1、第4讲函数的奇偶性及周期性1函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称2.周期性(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期做一做1(2014高考重庆卷)下列函数
2、为偶函数的是()Af(x)x1Bf(x)x2xCf(x)2x2x Df(x)2x2x答案：D2(2014高考四川卷)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x1，1)时，f(x)则f_解析：函数的周期是2，所以fff，根据题意f421.答案：11辨明三个易误点(1)应用函数的周期性时，应保证自变量在给定的区间内(2)判断函数的奇偶性，易忽视函数定义域是否关于原点对称定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件(3)判断函数f(x)是奇函数，必须对定义域内的每一个x，均有f(x)f(x)，而不能说存在x0使f(x0)f(x0)，对于偶函数的判断以此类推2活用周期性三个常用结论对f(x)定义
3、域内任一自变量的值x：(1)若f(xa)f(x)，则T2a；(2)若f(xa)，则T2a；(3)若f(xa)，则T2a.做一做3已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)，则f(8)的值为()A1 B0C1 D2解析：选B.由f(x4)，则T8，f(8)f(0)0.4已知f(x)ax2bx是定义在a1，2a上的偶函数，那么ab的值是()AB.C. D解析：选B.f(x)ax2bx是定义在a1，2a上的偶函数，a12a0，a.又f(x)f(x)，b0，ab.,学生用书P21P23)_函数的周期性_(1)已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且f(x1)，若f(x)在1，0上是减函数，那么f(x
4、)在2，3上是()A增函数B减函数C先增后减的函数 D先减后增的函数(2)(2014高考安徽卷)若函数f(x)(xR)是周期为4的奇函数，且在0，2上的解析式为f(x)则 ff_解析(1)由题意知f(x2)f(x)，所以f(x)的周期为2，又函数f(x)是定义域为R的偶函数，且f(x)在1，0上是减函数，则f(x)在0，1上是增函数，所以f(x)在2，3上是增函数(2)f(x)是以4为周期的奇函数，fff，fff.当0x1时，f(x)x(1x)，f.当1x2时，f(x)sin x，fsin.又f(x)是奇函数，ff，ff.ff.答案(1)A(2)若本例(2)中“奇函数”变为“偶函数”，其他条件
5、不变，结果如何？解：fff，fffsin ，ff.规律方法函数周期性的判定判断函数的周期只需证明f(xT)f(x)(T0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是高考考查的重点问题1.设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x2)f(x)当x0，2时，f(x)2xx2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x2，4时，求f(x)的解析式解：(1)证明：f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)是周期为4的周期函数(2)x2，4，x4，2，4x0，2，f(4x)2(4x)(4x)2x26x8.又f(4x)f(x)f(x)，f(
6、x)x26x8，即f(x)x26x8，x2，4_判定函数的奇偶性_判断下列函数的奇偶性(1)f(x)x3；(2)f(x)；(3)f(x).扫一扫进入91导学网()函数奇偶性的判断解(1)原函数的定义域为x|x0，关于原点对称，并且对于定义域内的任意一个x都有f(x)(x)3(x3)f(x)，从而函数f(x)为奇函数(2)f(x)的定义域为1，1，关于原点对称又f(1)f(1)0，f(1)f(1)0，f(x)既是奇函数又是偶函数(3)f(x)的定义域为R，关于原点对称，当x0时，f(x)(x)22(x22)f(x)；当x0时，f(x)(x)22(x22)f(x)；当x0时，f(0)0，也满足f(
7、x)f(x)故该函数为奇函数规律方法1.判定函数奇偶性的常用方法及思路：(1)定义法(2)图象法2分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x的范围取相应的解析式化简，判断f(x)与f(x)的关系，得出结论，也可以利用图象作判断2.判断下列函数的奇偶性(1)f(x)；(2)f(x)；(3)f(x)(4)f(x)x2|xa|2.解：(1)函数f(x)的定义域为，不关于坐标原点对称，函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数(2)由，得2x2且x0，f(x)的定义域为2，0)(0，2，关于原点对称f(x).f(x)f(x)，f(x)是奇函数(3)易知函数的定义域为(，
8、0)(0，)，关于原点对称，又当x0时，f(x)x2x，则当x0时，x0，故f(x)x2xf(x)；当x0时，f(x)x2x，则当x0时，x0，故f(x)x2xf(x)，故原函数是偶函数(4)函数f(x)的定义域为R.当a0时，f(x)f(x)，f(x)是偶函数当a0时，f(a)a22，f(a)a22|a|2，f(a)f(a)，且f(a)f(a)2(a2|a|2)20，f(x)是非奇非偶函数_函数奇偶性的应用(高频考点)_函数的奇偶性是函数的重要性质，常与函数的单调性及周期性相结合命题，以选择题或填空题的形式考查，难度稍大，为中高档题高考对函数奇偶性考查主要有以下四个命题角度：(1)求函数值；
9、(2)求函数解析式；(3)求函数解析式中参数的值；(4)作函数图象或判断单调性(1)(2014高考湖南卷)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)g(x)x3x21，则f(1)g(1)()A3 B1C1 D3(2)已知奇函数f(x)的定义域为2，2，且在区间2，0上递减，则满足f(1m)f(1m2)0的实数m的取值范围是_(3)(2015广东湛江调研)设函数f(x)为奇函数，则k_解析(1)f(x)g(x)x3x21，f(x)g(x)x3x21.f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，f(x)f(x)，g(x)g(x)f(x)g(x)x3x21.f(1)g(1)1111.
10、(2)f(x)的定义域为2，2，解得1m，又f(x)为奇函数，且在2，0上递减，f(x)在2，2上递减，f(1m)m21，即2m1.综合可知，1m1.即实数m的取值范围是1，1)(3)f(x)为奇函数，f(x)f(x)，(x2)(xk)(2x)(kx)，x22xkx2k2kkx2xx2，k2.答案(1)C(2)1，1)(3)2规律方法与函数奇偶性有关问题的解决方法(1)已知函数的奇偶性，求函数值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解(2)已知函数的奇偶性求解析式将待求区间上的自变量，转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析
11、式(3)已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值常常利用待定系数法：利用f(x)f(x)0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程求解(4)应用奇偶性画图象和判断单调性利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性3.(1)(2015唐山高三年级统一考试)f(x)是R上的奇函数，当x0时，f(x)x3ln(1x)，则当x0时，f(x)()Ax3ln(1x) Bx3ln(1x)Cx3ln(1x) Dx3ln(1x)(2)(2015石家庄市第一次模拟)已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)1，f(5)，则实数a的取值范围为()A1a4 B2a1C1a
12、0 D1a2(3)(2014高考课标全国卷)偶函数yf(x)的图象关于直线x2对称，f(3)3，则f(1)_解析：(1)当x0，f(x)(x)3ln(1x)，f(x)是R上的奇函数，当x0时，f(x)f(x)(x)3ln(1x)，f(x)x3ln(1x)(2)f(x)是定义在R上的周期为3的偶函数，f(5)f(56)f(1)f(1)，f(1)1，f(5)，1，即0，解得1a4，故选A.(3)f(x)的图象关于直线x2对称，f(4x)f(x)，f(41)f(1)f(3)3，即f(1)3.f(x)是偶函数，f(x)f(x)，f(1)f(1)3.答案：(1)C(2)A(3)3,学生用书P23)考题溯
13、源对函数f(x)x的再理解(2013高考湖北卷)x为实数，x表示不超过x的最大整数，则函数f(x)xx在R上为()A奇函数B偶函数C增函数 D周期函数解析当x0，1)时，画出函数图象(图略)，再左右扩展知f(x)为周期函数答案D考题溯源本考题源于教材人教A版必修1 P25习题B组T3，“函数f(x)x的函数值表示不超过x的最大整数，例如，3.54，2.12.当x(2.5，3时，写出函数f(x)的解析式，并作出函数的图象”的变式1.(2013高考陕西卷)设x表示不大于x的最大整数， 则对任意实数x，有()Axx BxxC2x2x Dxx2x解析：选D.选项A，取x1.5，则x1.52，x1.51
14、，显然xx选项B，取x1.5，则x221.51.选项C，取x1.5，则2x33，2x21.52，显然2x2x2已知x表示不超过实数x的最大整数(xR)，如：1.32，0.80，3.43.定义xxx，则()A2 014B.C1 007D2 015解析：选C.，0，所以原式1 007.1(2014高考湖南卷)下列函数中，既是偶函数又在区间(，0)上单调递增的是()Af(x)Bf(x)x21Cf(x)x3 Df(x)2x解析：选A.A中f(x)是偶函数，且在(，0)上是增函数，故A满足题意B中f(x)x21是偶函数，但在(，0)上是减函数C中f(x)x3是奇函数D中f(x)2x是非奇非偶函数故B，C
15、，D都不满足题意2设f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(2，1上的图象，则f(2 014)f(2 015)()A3 B2C1 D0解析：选A.因为f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，所以f(2 014)f(2 015)f(67131)f(67231)f(1)f(1)，而由图象可知f(1)1，f(1)2，所以f(2 014)f(2 015)123.3(2014高考课标全国卷)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()Af(x)g(x)是偶函数B|f(x)|g(x)是奇函数Cf(x)|g(x)|是奇函数D
16、|f(x)g(x)|是奇函数解析：选C.A：令h(x)f(x)g(x)，则h(x)f(x)g(x)f(x)g(x)h(x)，h(x)是奇函数，A错B：令h(x)|f(x)|g(x)，则h(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)h(x)，h(x)是偶函数，B错C：令h(x)f(x)|g(x)|，则h(x)f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|，h(x)是奇函数，C正确D：令h(x)|f(x)g(x)|，则h(x)|f(x)g(x)|f(x)g(x)|f(x)g(x)|h(x)，h(x)是偶函数，D错4定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x20，)(x1x2)
17、，有0，则()Af(3)f(2)f(1) Bf(1)f(2)f(3)Cf(2)f(1)f(3) Df(3)f(1)f(2)f(3)，故选A.5(2015山东威海模拟)函数f(x)(x2)(axb)为偶函数，且在(0，)上单调递增，则f(2x)0的解集为()Ax|x2或x2 Bx|2x2Cx|x4 Dx|0x0.f(2x)0，即ax(x4)0，解得x4.故选C.6f(x)k2x2x为偶函数，则k_，为奇函数，则k_解析：f(x)为偶函数时，f(1)f(1)，即22k，解得k1.f(x)为奇函数时，f(0)0，即k10，k1(或f(1)f(1)，即22k，解得k1)答案：117函数f(x)对于任意
18、实数x满足条件f(x2)f(x)1，若f(1)5，则f(5)_解析：由f(x2)f(x)1，得f(x2)，进而得f(x4)f(x)，所以f(5)f(54)f(1).答案：8(2014高考课标全国卷)已知偶函数f(x)在0，)单调递减，f(2)0.若f(x1)0，则x的取值范围是_解析：f(x)是偶函数，图象关于y轴对称又f(2)0，且f(x)在0，)单调递减，则f(x)的大致图象如图所示，由f(x1)0，得2x12，即1xf(a1)2，求实数a的取值范围解：因为f(xy)f(x)f(y)，且f(3)1，所以22f(3)f(3)f(3)f(9)又f(a)f(a1)2，所以f(a)f(a1)f(9
19、)，再由f(xy)f(x)f(y)，可知f(a)f(9(a1)因为f(x)是定义在(0，)上的增函数，从而有，解得1a0在1，3上的解集为()A(1，3) B(1，1)C(1，0)(1，3) D(1，0)(0，1)解析：选C.f(x)的图象如图当x(1，0)时，由xf(x)0，得x(1，0)；当x(0，1)时，由xf(x)0，得x(1，3)故x(1，0)(1，3)2(2015皖北协作区联考)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意x、yR，xy0，都有0，若x2y，则()Af(x)f(2y) Bf(x)f(2y)Cf(x)0，令xx1，yx2，则0.又函数f(x)是奇函数，所以0，即函数f
20、(x)是定义在R上的增函数因为x2y，所以f(x)f(2y)，故选A.3已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f(x)g(x)，则f(1)，g(0)，g(1)之间的大小关系是_解析：在f(x)g(x)中，用x替换x，得f(x)g(x)2x，由于f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以f(x)f(x)，g(x)g(x)，因此得f(x)g(x)2x.解得f(x)，g(x)，于是f(1)，g(0)1，g(1)，故f(1)g(0)g(1)答案：f(1)g(0)g(1)4已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0，2上是增函数若方程f(x)m(m
21、0)在区间8，8上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1x2x3x4_解析：f(x)为奇函数并且f(x4)f(x)f(x4)f(4x)f(x)，即f(4x)f(x)，且f(x8)f(x4)f(x)，即yf(x)的图象关于x2对称，并且是周期为8的周期函数f(x)在0，2上是增函数，f(x)在2，2上是增函数，在2，6上为减函数，据此可画出yf(x)的图象其图象也关于x6对称，x1x212，x3x44，x1x2x3x48.答案：85已知函数f(x)2|x2|ax(xR)有最小值(1)求实数a的取值范围；(2)设g(x)为定义在R上的奇函数，且当x0，则x0.g(x)g(x)(a2)x4，g
22、(x)6(选做题)(2015山东菏泽模拟)已知函数yf(x)在定义域1，1上既是奇函数，又是减函数(1)求证：对任意x1，x21，1，有f(x1)f(x2)(x1x2)0；(2)若f(1a)f(1a2)0，求实数a的取值范围解：(1)证明：若x1x20，显然不等式成立若x1x20，则1x1x21，f(x)在1，1上是减函数且为奇函数，f(x1)f(x2)f(x2)，f(x1)f(x2)0.f(x1)f(x2)(x1x2)0成立若x1x20，则1x1x21，同理可证f(x1)f(x2)0.f(x1)f(x2)(x1x2)0成立综上得证，对任意x1，x21，1，有f(x1)f(x2)(x1x2)0恒成立(2)f(1a)f(1a2)0f(1a2)f(1a)f(a1)，由f(x)在定义域1，1上是减函数，得即解得0a1.故所求实数a的取值范围是0，1)