1、第一章 三角函数 第8节 三角函数模型的应用 温故知新1函数 yAsin(x)b(A0，0)的图象与性质(1)图象的画法：“五点法”和变换法(2)定义域：_.(3)值域：_当 x_(kZ)时，y 取最大值 Ab；当 x_(kZ)时，y 取最小值Ab.Ab，Ab2k22k2R(4)周期：T_.(5)奇偶性：当且仅当k(kZ)时，函数yAsin(x)是_函数；当且仅当k 2(kZ)时，函数yAsin(x)是_函数2奇偶(6)单调性：单调递增区间是(7)对称性：函数图象与 x 轴的交点是对称中心，即对称中心是k，0，对称轴与函数图象的交点的纵坐标是函数的最值，即对称轴是直线 xk2，其中 kZ.(8
2、)对于函数 yAsin(x)(A0，0)的图象，相邻的两个对称中心或两条对称轴相距个周期；相邻的一个对称中心和一条对称轴相距周期的_半四分之一2y7sin6x6 的周期与最大值分别是()A12，7 B12，7C12,7 D12，7答案 C3函数f(x)sinx43 的一条对称轴方程为()Ax3 Bx6Cx2Dx23答案 B4f(x)Asin(x)(xR，A0，|2)的图象如图所示，则f(x)的解析式是_答案 f(x)2sinx6解析 由图象得A2，周期T45613 2，则2 2，解得.则有f(x)2sin(x)，函数图象经过点13，2，则f13 2，即22sin3，则sin3 1，又|0，|0
3、,0)为偶函数，且其图象上相邻的一个最高点和最低点之间的距离为 42.(1)求函数 f(x)的解析式；(2)若 sinxf(x)23，求 sinxcosx 的值命题方向 1求函数的解析式分析 题中给出了两个等量关系，根据函数的奇偶性可求出，根据最高点与最低点的距离可求出 值解析(1)f(x)为偶函数，f(x)f(x)，即 sin(x)sin(x)2.f(x)sin(x2)cosx.相邻两点 P(x0,1)，Q(x0，1)，|PQ|24 42，即 1.f(x)cosx.(2)由 sinxf(x)23，得 sinxcosx23.两边平方，得 sinxcosx 518.点评 本题解答的技巧是将图形语
4、言转化为符号语言，读图、识图、用图是数形结合的有效途径已知函数 yf(x)的图象上的每一点的纵坐标扩大到原来的 4 倍，横坐标扩大到原来的 2 倍，然后把所得的图象沿 x轴向左平移2，这样得到的曲线和 y2sinx 的图象相同，则函数 yf(x)的解析式为_ 答案 y12sin(2x2)解析建模应用引路已 知 某 海 滨 浴 场 的 海 浪 高 度 y(米)是 时 间t(0t24，单位：小时)的函数，记作：yf(t)下表是某日各时的浪高数据：命题方向 2由实际数据求函数解析式t(时)03691215182124y(米)1.5 1.0 0.51.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5经长期
5、观测，yf(t)的曲线可近似地看成是函数 yAcostb.(1)根据以上数据，求出函数 yAcostb 的最小正周期T，振幅 A 及函数表达式；(2)根据规定，当海浪高度高于 1 米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天的上午时至晚上时之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？分析 本题以实际问题引入，注意通过表格提供的数据来抓住图形的特征解析(1)由表中数据，知周期 T12，2T 6.由 t0，y1.5，得 Ab1.5.又由 t3，y1.0，得 b1.0，A0.5，b1.0，即振幅为12.y12cos6t1.(2)由题意知，当 y1 时才对冲浪者开放，12cos6t11，cos6t0，
6、2k26t2k2，即 12k3t12k3.0t24，令 k 分别为 0,1,2，得 0t3 或 9t15 或2110.5，即 3sin 2365(t79)1210.5，sin 2365(t79)12，t0,365，49t0，0)在区间0，2上截直线 y2 及 y1 所得的弦长相等且不为 0，则下列对 A、a 的描述正确的是()Aa12，A32Ba12，A32Ca1，A1 Da1，A1 答案 A 解析 图象的上下部分的分界线为 y21212，得 a12，且 2A3，即 A32.名师辨误作答不能正确认识简谐运动的过程而导致错误弹簧振子以点 O 为平衡位置，在 B、C 两点间做简谐运动，B、C 两点
7、相距 20 cm，某时刻振子处在 B 点，经 0.5秒振子首先到达 C 点求：(1)振动的振幅、周期和频率；(2)振子在 5 秒内通过的路程及这时相对平衡位置的位移的大小错解(1)因为 B、C 相距 20 cm，所以振幅 A20cm.因为振子从 B 点经 0.5 秒首次达到 C 点，所以周期 T0.5 s，频率 f1T2 Hz.(2)5 秒内的路程位移5A100 cm.错因分析 实际问题中，变量常常有一定的范围，因此，在转化为数学模型后要注意标出自变量的取值范围思路分析 振子以 O 为平衡位置，在 B、C 间做简谐运动，B、C 相距 20 cm，说明振子离开平衡位置的最大值和最小值点相距 20 cm，即振幅的 2 倍等于 20 cm；振子从 B 点经 0.5秒首次到达 C 点，再返回 B 点才是一个周期，因此，应有T20.5 s；路程与位移有区别，路程只有大小，位移不仅有大小，还有方向正解(1)设振幅为 A，则 2A20 cm，A10 cm.设周期为 T，则T20.5，T1 s，f1 Hz.(2)振子在 1 个周期内通过的距离为 4A，故在 t5 s5T内，距离为 s54A20A2010200(cm)2(m)5秒末物体处在B点，所以它相对平衡位置的位移为10 cm.
