，则b，故椭
19、圆的方程为1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，N(x0，0)，因为，所以(x1x0，y1)(x2x0，y2)，y1y2，易知当直线l的斜率不存在或斜率为0时，不成立，于是设l的方程为ykx1(k0)，联立消去x得(4k21)y22y18k20，因为0，所以直线与椭圆相交于是y1y2，y1y2，由得，y2，y1，代入整理得8k4k290，k21，k1.所以直线l的方程是yx1或yx1.2已知椭圆E：1(ab0)，其焦点为F1，F2，离心率为，直线l：x2y20与x轴，y轴分别交于点A，B.(1)若点A是椭圆E的一个顶点，求椭圆的方程；(2)若线段AB上存在点P满足|PF1|PF2|2
20、a，求a的取值范围解：(1)由椭圆的离心率为，得ac，由A(2，0)，得a2，c，b，椭圆方程为1.(2)由e，设椭圆方程为1，联立，得6y28y4a20，若线段AB上存在点P满足|PF1|PF2|2a，则线段AB与椭圆E有公共点，等价于方程6y28y4a20在y0，1上有解，设f(y)6y28y4a2，即，a24，故a的取值范围是a2.3(2015安徽合肥市质量检测)已知椭圆：1(ab0)的长轴长为4，且过点.(1)求椭圆的方程；(2)设A，B，M是椭圆上的三点若，点N为线段AB的中点，C，D，求证：|NC|ND|2.解：(1)由已知可得，故所以椭圆的方程为y21.(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1，y1.由，得M.因为M是椭圆C上一点，所以1，即21，得21，故y1y20.又线段AB的中点N的坐标为，所以2y1y21，从而线段AB的中点N在椭圆2y21上又椭圆2y21的两焦点恰为C，D，所以|NC|ND|2.
