1、第5讲三角函数的图象与性质正弦、余弦、正切函数的图象与性质函数ysin xycos xytan x图象定义域RRx|xR且xk，kZ值域1，11，1R周期性22奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性2k，2k(kZ)为增；2k，2k(kZ)为减2k，2k(kZ)为减；2k，2k(kZ)为增(kZ)为增对称中心(k，0)(kZ)(k，0) (kZ)(，0)(kZ)对称轴xk(kZ)xk(kZ)无做一做1设函数f(x)sin，xR，则f(x)是()A最小正周期为的奇函数B最小正周期为的偶函数C最小正周期为的奇函数D最小正周期为的偶函数答案：B2函数ytan 3x的定义域为_答案： 1辨明三个易误点(1)y
2、tan x不能认为其在定义域上为增函数，应在每个区间(kZ)内为增函数(2)三角函数存在多个单调区间时易错用“”联结(3)求函数yAsin(x)的单调区间时，应注意的符号，只有当0时，才能把x看作一个整体，代入ysin t的相应单调区间求解2求三角函数值域(最值)的两种方法(1)将所给函数化为yAsin(x)的形式，通过分析x的范围，结合图象写出函数的值域；(2)换元法：把sin x(cos x)看作一个整体，化为二次函数来解决做一做3若函数f(x)cos 2x，则f(x)的一个递增区间为()A.B.C. D.解析：选B.由f(x)cos 2x知递增区间为，kZ，故只有B项满足4函数f(x)s
3、in在区间上的最小值为()A1 BC. D0解析：选B.由已知x，得2x，所以sin，故函数f(x)sin在区间上的最小值为.,学生用书P64P66)_三角函数的定义域和值域_(1)函数y的定义域为_；(2)(2014高考大纲全国卷)函数ycos 2x2sin x的最大值为_解析(1)要使函数有意义，必须有sin xcos x0，即sin xcos x，同一坐标系中作出ysin x，ycos x，x0，2的图象如图所示结合图象及正、余弦函数的周期是2知，函数的定义域为.(2)ycos 2x2sin x2sin2x2sin x1，设tsin x(1t1)，则原函数可以化为y2t22t12，当t时
4、，函数取得最大值.答案(1)(2)本例(2)变为函数ycos 2x4sin x(|x|)的最大值为_解析：ycos 2x4sin x2sin2x4sin x1，设tsin x(t)，则原函数可以化为y2t24t12(t1)23，当t时，函数取得最大值.答案：规律方法(1)三角函数定义域的求法：求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解(2)三角函数值域的不同求法：利用sin x和cos x的值域直接求把所给的三角函数式变换成yAsin(x)的形式求值域(本讲典例2(3)把sin x或cos x看作一个整体，转换成二次函数求值域利用sin xcos
5、x和sin xcos x的关系转换成二次函数求值域1.(1)函数y的定义域为_；(2)函数ysin xcos xsin xcos x的值域为_解析：(1)要使函数有意义，则利用数轴可得函数的定义域是.(2)设tsin xcos x，则sin xcos x(t)ytt2(t1)21，当t时，y取最大值为，当t1时，y取最小值为1.函数值域为1，答案：(1)(2)1，_三角函数的单调性(高频考点)_三角函数的单调性是每年高考命题的热点，题型既有选择题也有填空题，或解答题某一问出现，难度适中，多为中档题高考对三角函数单调性的考查有以下四个命题角度：(1)求已知三角函数的单调区间；(2)已知三角函数的
6、单调区间求参数；(3)利用三角函数的单调性求值域(或最值)；(4)利用三角函数的单调性比较大小(1)函数f(x)tan的单调递增区间是()A.(kZ)B.(kZ)C.(kZ)D.(kZ)(2)已知0，函数f(x)sin在上单调递减，则的取值范围是()A.B.C. D(0，2)(3)(2015江西南昌模拟)已知函数f(x)(sin xcos x)22cos2x2.求f(x)的单调增区间；当x时，求函数f(x)的最大值，最小值解析(1)由k2xk(kZ)，得x(kZ)，所以函数f(x)tan的单调递增区间为(kZ)，故选B.(2)由x0，得x0)的单调区间时，要视“x”为一个整体，通过解不等式求解
7、但如果0，那么一定先借助诱导公式将化为正数，防止把单调性弄错(2)已知三角函数的单调区间求参数先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解(3)利用三角函数的单调性求值域(或最值)形如yAsin(x)b或可化为yAsin(x)b的三角函数的值域(或最值)问题常利用三角函数的单调性解决2.(1)已知函数f(x)2sin，设af，bf，cf，则a，b，c的大小关系是()Aacb BcabCbac Dbca(2)(2015山东聊城期末测试)已知函数f(x)2sin x(0)在区间上的最小值是2，则的最小值等于()A. B.C2 D3(3)函数ycos的单调减区间为_(4)函数y|tan x|的单调
8、增区间为_解析：(1)af2sin ，bf2sin 2，cf2sin 2sin ， 因ysin x在上递增，则ca0，0)若f(x)在区间上具有单调性，且fff，则f(x)的最小正周期为_解析：(1)f(x)sincos 2x，故其最小正周期为，故A正确；易知函数f(x)是偶函数，B正确；由函数f(x)cos 2x的图象可知，函数f(x)的图象不关于直线x对称，C错误；由函数f(x)的图象易知，函数f(x)在上是增函数，D正确，故选C.(2)f(x)在上具有单调性，T.ff，f(x)的一条对称轴为x.又ff，f(x)的一个对称中心的横坐标为.T，T.答案：(1)C(2)考题溯源函数yAsin(
9、x)的性质(2014高考福建卷)已知函数f(x)2cos x(sin xcos x)(1)求f的值；(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间解法一：(1)f2cos 2cos 2.(2)因为f(x)2sin xcos x2cos2xsin 2xcos 2x1sin1，所以T.由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ，所以f(x)的单调递增区间为，kZ.法二：f(x)2sin xcos x2cos2xsin 2xcos 2x1sin1.(1)fsin 1sin 12.(2)T.由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.所以f(x)的单调递增区间为，kZ.考题溯源本考题源于教材人教A版必修4 P14
10、7复习参考题A组11题“已知函数f(x)2sin x(sin xcos x)(1)求f(x)的最小正周期和最大值；(2)画出函数yf(x)在区间上的图象”(2015河北高阳中学第一次月考)已知函数f(x)cos2sinsin.(1)求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程；(2)求函数f(x)在区间上的值域解：(1)f(x)cos2sinsincos 2xsin 2x(sin xcos x)(sin xcos x)cos 2xsin 2xsin2xcos2xcos 2xsin 2xcos 2xsin.函数f(x)的最小正周期为T，对称轴方程为x，kZ.(2)x，2x.f(x)sin在区间上
11、单调递增，在区间上单调递减，当x时，f(x)取最大值1.又ff，当x时，f(x)取最小值.所以函数f(x)在区间上的值域为.1函数y的定义域为()A.B.，kZC.，kZDR解析：选C.cos x0，得cos x，2kx2k，kZ.2函数f(x)(1sin x)(sin2xcos2xsin x)是()A最小正周期为的奇函数B最小正周期为的偶函数C最小正周期为2的奇函数D最小正周期为2的偶函数解析：选B.f(x)(1sin x)(1sin x)1sin2xcos2xcos 2x，所以f(x)是最小正周期为的偶函数3函数y2sin(0x9)的最大值与最小值之和为()A1B1C0 D2解析：选D.0
12、x9，sin.y，2，ymaxymin2.4如果函数y3sin(2x)的图象关于直线x对称，则|的最小值为()A. B.C. D.解析：选A.依题意得，sin1，则k(kZ)，即k(kZ)，因此|的最小值是.5(2014高考安徽卷)设函数f(x)(xR)满足f(x)f(x)sin x当0x时，f(x)0，则f()A. B.C0 D解析：选A.f(x)f(x)sin x，f(x2)f(x)sin x.f(x2)f(x)sin xsin xf(x)f(x)是以2为周期的周期函数又fff，ffsin，ff.当0x时，f(x)0，f0，ff.故选A.6比较大小：sin_sin.解析：因为ysin x在
13、上为增函数且，故sinsin.答案：7(2014高考山东卷)函数ysin 2xcos2x的最小正周期为_解析：ysin 2xcos2xsin 2xcos 2xsin，函数的最小正周期T.答案：8函数y2sin1，x的值域为_，并且取最大值时x的值为_解析：0x，2x，0sin1，12sin11，即值域为1，1，且当sin1，即x时，y取最大值答案：1，19已知函数f(x)sin 2xcos 2x.(1)求f(x)的单调减区间；(2)求f(x)图象上与原点最近的对称中心的坐标解：f(x)sin 2xcos 2x2sin(2x)(1)由2k2x2k(kZ)得，kxk(kZ)f(x)的单调减区间为k
14、，k(kZ)(2)由sin(2x)0，得2xk(kZ)，即x(kZ)f(x)图象上与原点最近的对称中心坐标是(，0)10(2014高考天津卷)已知函数f(x)cos xsincos2x，xR.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在闭区间上的最大值和最小值. 解：(1)由已知，有f(x)cos xcos2xsin xcos xcos2xsin 2x(1cos 2x)sin 2xcos 2xsin.所以f(x)的最小正周期T.(2)因为f(x)在区间上是减函数，在区间上是增函数f，f，f，所以，函数f(x)在闭区间上的最大值为，最小值为.1若函数f(x)sin(x)在区间上是单调减函数，
15、且函数值从1减少到1，则f()A. B.C. D1解析：选C.由题意得函数f(x)的周期T2，所以2，此时f(x)sin(2x)，将点代入上式得sin1，所以，所以f(x)sin，于是fsincos .2(2015开封市第一次摸底)已知函数f(x)sin 2xcos cos 2xsin (xR)，其中为实数，且f(x)f对任意实数R恒成立，记pf，qf，rf，则p、q、r的大小关系是()Arpq BqrpCpqr Dqpr解析：选C.f(x)sin 2xcos cos 2xsin sin(2x)，f(x)的最小正周期T.f(x)f，f是最大值f(x)sin，psin ，qsin ，rsin ，
16、pqr.3当x时，函数y3sin x2cos2x的最小值是_，最大值是_解析：x，sin x.又y3sin x2cos2x3sin x2(1sin2x)2.当sin x时，ymin，当sin x或sin x1时，ymax2.答案：24(2015内蒙古包头一模)给出下列命题：函数f(x)4cos的一个对称中心为；已知函数f(x)minsin x，cos x，则f(x)的值域为；若、均为第一象限角，且，则sin sin .其中所有真命题的序号是_解析：对于，令x，则2x，有f0，因此为f(x)的一个对称中心，为真命题；对于，结合图象知f(x)的值域为，为真命题；对于，令390，60，有39060，
17、但sin 390sin 60，故为假命题，所以真命题为.答案：5(2015辽宁省五校联考)设函数f(x)sin xsin，xR.(1)若，求f(x)的最大值及相应x的集合；(2)若x是f(x)的一个零点，且010，求的值和f(x)的最小正周期解：由已知：f(x)sin xcos xsin.(1)若，则f(x)sin，又xR，则sin，f(x)max，此时x2k，kZ.即x.(2)x是函数f(x)的一个零点，sin0，k，kZ，又00，函数f(x)2asin2ab，当x时，5f(x)1.(1)求常数a，b的值；(2)设g(x)f且lg g(x)0，求g(x)的单调区间解：(1)x，2x.sin，2asin2a，af(x)b，3ab，又5f(x)1，b5，3ab1，因此a2，b5.(2)由(1)得，f(x)4sin1，g(x)f4sin14sin1，又由lg g(x)0，得g(x)1，4sin11，sin，2k2x2k，kZ，其中当2k2x2k，kZ时，g(x)单调递增，即kxk，kZ，g(x)的单调增区间为，kZ.又当2k2x2k，kZ时，g(x)单调递减，即kxk，kZ.g(x)的单调减区间为，kZ.