1、第9讲函数的图象1利用描点法作函数的图象其基本步骤是列表、描点、连线首先：确定函数的定义域；化简函数解析式；讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线2利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换(2)对称变换yf(x)yf(x)yf(x)yf(x)yf(x)yf(x)yax(a0且a1)ylogax(x0)(3)翻折变换yf(x)y|f(x)|yf(x)yf(|x|)(4)伸缩变换yf(x)yf(ax)yf(x)yaf(x)常用结论1函数图象自身的轴对称(1)f(x)f(x)函数yf(x)的图象关于y轴对
2、称(2)函数yf(x)的图象关于xa对称f(ax)f(ax)f(x)f(2ax)f(x)f(2ax)(3)若函数yf(x)的定义域为R，且有f(ax)f(bx)，则函数yf(x)的图象关于直线x对称2函数图象自身的中心对称(1)f(x)f(x)函数yf(x)的图象关于原点对称(2)函数yf(x)的图象关于(a，0)对称f(ax)f(ax)f(x)f(2ax)f(x)f(2ax)一、思考辨析判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)当x(0，)时，函数y|f(x)|与yf(|x|)的图象相同()(2)函数yaf(x)与yf(ax)(a0且a1)的图象相同()(3)函数yf(x)与yf(x)的图
3、象关于原点对称()(4)若函数yf(x)满足f(1x)f(1x)，则函数f(x)的图象关于直线x1对称()(5)将函数yf(x)的图象向右平移1个单位得到函数yf(x1)的图象()答案：(1)(2)(3)(4)(5)二、易错纠偏常见误区|(1)函数图象的平移、伸缩法则记混出错；(2)不注意函数的定义域出错1设f(x)2x，g(x)的图象与f(x)的图象关于直线yx对称，h(x)的图象由g(x)的图象向右平移1个单位得到，则h(x)_解析：与f(x)的图象关于直线yx对称的图象所对应的函数为g(x)log2x，再将其图象右移1个单位得到h(x)log2(x1)的图象答案：log2(x1)2已知函
4、数f(x)的图象如图所示，则函数g(x)log f(x)的定义域是_解析：当f(x)0时，函数g(x)log f(x)有意义，由函数f(x)的图象知满足f(x)0时，x(2，8答案：(2，8作函数的图象(师生共研) 作出下列函数的图象(1)yx22|x|1.(2)y.(3)y|log2(x1)|.【解】 (1)先化简，再作图，y图象如图所示(2)因为y1，先作出y的图象，将其图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，即得y的图象，如图所示(3)利用函数ylog2x的图象进行平移和翻折变换，图象如图实线所示函数图象的三种画法(1)直接法：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时
5、，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出(2)转化法：含有绝对值符号的函数，可脱掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象(3)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到，可利用图象变换作出提醒(1)画函数的图象时一定要注意定义域(2)利用图象变换法时要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响 分别作出下列函数的图象(1)y|x2|(x1)；(2)y.解：(1)当x2，即x20时，y(x2)(x1)x2x2；当x2，即x20部分关于y轴的对称部分，即得y的图象，如图中实线部分函数图象的识别(
6、多维探究)角度一知式选图方法一特殊点法 函数f(x)x2的大致图象是()【解析】由f(0)1，得函数图象过点(0，1)，可排除D；由f(2)440，f(4)16160，得函数图象过点(2，0)，(4，0)，可排除A，C故选B【答案】B使用特殊点法排除一些不符合要求的错误选项，主要注意两点：一是选取的点要具备特殊性和代表性，能排除一些选项；二是可能要选取多个特殊点进行排除才能得到正确答案 方法二性质检验法 函数f(x)ln(2|x|)的大致图象为()【解析】由2|x|0，解得2x2，所以函数f(x)ln(2|x|)的定义域为(2，2)，定义域关于原点对称又因为f(x)ln(2|x|)ln(2|x
7、|)f(x)，所以函数f(x)ln(2|x|)在定义域上为偶函数，排除C和D；当0x2时，f(x)ln(2x)单调递减，排除B故选A【答案】A利用性质识别函数图象是解题的主要方法，采用的性质主要是定义域、值域、函数的奇偶性、函数局部的单调性等当然，对于一些更为复杂的函数图象的判断，还可能同特殊点法结合起来使用 方法三图象变换法 已知函数f(x)logax(0a1)，则函数yf(|x|1)的图象大致为()【解析】当x0时，yf(|x|1)f(x1)loga(x1)，而函数yloga(x1)的图象可由函数ylogax的图象向左平移一个单位得到，又函数yf(|x|1)为偶函数，所以函数yf(|x|1
8、)的图象是由函数yloga(x1)，x0的图象及其关于y轴对称的图象组成的，所以A正确【答案】A通过图象变换识别函数图象要掌握两点：一是熟悉基本初等函数的图象(如指数函数、对数函数等图象)；二是了解常见的一些变换形式，如平移变换、翻折变换 角度二知图选式(图) (1)已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可以是()Af(x)Bf(x)Cf(x)1Df(x)x(2)已知f(x)(xa)(xb)(ab)的大致图象如图所示，则函数g(x)axb的大致图象是()【解析】(1)由函数图象可知，函数f(x)为奇函数，应排除B，C若函数为f(x)x，则x时，f(x)，排除D，故选A(2)由函数f
9、(x)的大致图象可知3a4，1b0，所以g(x)的图象是由yax(3a4)的图象向下平移b(0b1)个单位长度得到的，其大致图象应为选项A中的图象，故选A【答案】(1)A(2)A对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系，常用的方法有：(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型分析解决问题 角度三由
10、实际问题的变化过程探究函数图象 广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互纠在一起，因而被习称为“阴阳鱼太极图”如图，是由一个半径为2的大圆和两个半径为1的半圆组成的“阴阳鱼太极图”，圆心分别为O，O1，O2，若一动点P从点A出发，按路线AOBCADB运动(其中A，O，O1，O2，B五点共线)，设P的运动路程为x，y|O1P|2，y与x的函数关系式为yf(x)，则yf(x)的大致图象为()【解析】根据题图中信息，可将x分为4个区间，即0，)，2)，2，4)，4，6，当x0，)时，函数值不变，yf(x)1；当x，2)时，设与的夹角为，因为|1，|2，x，所以y()254cos 54cos x，所以yf
11、(x)的图象是曲线，且单调递增；当x2，4)时，设与的夹角为，|2，|1，2x，所以y|O1P|2()254cos 54cos ，函数yf(x)的图象是曲线，且单调递减【答案】A实际背景下的函数图象识辨在实际背景中，判定两个量构成的函数图象时，在优先明确定义域后，一是直接求得解析式(定量分析)进行识辨二是估计函数值的变化趋势判断图象走势(定性分析)作出判断 1(2020高考浙江卷)函数yxcos xsin x在区间，上的图象可能是()解析：选A令f(x)xcos xsin x，所以f(x)(x)cos(x)sin(x)xcos xsin xf(x)，所以f(x)为奇函数，排除C，D，又f()0
12、时，f(x)ln x，且当0x0，ln x0，f(x)0，故排除B，C；当x0时，f(x)ln(x)，且当1x0时，x0，ln(x)0，故排除A故选D方法二：因为f(x)ln|x|ln|x|f(x)，所以f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，故排除A，B；又当x2时，f(2)ln 20，故排除C故选D3.已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能是()Af(x)x22ln |x|Bf(x)x2ln |x|Cf(x)|x|2ln |x|Df(x)|x|ln |x|解析：选B由函数图象可得，函数f(x)为偶函数，且x0时，函数f(x)的单调性为先减后增，最小值为正，极小值点小于1，分别
13、对选项中各个函数求导，并求其导函数等于0的正根，可分别得1，2，1，由此可得仅函数f(x)x2ln |x|符合条件故选B4如图，四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止用下面对应的图象表示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中不正确的个数为()A1B2C3 D4解析：选A将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，容器中水面的高度h和时间t之间的关系可以从高度随时间的变化率上反映出来中应该是匀速的，故下面的图象不正确；中的变化率应该是越来越慢的，正确；中的变化率是先快后慢再快，正确；中的变化率是先慢后快再慢，也正确，故只有是错误的函数图象的应用(多维探究)
14、角度一研究函数的性质 已知函数f(x)x|x|2x，则下列结论正确的是()Af(x)是偶函数，递增区间是(0，)Bf(x)是偶函数，递减区间是(，1)Cf(x)是奇函数，递减区间是(1，1)Df(x)是奇函数，递增区间是(，0)【解析】将函数f(x)x|x|2x去掉绝对值得f(x)画出函数f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(1，1)上单调递减【答案】C一般根据图象观察函数性质有以下几方面：一是观察函数图象是否连续以及最高点和最低点，确定定义域、值域；二是函数图象是否关于原点或y轴对称，确定函数是否具有奇偶性；三是根据图象上升与下降的
15、情况，确定单调性 角度二解不等式 函数f(x)是周期为4的偶函数，当x0，2时，f(x)x1，则不等式xf(x)0在(1，3)上的解集为()A(1，3) B(1，1)C(1，0)(1，3) D(1，0)(0，1)【解析】作出函数f(x)的图象如图所示当x(1，0)时，由xf(x)0得x(1，0)；当x(0，1)时，由xf(x)0得x；当x(1，3)时，由xf(x)0得x(1，3)所以x(1，0)(1，3)【答案】C利用函数的图象研究不等式的思路当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上下关系问题或函数图象与坐标轴的位置关系问题，从而利用数形结合法求解 角度
16、三求参数的值或取值范围 设函数f(x)|xa|，g(x)x1，对于任意的xR，不等式f(x)g(x)恒成立，则实数a的取值范围是_【解析】如图作出函数f(x)|xa|与g(x)x1的图象，观察图象可知，当且仅当a1，即a1时，不等式f(x)g(x)恒成立，因此a的取值范围是1，)【答案】1，)当参数的不等关系不易找出时，可将函数(或方程)等价转化为方便作图的两个函数，再根据题设条件和图象确定参数的取值范围 1对于函数f(x)lg(|x|1)，给出如下三个命题：f(x)是偶函数；f(x)在区间(，0)上是减函数，在区间(0，)上是增函数；f(x)没有最小值其中正确的个数为()A1 B2C3 D0
17、解析：选B作出f(x)的图象，可知f(x)在(，0)上是减函数，在(0，)上是增函数；由图象可知函数存在最小值0.所以正确2已知f(x)2x1，g(x)1x2，规定：当|f(x)|g(x)时，h(x)|f(x)|；当|f(x)|g(x)时，h(x)g(x)，则h(x)()A有最小值1，最大值1B有最大值1，无最小值C有最小值1，无最大值D有最大值1，无最小值解析：选C画出y|f(x)|2x1|与yg(x)1x2的图象，它们交于A，B两点由“规定”知在A，B两侧，|f(x)|g(x)，故h(x)|f(x)|；在A，B之间，|f(x)|g(x)，故h(x)g(x)综上可知，yh(x)的图象是图中的实线部分，因此h(x)有最小值1，无最大值3.如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)log2(x1)的解集是_解析：在同一直角坐标系内作出yf(x)和ylog2(x1)的图象(如图)由图象知不等式的解集是(1，1答案：(1，14已知函数f(x)|x2|1，g(x)kx.若方程f(x)g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是_解析：先作出函数f(x)|x2|1的图象，如图所示，当直线g(x)kx与直线AB平行时斜率为1，当直线g(x)kx过A点时斜率为，故f(x)g(x)有两个不相等的实根时，k的取值范围为.答案：